概率論第十六講中心極限定理

概率論第十六講中心極限定理第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六中心極限定理：概率論中有關(guān)隨機變量的和的極限分布是正態(tài)分布的系列定理。設(shè)隨機變量序列相互獨立,且有期望和方差：令則第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六定理1林德伯格（Lindberg）定理設(shè)相互獨立隨機變量滿足林德伯格條件，即有其中，是隨機變量的概率密度第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六其中，是任何實數(shù)則n→∞，有第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六林德伯格定理的意義:被研究的隨機變量可以被表示為，許多相互獨立隨機變量的和,其中,則這個總和服從或近似服從正態(tài)分布.每一個隨機變量對于總和只起微小的作用,第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六定理二林德伯格-列維中心極限定理[獨立同分布的中心極限定理]定理三棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理[二項分布以正態(tài)分布為極限分布](Lindberg-levi)(DeMoivre-Laplace)第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六獨立同分布的中心極限定理設(shè)隨機變量序列獨立同一分布,且有期望和方差：則對于任意實數(shù)x,定理1第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六注則Yn

為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量.即n足夠大時，Yn

的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機變量的分布函數(shù)記近似近似服從第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六中心極限定理的意義

在第二章曾講過有許多隨機現(xiàn)象服從正態(tài)分布若聯(lián)系于此隨機現(xiàn)象的隨機變量為X，是由于許多彼次沒有什么相依關(guān)系、對隨機現(xiàn)象誰也不能起突出影響，而均勻地起到微小作用的隨機因素共同作用則它可被看成為許多相互獨立的起微小作用的因素Xk的總和，而這個總和服從或近似服從正態(tài)分布.(即這些因素的疊加)的結(jié)果.第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六對此現(xiàn)象還可舉個有趣的例子——高爾頓釘板試驗——加以說明.03—釘子層數(shù)高爾頓釘板第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六德莫佛—拉普拉斯中心極限定理（DeMoivre-Laplace）

設(shè)Yn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…則對任一實數(shù)x，有即對任意的a<b,Yn

~N(np,np(1-p))(近似)定理2第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)用1例1炮火轟擊敵方防御工事100次,每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布,其數(shù)學(xué)期望為2,均方差為1.5.若各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨立的,求100次轟擊(1)至少命中180發(fā)炮彈的概率;(2)命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率.中心極限定理的應(yīng)用第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六解

設(shè)Xk

表示第k次轟擊命中的炮彈數(shù)相互獨立，設(shè)X表示100次轟擊命中的炮彈數(shù),則由獨立同分布中心極限定理,有第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六(1)(2)第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六例2售報員在報攤上賣報,已知每個過路人在報攤上買報的概率為1/3.令X是出售了100份報時過路人的數(shù)目，求P(280X320).解令Xi

為售出了第i–1份報紙后到售出第i份報紙時的過路人數(shù),i=1,2,…,100(幾何分布)應(yīng)用2第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六相互獨立,由獨立同分布中心極限定理,有第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六例3

檢驗員逐個檢查某產(chǎn)品,每查一個需用10秒鐘.但有的產(chǎn)品需重復(fù)檢查一次，再用去10秒鐘.若產(chǎn)品需重復(fù)檢查的概率為0.5,求檢驗員在8小時內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個的概率.解

若在8小時內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個,即檢查1900個產(chǎn)品所用的時間小于8小時.設(shè)X為檢查1900個產(chǎn)品所用的時間(秒)設(shè)Xk

為檢查第k個產(chǎn)品所用的時間(單位：秒),k=1,2,…,1900應(yīng)用3第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六

XkP10200.50.5相互獨立同分布,第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六例4某車間有200臺車床，每臺獨立工作，開工率為0.6.開工時每臺耗電量為r千瓦.問供電所至少要供給這個車間多少電力,才能以99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)？解設(shè)至少要供給這個車間a千瓦的電力，X為開工的車床數(shù),

則X~B(200,0.6),

X~N(120,48)(近似)應(yīng)用4由德莫佛—拉普拉斯中心極限定理,有第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六問題轉(zhuǎn)化為求a,使反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六令解得(千瓦)第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六例5設(shè)有一批種子，其中良種占1/6.試估計在任選的6000粒種子中，良種比例與1/6比較上下不超過1%的概率.解設(shè)X表示6000粒種子中的良種數(shù),X~B(6000,1/6)應(yīng)用5近似由德莫佛—拉普拉斯中心極限定理,則有第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六比較幾個近似計算的結(jié)果中心極限定理二項分布(精確結(jié)果)Poisson分布Chebyshev不等式比較第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六作業(yè)P.138習(xí)題四1920

2223習(xí)題第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六設(shè)某農(nóng)貿(mào)市場某種商品每日的價格的變化是個相互獨立且均值為0,方差為2=2的隨機變量Yn，并滿足其中Xn是第n天該商品的價格.如果今天的價格為100，求18天后該商品的價格在96與104之間的概率.*補充作業(yè)第二十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六解設(shè)表示今天該商品的價格,為18天后該商品的價格,則得第二十八頁，共二十九頁，