流體力學(xué)勢流

流體力學(xué)勢流第一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日第五章有旋流動(dòng)和有勢流動(dòng)§5—1有旋流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性質(zhì)§5—2理想不可壓縮流體的旋渦動(dòng)力學(xué)特性§5—3蘭肯渦和卡門渦街§5—5理想不可壓縮流體恒定平面勢流的奇

點(diǎn)分布解法§5—4有勢流動(dòng)及解法概述第二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日無旋流動(dòng)有旋流動(dòng)這個(gè)分類是

很重要的旋度判別的唯一標(biāo)準(zhǔn)是看流速場的旋度是否為零§5—1有旋流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性質(zhì)

有旋流動(dòng)和無旋流動(dòng)的判別第三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日

渦線是渦量場的矢量線，是某瞬時(shí)對(duì)應(yīng)的流場中的曲線，該瞬時(shí)位于渦線上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的渦量都沿著渦線的切向。與流線一樣，渦線是與歐拉觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的概念。渦線

渦量、渦線、渦管和渦通量對(duì)于有旋流動(dòng)，將流速場的旋度稱為渦量，它是流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度矢量的兩倍。渦量場是矢量場。渦量第四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)定義，渦線的微分方程為實(shí)際上這是兩個(gè)微分方程，其中t是參數(shù)?？汕蠼獾玫絻勺迩?，它們的交線就是渦線族。其中渦線微分方程第五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日在流場中，取一條不與渦線重合的封閉曲線L，在同一時(shí)刻過

L上每一點(diǎn)作渦線，由這些渦線圍成的管狀曲面稱為渦管。渦管渦線渦管與渦線一樣，渦管是瞬時(shí)概念Ω第六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日渦通量dAAnΩ渦管強(qiáng)度通過流場中某曲面A的渦量通量稱為渦通量。通過渦管任一截面A的渦通量又可稱為渦管強(qiáng)度AΩ留下一個(gè)問題：為什么可取任一截面計(jì)算渦管強(qiáng)度第七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日

速度環(huán)量、斯托克斯定理速度環(huán)量定義流速矢量u沿有向曲線L的線積分為速度環(huán)量斯托克斯定理uΩdlndA封閉曲線L是A的周界，L的方向與n成右手系。沿L的速度環(huán)量通過A的渦通量=第八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日例已知不可壓縮流體速度分布渦線方程及沿封閉圍線的速度環(huán)量求求渦量場第九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日求渦線求速度環(huán)量在z=

0平面上，渦量為A關(guān)于x軸對(duì)稱第十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日

旋渦隨空間的變化規(guī)律奧—高定理nuVAdA

矢量場通過一封閉曲面的通量（流出為正）等于矢量場的散度在封閉曲面所圍空間域上的積分。根據(jù)不可壓縮流體連續(xù)方程奧—高定理可解釋為：不可壓縮流體通過任一封閉曲面的體積流量為零。第十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日渦量場是無源場（管形場）矢量場的散度表示矢量場的源匯強(qiáng)度。散度為零的矢量場也稱無源場，其矢量線必成管狀，所以也稱管形場。渦量的散度必為零第十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日由于渦管側(cè)壁沒有渦通量，所以根據(jù)渦量場是無源場可得如下結(jié)論：渦線渦管Ω在同一時(shí)刻，穿過同一渦管的各斷面的渦通量都是相同的。即同一時(shí)刻，一根渦管對(duì)應(yīng)一個(gè)渦管強(qiáng)度。結(jié)論這是個(gè)純運(yùn)動(dòng)學(xué)范疇的定理回答了前面的問題第十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日渦管不能在流體中產(chǎn)生與消失，要么成環(huán)形，要么兩端位于流場的自由面或固體邊界。第十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日L是由確定流體質(zhì)點(diǎn)組成的封閉線，是一個(gè)系統(tǒng)，在流動(dòng)中會(huì)改變位置和形狀。

旋渦隨時(shí)間的變化規(guī)律封閉流體線上的速度環(huán)量對(duì)于時(shí)間的變化率等于此封閉流體線上的加速度環(huán)量。加速度環(huán)量L(t)tt+dt

u(t+dt)u(t)速度環(huán)量對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)第十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日

δ表示對(duì)空間微分

d表示對(duì)時(shí)間微分簡要的證明第十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日

無旋與有勢的等價(jià)性無旋流動(dòng)有勢流動(dòng)速度勢φ與路徑無關(guān)，在起點(diǎn)固定的條件下，是終點(diǎn)位置的函數(shù)。定義第十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日無旋流動(dòng)有勢流動(dòng)等價(jià)無旋流動(dòng)有勢流動(dòng)第十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日§5—2理想不可壓縮流體的旋渦動(dòng)力學(xué)特性

開爾文定理若質(zhì)量力有勢，理想不可壓縮流體的運(yùn)動(dòng)方程為：加速度有勢封閉流體線上的速度環(huán)量不隨時(shí)間變化=const加速度無旋封閉流體線上的加速度環(huán)量為零第十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日tt+dtΩΩ

亥姆霍茲定理某時(shí)刻組成渦管的流體質(zhì)點(diǎn)將永遠(yuǎn)組成渦管。渦管的強(qiáng)度在流動(dòng)中保持不變。容易通過開爾文定理予以證明，上述亥姆霍茲定理成立的條件應(yīng)與開爾文定理相同。第二十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日開爾文定理說明，若質(zhì)量力有勢，流體為理想不可壓縮流體，那么渦通量不會(huì)產(chǎn)生，初始時(shí)刻為無旋的流動(dòng)將永遠(yuǎn)保持無旋，而有旋流動(dòng)的渦通量則有保持性，既不會(huì)消失，也不會(huì)擴(kuò)散。

粘性對(duì)旋渦運(yùn)動(dòng)的影響開爾文定理也反過來說明了之所以在實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)中會(huì)有旋渦的產(chǎn)生、發(fā)展和消失，以及渦量在流場中的擴(kuò)散現(xiàn)象，粘性的存在應(yīng)該是最重要的因素。第二十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日§5—3蘭肯渦和卡門渦街

蘭肯渦平面組合渦：中心區(qū)是強(qiáng)迫渦；外圍區(qū)是自由渦。中心區(qū)是以渦心為圓心的圓，其中的速度與離渦心的距離成正比，渦量為常數(shù)。外圍部分的流速則與離渦心的距離成反比，流動(dòng)有勢，渦量為零。Γ0u0uxyCrr0*************第二十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日蘭肯渦是比較接近實(shí)際的平面旋渦模型，其中心部分的流體象剛體一樣旋轉(zhuǎn)，需有外力不斷推動(dòng)，中心部分也可用圓柱形剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)來代替。外圍部分流體的運(yùn)動(dòng)在開始時(shí)是由中心部分的轉(zhuǎn)動(dòng)通過粘性的作用形成的，在流動(dòng)穩(wěn)定以后，則無須再加入能量，粘性也就不再起作用。xCrΓ0u0uyr0第二十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日繞的速度環(huán)量中心區(qū)的流動(dòng)用渦通量計(jì)算得到同樣的結(jié)果渦量處處為常數(shù)速度分布xC

rΓ0u0uyr0第二十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日xC

rΓ0u0uyr0流速分布外圍區(qū)是無旋流動(dòng)繞任一的圓周（任意包住的封閉曲線也可）的速度環(huán)量都等于Γ0外圍區(qū)的流動(dòng)第二十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日xCrΓ0u0uyr0壓強(qiáng)分布外圍區(qū)流動(dòng)恒定無旋，可用歐拉積分確定壓強(qiáng)的徑向分布中心區(qū)流動(dòng)恒定有旋，只能用伯努利積分，但得不到壓強(qiáng)的徑向分布。須直接由理想流體運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)求解。時(shí)速度分布外圍區(qū)的壓強(qiáng)r0第二十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日壓差力向心力xCrΓ0u0uyr0中心區(qū)的壓強(qiáng)由定速度分布?jí)簭?qiáng)分布r0第二十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日xCrΓ0u0uyr0中心區(qū)的壓強(qiáng)速度分布?jí)簭?qiáng)分布r0拋物線分布，渦心處最低中心區(qū)速度越快，壓強(qiáng)越高，速度越慢，壓強(qiáng)越低。與無旋區(qū)有本質(zhì)的不同。第二十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日Uduh/2h/2L/2L/2

卡門渦街試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，定常來流U繞過直徑為d的圓柱體時(shí)，在不同雷

諾數(shù)情況下，圓柱下游有不同的旋渦現(xiàn)象出現(xiàn)。當(dāng)雷諾

數(shù)大于90后，可以看到有規(guī)則交錯(cuò)排列的雙列線渦，稱為卡門渦列，其中尤以雷諾數(shù)等于150左右時(shí)最為典型。-ΓΓ第二十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日Uduh/2h/2L/2L/2旋渦從圓柱體上交替地脫落到下游，因而形成周期性的振動(dòng)，旋渦從柱體上脫落的頻率f將以斯特勞哈爾數(shù)表達(dá)，并由雷諾數(shù)決定-ΓΓ第三十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日Uduh/2h/2L/2L/2從柱體上、下面分別脫落的旋渦，其旋轉(zhuǎn)方向是彼此相反的，同時(shí)所有旋渦都以相同速度（因有旋渦間相互干擾，此速度比來流速度小）向下游移動(dòng)。-Γ?？ㄩT的分析研究表明，當(dāng)渦列的空間尺度為時(shí)，渦列對(duì)于小擾動(dòng)才是穩(wěn)定的，實(shí)測證實(shí)了這一點(diǎn)。第三十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日§5—4有勢流動(dòng)及解法概述由開爾文定理可知，理想不可壓縮流體從靜止或無旋狀態(tài)開始的流動(dòng)將保持為無旋流動(dòng)。所以無旋流動(dòng)往往是以理想流體為前提條件的。無旋流動(dòng)即為有勢流動(dòng)。一.無旋流動(dòng)的速度勢函數(shù)速度勢函數(shù)的定義第三十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日M0M1Oyxz速度勢函數(shù)的求法（一）與路徑無關(guān)，可選一條簡便的路徑計(jì)算。起點(diǎn)不同，速度勢相差一個(gè)常數(shù)，不會(huì)影響對(duì)流場的描述。第三十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日速度勢函數(shù)的求法（二）尋找全微分，確定速度勢要按照定義求速度勢，不要誤認(rèn)為做三個(gè)獨(dú)立的不定積分。給出流場，求解速度勢，要先檢查流場是否無旋。代入確定第三十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日例已知速度場此流動(dòng)是不可壓縮流體的平面勢流，并求速度勢函數(shù)。求證由知第三十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日按定義求按三個(gè)不定積分求第三十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日滿足拉普拉斯方程的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)。極坐標(biāo)中速度勢函數(shù)的微分為不可壓流體無旋流動(dòng)的速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程。dldrxyrdθdθrθ第三十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日例已知速度場此流動(dòng)是不可壓縮流體的平面勢流，并求速度勢函數(shù)。求證r=0奇點(diǎn)第三十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日已知速度場例此流動(dòng)是不可壓縮流體的平面勢流，并求速度勢函數(shù)。求證r=0奇點(diǎn)第三十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日二.不可壓縮流體平面流動(dòng)的流函數(shù)不可壓縮流體平面流動(dòng)的連續(xù)方程改寫矢量場無旋，必有相應(yīng)的勢函數(shù)。原流速場的流函數(shù)定義其勢函數(shù)第四十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日流函數(shù)的微分為穿過微元弧長的流量，所以把稱為流函數(shù)。將平面上一段有向微元弧長順時(shí)針轉(zhuǎn)900，方向?yàn)閐l之法向n，大小為dl，可記為ndl根據(jù)流函數(shù)定義dlndldx-dxdydyu第四十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日表示穿過M0

至M連線的流量，它與連線路徑無關(guān)，在起點(diǎn)M0

確定的情況下是終點(diǎn)M的坐標(biāo)的函數(shù)。根據(jù)定義確定流函數(shù)時(shí)選取不同的起點(diǎn)M0

，流函數(shù)將相差一個(gè)常數(shù)，但同樣不會(huì)影響對(duì)流場的描述。M0M對(duì)于不可壓流體的平面流動(dòng)是容易理解的，而三維流動(dòng)就得不到這樣的結(jié)論。第四十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日兩點(diǎn)流函數(shù)的差表示穿過兩點(diǎn)間任意連線的流量。（常數(shù)）不可壓流體平面流動(dòng)的流線方程表示有流量自M1M2連線左側(cè)流進(jìn)右側(cè)，由此可確定流動(dòng)方向。如圖中所示,若M1M2第四十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日畫出穿過微元弧長的流量示意圖，可以幫助記憶流函數(shù)定義。在直角坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中第四十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日說明流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。流函數(shù)的概念本與流動(dòng)是否無旋無關(guān)，在這里引出，是為了下面建立不可壓流體平面無旋流動(dòng)復(fù)勢的需要。如果不可壓流體平面流動(dòng)是無旋的，那么若已知不可壓縮流體平面流動(dòng)的速度場，則流函數(shù)也可用定義直接求或用尋找全微分的方法。第四十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日不可壓流體平面無旋流動(dòng)既有速度勢函數(shù)又有流函數(shù)，它們都滿足拉普拉斯方程，都是調(diào)和函數(shù)。三.不可壓縮流體平面無旋流動(dòng)的速度勢函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系根據(jù)它們和流速場的關(guān)系可知稱這對(duì)調(diào)和函數(shù)滿足柯西—黎曼條件，互為共軛調(diào)和函數(shù)。等勢線和等流函數(shù)線（流線）必是互相正交的。上取一段微元弧長矢量dl，則第四十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日以上速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系是在不可壓縮流體平面無旋流動(dòng)的條件下建立的。在不可壓縮流體平面有旋流動(dòng)中就只有流函數(shù)，沒有速度勢。在不可壓縮流體三維無旋流動(dòng)中就只有速度勢，沒有流函數(shù)。注意：如不可壓縮流體平面流動(dòng)的流函數(shù)流動(dòng)有旋，不存在速度勢。求流函數(shù)求速度勢查是否平面不可壓查是否無旋第四十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日四.理想不可壓縮流體恒定有勢流動(dòng)的解法概述求解數(shù)量場求解矢量場u求解歐拉方程求解拉普拉斯方程的邊值問題歐拉積分四個(gè)未知數(shù)u,

p拉普拉斯方程的邊值問題在適定的邊界條件下有唯一解。第四十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日理想不可壓流體恒定平面有勢流動(dòng)同時(shí)存在速度勢函數(shù)和流函數(shù)，這是一對(duì)共軛調(diào)和函數(shù)。給流場的求解帶來更大的簡便。常

用的解法分離變量法奇點(diǎn)分布法保角變換法數(shù)值解法幾何（流網(wǎng)）法實(shí)驗(yàn)（如水電比擬等）方法第四十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日繪制流網(wǎng)是求解理想不可壓流體定常平面有勢流動(dòng)的一種近似的幾何方法，流網(wǎng)是由等速度勢函數(shù)線族和等流函數(shù)線（流線）族構(gòu)成的正交網(wǎng)格。一般取速度勢函數(shù)和流函數(shù)的增量相等，流網(wǎng)呈正方形。根據(jù)流網(wǎng)可以圖解流速，再由歐拉積分推算壓力。

xydsdnφ+dφψ+dψψφuo第五十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日繪制流網(wǎng)要點(diǎn):固壁為等流函數(shù)線(流線)；流線間隔按流量相同劃分，斷面流速均勻，則流線間距相等；自由面也是一條流線，但其位置、形狀未知，需利用壓強(qiáng)條件逐漸確定。流網(wǎng)密處，流速大、壓強(qiáng)小。流網(wǎng)疏處，流速小、壓強(qiáng)大。已知一點(diǎn)處流速、壓強(qiáng)，可知各點(diǎn)流速和壓強(qiáng)。ABψφ第五十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日§5—5理想不可壓縮流體恒定平面勢流的奇點(diǎn)分布解法一.幾種基本的不可壓縮流體平面有勢流動(dòng)直線等速流動(dòng)整個(gè)流場速度都一樣，大小

，與x軸夾角αoαψ2xψ1ψ4yφ2ψ3ψ5φ3φ4φ5φ1第五十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日oαψ2xψ1ψ4yφ2ψ3ψ5φ3φ4φ5φ1第五十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日平面點(diǎn)源oψ2xψ1ψ4yφ2ψ3φ3φ1實(shí)際上是與流動(dòng)平面垂直的一條無限長線源，單位長度源強(qiáng)為q

q為正稱為點(diǎn)源，q為負(fù)稱為點(diǎn)匯。第五十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日oxyψ2ψ1ψ4φ2ψ3φ3φ1等勢線流線點(diǎn)源處，是流場的奇點(diǎn)以點(diǎn)源為圓心的同心圓從點(diǎn)源出發(fā)的半射線第五十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日平面點(diǎn)渦x實(shí)際上是與流動(dòng)平面垂直的一條無限長線渦，渦強(qiáng)為Γ.蘭肯渦的簡化模型。

Γ以逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。oψ2ψ1yφ2ψ3φ3φ1第五十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日等勢線流線點(diǎn)渦處，是流場的奇點(diǎn)從點(diǎn)源出發(fā)的半射線以點(diǎn)源為圓心的同心圓oψ2ψ1yφ2ψ3φ3φ1x第五十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日

流場中若有多個(gè)點(diǎn)渦，各點(diǎn)渦處于其它點(diǎn)渦誘導(dǎo)的流場中，整個(gè)點(diǎn)渦組將會(huì)運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)渦對(duì)自身的誘導(dǎo)速度為零。

上面的公式都是針對(duì)奇點(diǎn)處于原點(diǎn)得到的，若有多個(gè)奇點(diǎn)，必有奇點(diǎn)不在原點(diǎn)位置，如為(a,b)，則相應(yīng)的公式中(x,y)改為(x-a,y-b).ΓΓΓ/2πddΓ/2πdΓ/2πdΓd-ΓΓ/2πd*********第五十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日二.基本有勢流動(dòng)的疊加勢流疊加原理拉普拉斯方程是線性齊次的，解的線性組合仍是解。根據(jù)疊加原理，可用基本有勢流動(dòng)疊加成較復(fù)雜的有勢流動(dòng)。第五十九頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日平面偶極子一對(duì)等強(qiáng)度的源和匯疊加的極限情況間距保持不變強(qiáng)度即偶極子方向：匯源偶極子強(qiáng)度：myθxop(x,y)rArBrθAθBAB第六十頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日強(qiáng)度為m，方向?yàn)楱Cx軸的偶極子的速度勢yθxop(x,y)rArBrθAθBAB第六十一頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日強(qiáng)度為m，方向?yàn)楱Cx軸的偶極子的流函數(shù)yθxop(x,y)rArBrθAθBAB

偶極子方向?yàn)閤軸，結(jié)果反號(hào)。第六十二頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日xy偶極子的流線圓心在y軸上與x軸相切的圓ψ=Cφ=Cm偶極子的等勢線圓心在x軸上與y軸相切的圓第六十三頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日直線等速流動(dòng)平面點(diǎn)源+零流線駐點(diǎn)過駐點(diǎn)流線的流線常數(shù)(上半段，

取0-）第六十四頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日過駐點(diǎn)流線c=/2代入，得0過駐點(diǎn)流線在下游無窮遠(yuǎn)處開口寬度第六十五頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日設(shè)想用一剛性薄片按上述過駐點(diǎn)流線的形狀彎成柱面，從垂直于流動(dòng)平面的方向插入流場，將不會(huì)影響內(nèi)外兩部分流場的流動(dòng)。這就是流線與固壁的等價(jià)原理。若按過駐點(diǎn)流線的形狀制成半無窮柱體放入流場相應(yīng)位置，取代點(diǎn)源，此時(shí)內(nèi)部流動(dòng)將不再存在，但外部流動(dòng)仍不會(huì)改變。所以點(diǎn)源對(duì)等速直線流動(dòng)的影響與這個(gè)半無窮柱體對(duì)等速直線流動(dòng)的影響是等價(jià)的。上面我們得到的流場也就是等速直線流動(dòng)繞過半無窮柱體的繞流解。從這個(gè)意義上講，點(diǎn)源這個(gè)抽象的流動(dòng)變成了一個(gè)具體、實(shí)在的概念。

流線與固壁的等價(jià)原理第六十六頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日第六十七頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日直線等速流動(dòng)一對(duì)平面源匯+過駐點(diǎn)流線封閉，呈扁平的卵形。一對(duì)平面源匯偶極子如何？第六十八頁，共七十五頁，編輯于2023年，星期日直線等速流動(dòng)偶極子+零流線代表繞圓柱r