高等數(shù)學(xué)應(yīng)用案例講解

-.z.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用案例案例1、如何調(diào)整工人的人數(shù)而保證產(chǎn)量不變一工廠有名技術(shù)工人和名非技術(shù)工人，每天可生產(chǎn)的產(chǎn)品產(chǎn)量為〔件〕現(xiàn)有16名技術(shù)工人和32名非技術(shù)工人，如何調(diào)整非技術(shù)工人的人數(shù)，可保持產(chǎn)品產(chǎn)量不變？解：現(xiàn)在產(chǎn)品產(chǎn)量為件，保持這種產(chǎn)量的函數(shù)曲線為。對(duì)于任一給定值，每增加一名技術(shù)工人時(shí)的變化量即為這函數(shù)曲線切線的斜率。而由隱函數(shù)存在定理，可得所以，當(dāng)增加一名技術(shù)工人時(shí)，非技術(shù)工人的變化量為當(dāng)時(shí)，可得。因此，要增加一個(gè)技術(shù)工人并要使產(chǎn)量不變，就要相應(yīng)地減少約4名非技術(shù)工人。下面給出一個(gè)初等數(shù)學(xué)解法。令c：每天可生產(chǎn)的產(chǎn)品產(chǎn)量；；技術(shù)工人數(shù)；；非技術(shù)工人數(shù)；；技術(shù)工人增加人數(shù)；；在保持每天產(chǎn)品產(chǎn)量不變情況下，當(dāng)技術(shù)工人由16名增加到17名時(shí)，非技術(shù)人員要增加〔或減少〕的人數(shù)。由列方程：〔1〕當(dāng)技術(shù)工人為16名，非技術(shù)工人為32名時(shí)，每天的產(chǎn)品產(chǎn)量為c，那么有方程：〔1〕〔2〕當(dāng)技術(shù)工人增加了1名時(shí)，非技術(shù)工人應(yīng)為〔〕名，且每天的產(chǎn)品產(chǎn)量為c，那么有方程：〔2〕聯(lián)立方程組〔1〕、〔2〕，消去c得：即代入，得：名，即減少4名非技術(shù)工人。比擬這兩種解法我們可以發(fā)現(xiàn)，用初等數(shù)學(xué)方法計(jì)算此題的工作量很大，究其原因，我們注意到下面之展開式：從此展開式我們可以看到，初等數(shù)學(xué)方法不能忽略掉高階無窮?。骸?〕而高等數(shù)學(xué)方法卻利用了隱函數(shù)求導(dǎo)，忽略掉高階無窮小〔3〕，所以計(jì)算較容易。案例2、征稅的學(xué)問工廠想賺錢，政府要收稅，一個(gè)怎樣的稅率才能使雙方都受益？這是一個(gè)具有現(xiàn)實(shí)意義的問題。假設(shè)工廠以追求最大利潤為目標(biāo)而控制它的產(chǎn)量q，政府對(duì)其產(chǎn)品征稅的稅率(單位產(chǎn)品的稅收金額)為t，我們的任務(wù)是，確定一個(gè)適當(dāng)?shù)亩惵?，使征稅收益到達(dá)最大?，F(xiàn)工廠的總收益函數(shù)和總本錢函數(shù)分別為R=R(q)、C=C(q)。由于每單位產(chǎn)品要納稅t，故平均本錢要增加t，從而納稅后的總本錢函數(shù)是利潤函數(shù)是令，有〔1〕這就是在納稅的情況下獲得最大利潤的必要條件。政府征稅得到的總收益是〔2〕顯然，總收益T不僅與產(chǎn)量q有關(guān)，而且與稅率f有關(guān)。當(dāng)稅率t=0(免稅)時(shí)，T=0；隨著單位產(chǎn)品稅率的增加，產(chǎn)品的價(jià)格也會(huì)提高，需求量就會(huì)降低，當(dāng)稅率f增大到使產(chǎn)品失去市場時(shí)，有q=0，從而也有T=0。因此，為了使征稅收益最大，就必須恰當(dāng)?shù)剡x取t。我們利用一元函數(shù)極值的有關(guān)知識(shí)來解決本問題，下面看一個(gè)實(shí)例。例1：廠商的總收益函數(shù)和總本錢函數(shù)分別為。廠商追求最大利潤，政府對(duì)產(chǎn)品征稅，求1)征稅收益的最大值及此時(shí)的稅率t；2)廠商納稅前后的最大利潤及價(jià)格．解：1)由納稅后獲得最大利潤的必要條件(1)，得故根據(jù)實(shí)際問題的判斷，就是納稅后廠商獲得最大利潤的產(chǎn)出水平。于是，這時(shí)的征稅收益函數(shù)要使稅收T取最大值，令，得，即t=14根據(jù)實(shí)際問題可以斷定必有最大值，現(xiàn)在只有一個(gè)根，所以當(dāng)t=14時(shí)，T的值最大。這時(shí)的產(chǎn)出水平，最大征稅收益為2)容易算得納稅前，當(dāng)產(chǎn)出水平q=3.5時(shí)，可獲得最大利潤L=47，此時(shí)價(jià)格p=19.5；將qt=1.75，t=14代入納稅后的利潤函數(shù)得最大利潤L=10.25，此時(shí)產(chǎn)品價(jià)格=24.75可見，因產(chǎn)品納稅，產(chǎn)出水平由3.5下降到1.75；價(jià)格由19.5上升到24.75，最大利潤由47下降到10.25。案例3、隧道的車流量問題巴巴拉(Barbara)承受了紐約市隧道管理局的一份工作，她的第一項(xiàng)任務(wù)就是決定每輛汽車以多大速度通過隧道可使車流量最大。通過大量的觀察，她找到了一個(gè)很好的描述平均車速(km/h)與車流量(輛／秒)關(guān)系的函數(shù)：(a)問平均車速多大時(shí)，車流量最大？(b)最大流量是多少？解：(a)這是一個(gè)極值的問題：令，即由實(shí)際問題知，當(dāng)v=26.15(b)最大車流量是f(26.15)=8.8(輛／秒)案例4、、核廢料的處理問題以前，美國原子能委員會(huì)將放射性核廢料裝在密封的圓桶里扔到水深約91米的海里。生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家耽心這種做法不平安而提出疑問。原子能委員會(huì)向他們保證，圓桶決不會(huì)破漏。經(jīng)過周密的試驗(yàn)，證明圓桶的密封性是很好的。但工程師們又問：圓桶是否會(huì)因與海底碰撞而發(fā)生破裂？原子能委員會(huì)說：決不會(huì)。但工程師們不放心。他們進(jìn)展了大量的實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓桶的速度超過每秒12.2米時(shí)，圓桶會(huì)因碰撞而破裂。那末圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度到底是多少呢？它會(huì)因碰撞而破裂嗎？下面是具體而真實(shí)的數(shù)據(jù)，你能根據(jù)它們解決這個(gè)問題嗎？圓桶的重量W=239.456kg海水浮力為1025.94kg／m3圓桶的體積V=0.208m圓桶下沉?xí)r的阻力：工程師們做了大量牽引試驗(yàn)后得出結(jié)論：這個(gè)阻力與圓桶的方位大致無關(guān)，而與下沉的速度成正比，比例系數(shù)k=0.12。解：建立坐標(biāo)系，設(shè)海平面為x軸，y軸的方向向下為正。由牛頓第二定律F=ma，其中m為圓桶質(zhì)量，，F(xiàn)為作用在圓桶上的力：它由圓桶的重量W，海水作用在圓桶上的浮力B=1025.94×V=213.396(kg)及圓桶下沉?xí)r的阻力D=kv=0.12v=0.12。(其中v為下沉速度)合成。即F=w-B-D=W-B-kv，這樣就得到一個(gè)二階微分方程(1)此微分方程是型的。解此方程：由于，那么代人〔1〕得到一個(gè)一階可別離變量的方程解得，至此，數(shù)學(xué)問題似乎有了結(jié)果，得到了速度與時(shí)間的表達(dá)式，但實(shí)際問題遠(yuǎn)沒有解決。因?yàn)閳A桶到達(dá)海底所需的時(shí)間t并不知道，因而也就無法算出速度。這樣，上述的表達(dá)式就沒有實(shí)際意義。有人會(huì)說，雖然無法算出準(zhǔn)確值但我們可以估計(jì)當(dāng)時(shí)，。因而圓桶到達(dá)海底的速度不會(huì)超過。這個(gè)說法是對(duì)的，但可惜，它太大了，毫無用處。這樣，方程(1)就需要用其它方法來解。型方程的另一種解法是：令，方程(1)也化為一個(gè)一階可別離變量的方程〔2〕解之，得由初始條件得所以求當(dāng)y=91(米)時(shí)，v=？似乎這個(gè)v值也無法求得，但我們用近似方法例如牛頓法迭代可求出v的近似值。牛頓法介紹：假設(shè)方程g(v)=0，求v用迭代法：在這里，(3)式可寫成取其中a=9.8m/s2，記。，于是迭代格式為：〔4〕選擇一個(gè)好的初始值，就能很快算出結(jié)果。求的粗略近似值：從(2)中令k=0(即下沉?xí)r不計(jì)阻力)得由初始條件得C=0。以=13.93代入〔4〕得有這就夠了，不用再迭代了。，因此這種處理核廢料的方法是不平安的。案例5、大氣污染指數(shù)的影響因素一個(gè)城市的大氣污染指數(shù)P取決于兩個(gè)因素，空氣中固體廢物的數(shù)量x和空氣中有害氣體的數(shù)量y，在某種情況下。試說明的意義，并計(jì)算當(dāng)x增長10％或y增長10％時(shí)，用偏導(dǎo)數(shù)估算P的改變量。解：的意義：如果空氣中有害氣體的數(shù)量y為一常數(shù)b，空氣中固體廢物的數(shù)量x是變化的，那么當(dāng)x=a有一個(gè)單位的改變時(shí)，大氣污染指數(shù)P大約改變個(gè)單位．同樣地，可以說明的意義．設(shè)空氣中有害氣體的量y=5，且固定不變，當(dāng)空氣中固體廢物的量x=10時(shí)，P對(duì)x的變化率等于130．當(dāng)x增長10％，即x從10到11，P將增長大約130×1=130個(gè)單位(事實(shí)上，P(10，5)=1200，P(11，5)=1331，P增長了131個(gè)單位)。同樣地，設(shè)空氣中固體廢物的量x=10且固定不變，當(dāng)空氣中有害氣體的量y=5時(shí)，P對(duì)Y的變化率等于420．當(dāng)Y增長10％，即Y從5到5．5，增長0．5個(gè)單位時(shí)，P大約增長420×0.5=210個(gè)單位(事實(shí)上，P(10，5)=1200，P(10，5.5)=1420，P增長了220個(gè)單位)。因此，大氣污染指數(shù)對(duì)有害氣體增長10％比對(duì)固體廢物增長10％更為敏感。案例6、為什么不宜制造太大的核彈頭核彈在與它的爆炸量(系指核裂變或聚變時(shí)釋放出的能量，通常用相當(dāng)于多少千噸T．N．T炸藥的爆炸威力來度量)的立方根成正比的距離會(huì)產(chǎn)生每平方厘米0.3516千克的超壓，這種距離算作有效距離。假設(shè)記有效距離為D，爆炸量為x，那么二者的函數(shù)關(guān)系為其中C是比例常數(shù)。又知當(dāng)x是100千噸(T．N．T當(dāng)量)時(shí)，有效距離D為3．2186千米．于是3.2186=即所以這樣，當(dāng)爆炸量增至10倍(變成100()千噸=百萬噸)時(shí)，有效距離增至差不多僅為100千噸時(shí)的2倍，說明其作用圍()并沒因爆炸量的大幅度增加而顯著增加。下面再來研究爆炸量與相對(duì)效率的關(guān)系(這里相對(duì)效率的含義是，核彈的爆炸量每增加1千噸T．N．T當(dāng)量時(shí)有效距離的增量)。由知假設(shè)，那么這就是說，對(duì)100千噸(10萬噸級(jí))爆炸