2023年九年級數(shù)學(xué)中考專題訓(xùn)練-二次函數(shù)的最值

中考專題訓(xùn)練——二次函數(shù)的最值1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象交x軸于A（4，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接AC．(1)填空：該拋物線的函數(shù)解析式為，其對稱軸為直線；(2)若P是拋物線在第一象限內(nèi)圖象上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)Q，試求線段PQ的最大值；(3)在（2）的條件下，當(dāng)線段PQ最大時，在x軸上有一點(diǎn)E（不與點(diǎn)O，A重合），且EQ=EA，在x軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD與△AEQ相似？如果存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．2．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），D（1，m）．（1）當(dāng)OB=OC時，直接寫出拋物線的解析式；（2）直線CD必經(jīng)過某一定點(diǎn)，請你分析理由并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P為直線CD上一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時，求m的值．3．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），拋物線經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）求拋物線的函數(shù)解析式；（3）點(diǎn)F為線段OB上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在y軸右側(cè)），連接ON、BN，當(dāng)四邊形ABNO的面積最大時，求點(diǎn)N的坐標(biāo)并求出四邊形ABNO面積的最大值．4．如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c(a＞0)的圖象與x軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)為P，直線CP與過點(diǎn)B且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)D，且CP：PD＝1：2，tan∠PDB＝．(1)則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(，)；B(，)；(2)求這個二次函數(shù)的解析式；(3)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M使|MC﹣MB|的值最大，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．5．如圖，拋物線y=x2+3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與直線y=x+b相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，直線y=x+b與y軸交于點(diǎn)E．（1）寫出直線BC的解析式．（2）求△ABC的面積．（3）若點(diǎn)M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從A向B運(yùn)動（不與A，B重合），同時，點(diǎn)N在射線BC上以每秒2個單位長度的速度從B向C運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒，請寫出△MNB的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出點(diǎn)M運(yùn)動多少時間時，△MNB的面積最大，最大面積是多少？6．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線相交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在y軸上，當(dāng)x=6時，二次函數(shù)有最大值，最大值為10，點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)C在AB上方），過C作CD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)C在何位置時，線段CE有最大值？請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)及CE的最大值；（3）當(dāng)點(diǎn)C在何位置時，線段BE與線段CF互相平分？請求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．7．拋物線y=－x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，已知A（－1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線BC的解析式；（3）如圖，P為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)D，求△BDC的面積的最大值．8．如圖，拋物線y＝－x2＋mx＋n與x軸分別交于點(diǎn)A（4，0），B（－2，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；

（2）M為第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M在何處時，△ACM的面積最大；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△PAC為直角三角形？若存在，請求出所有可能點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．9．已知函數(shù)（為常數(shù)）．(1)無論取何值，函數(shù)圖象都過定點(diǎn)_________．(2)若對于任意實數(shù)，函數(shù)的圖象始終在軸下方，求的取值范圍；(3)若，設(shè)函數(shù)（為常數(shù)）圖象的頂點(diǎn)為，且與經(jīng)過點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為．求證：三點(diǎn)共線．10．若拋物線與直線l：的一個交點(diǎn)為P，M是該拋物線的頂點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求該拋物線的解析式；(2)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最大值；(3)若，點(diǎn)P在y軸上，直線l與拋物線的另一個交點(diǎn)是Q，當(dāng)時，請直接寫出m的值．11．如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線的對稱軸上一個動點(diǎn)，連接，，當(dāng)?shù)拈L度最小時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)E是x軸上一動點(diǎn)，在直線BP上是否存在點(diǎn)F，使以B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．12．已知：二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上有一動點(diǎn)P，求出使的值最小時點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在第三象限中的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使的面積最大？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)及面積的最大值；若不存在，說明理由．13．已知二次函數(shù)與的圖象開口朝上．(1)當(dāng)a＝1時，討論函數(shù)的增減性；(2)若與的圖象有兩個交點(diǎn)為A、B．請求出這兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)記與的最小值分別為m、n．若m＞0，n＞0，且mn＝4，求的值．14．如圖，已知地物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），直線與x軸和y軸分別交于C，D兩點(diǎn)．(1)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，且A點(diǎn)的坐標(biāo)是，求拋物線的函數(shù)解析式；(2)在（1）的條件下，點(diǎn)P是在直線下方二次函數(shù)圖像上的一個動點(diǎn)，試探究點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少時，的面積最大，并求出最大面積；(3)當(dāng)時，拋物線對應(yīng)的函數(shù)有最小值3，求t的值．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)和直線BC的解析式；(2)若點(diǎn)P在直線BC的下方，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．16．如圖，二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，與x軸的負(fù)半軸，y軸正半軸交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求b的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值；(3)當(dāng)時，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若，求t的值．17．如圖，在在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)C（0，6）是拋物線與y的交點(diǎn)．（1）求拋物線與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)（A在B的左邊）；（2）設(shè)直線y＝h（h為常數(shù)，0＜h＜6）與直線BC交于點(diǎn)D，與y交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，連AE，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，0）．①求h為何值時，△AEF的面積S最大；②問：是否存在這樣的直線y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，請求出h的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．18．如圖，拋物線與斜交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式．（2）若點(diǎn)為該拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)最小值，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．19．如圖，已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）在直線上方的該拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及面積的最大值；若不存在，請說明理由．（3）是直線右側(cè)的該拋物線上一動點(diǎn)，過作軸，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20．定義:在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)和都在某函數(shù)的圖象上，則稱點(diǎn)是圖象的一對“相關(guān)點(diǎn)”．例如，點(diǎn)和點(diǎn)是直線的一對相關(guān)點(diǎn)．請寫出反比例函數(shù)的圖象上的一對相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸交于點(diǎn)．求拋物線的解析式:若點(diǎn)是拋物線上的一對相關(guān)點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上之間的一點(diǎn)，求面積的最大值．參考答案：1．（1）見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）把代入拋物線中列方程組，解出可得b和c的值，可得拋物線的解析式，配方成頂點(diǎn)式可得對稱軸；（2）先利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)鉛直高度表示PQ的長，并配方可得PQ的最大值；（3）分兩種情況：①當(dāng)D在線段OA上時，如圖1，根據(jù)△AEQ∽△ADC，由EQ=EA，得CD=AD，利用勾股定理解決問題；②當(dāng)D在點(diǎn)B的左側(cè)時，如圖2根據(jù)三角形相似，由EQ=EA可得OA=OD，可得D的坐標(biāo)．【解析】．解：（1）把代入拋物線中得：解得：

∴∴拋物線的函數(shù)解析式為：其對稱軸為直線：

故答案為(2)∵A(4,0),C(0,3)，∴直線AC的解析式為：設(shè),則∴∵P是拋物線在第一象限內(nèi)圖象上的一動點(diǎn)，∴0<x<4，∴當(dāng)x=2時，PQ的最大值為3；(3)分兩種情況：①當(dāng)D在線段OA上時,如圖1,△AEQ∽△ADC，∵EQ=EA,∴CD=AD，設(shè)CD=a，則AD=a，OD=4?a，在Rt△OCD中,由勾股定理得：

∴∴∴②當(dāng)D在點(diǎn)B的左側(cè)時,如圖2,△AEQ∽△ACD，∵EQ=EA，∴CD=AC，∵OC⊥AD，∴OD=OA=4，∴D(?4,0)，綜上所述,當(dāng)△ACD與△AEQ相似時,點(diǎn)D的坐標(biāo)為或(?4,0).【點(diǎn)評】屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性比較強(qiáng)，屬于?？碱}型.2．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）直線CD必經(jīng)過定點(diǎn)（﹣3，0）；（3）以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時，m的值為2或或8．【分析】（1）由點(diǎn)A，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），D（1，m），可得B點(diǎn)坐標(biāo)，又OB=OC，可得拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）由拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為（1，m），可得b=﹣2a，由A（﹣1，0）在拋物線上，可得c=﹣3a，可得直線CD的解析式為y=﹣ax﹣3a=﹣a（x+3），可得答案；(3)分∠PAB=90°、∠PBA=90°、∠APB=90°三種情況討論可得m的值.【解析】（1）點(diǎn)A，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），D（1，m），∴B（3，0），∴OB=3，∵OB=OC，∴C（0，3），設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），∴a×1×（﹣3）=3，∴a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；（2）∵拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)分別為（1，m），∴﹣=1，∴b=﹣2a，∴拋物線的解析式為y=ax2﹣2ax+c，∵A（﹣1，0）在拋物線上，∴a+2a+c=0，∴c=﹣3a，∴拋物線的解析式為y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，∴m=﹣4a，∴D（1，﹣4a），C（0，﹣3a），∴直線CD的解析式為y=﹣ax﹣3a=﹣a（x+3），令x+3=0，即：x=﹣3時，y=0，∴直線CD必經(jīng)過定點(diǎn)（﹣3，0）；（3）A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，當(dāng)∠PAB=90°時，PA=AB，∵P（﹣1，﹣2a），∴PA=﹣2a，∴﹣2a=4，∴a=﹣2，∴m=﹣4a=8當(dāng)∠PBA=90°時，PB=AB，∵P（3，﹣6a），∴PB=﹣6a，∴﹣6a=4，∴a=﹣，∴m=﹣4a=，當(dāng)∠APB=90°時，PA=PB，∵P（1，﹣4a），∴m=﹣4a=AB=2，即：以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時，m的值為2或或8．【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，難度較大，需綜合運(yùn)用各知識求解.3．（1）E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)；（2）；（3）四邊形ABNO面積的最大值為，此時N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式，與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)E；（2）利用待定系數(shù)法拋物線的函數(shù)解析式；（3）先設(shè)N(m，m2?m)(0＜m＜3)，則G（m，m），根據(jù)面積和表示四邊形ABNO的面積，利用二次函數(shù)的最大值可得結(jié)論．【解析】（1）設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，把A（-1，1），B（3，3）代入得，解得，所以直線AB的解析式為y＝x+，當(dāng)x=0時，y＝×0+＝，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)；（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得，解得，所以拋物線解析式為y＝x2?x；（3）如圖，作NG∥y軸交OB于G，OB的解析式為y=x，設(shè)N(m，m2?m)(0＜m＜3)，則G（m，m），GN＝m?(m2?m)＝?m2+m，S△AOB=S△AOE+S△BOE=××1+××3=3，S△BON＝S△ONG+SBNG＝?3?(?m2+m)＝?m2+m所以S四邊形ABNO＝S△BON+S△AOB＝?m2+m+3＝?(m?)2+當(dāng)m＝時，四邊形ABNO面積的最大值，最大值為，此時N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用面積的和差計算不規(guī)則圖形的面積．4．（1）﹣1，0；3，0；（2）y=x2﹣x﹣；（3）（1，﹣）【分析】（1）先求得拋物線的對稱軸為x=1，然后利用平行線分線段成比例定理求得OE：EB的值，從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用拋物線的對稱性可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)C作CF⊥PE，垂足為F．先求得點(diǎn)C和點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含字母的式子表示），然后可得到PF=a，然后利用銳角三角函數(shù)的定義可求得a的值，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得c的值；（3）根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出點(diǎn)A、C、M在同一直線上時|MC-MB|最大，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再根據(jù)點(diǎn)M在對稱軸上代入計算即可得解．【解析】（1）如圖所示：∵由題意可知：拋物線的對稱軸為x=1，∴OE=1．∵OC∥PE∥BD，CP：PD=1：2，∴=．∴BE=2．∴OB=3．∴B（3，0）．∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于PE對稱，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．故答案是：﹣1，0；3，0；（2）過點(diǎn)C作CF⊥PE，垂足為F．將x=0代入得：y=c，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，c）．將x=1代入得y=﹣a+c．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣a+c）．∴PF=a．∵PE∥BD，tan∠PDB=，∴tan∠CPF=tan∠PDB=．∴．解得a=．將a=代入拋物線的解析式得：y=x2﹣x+c．將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：++c=0，解得：c=﹣．∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣．（3）由三角形的三邊關(guān)系，|MC﹣MB|＜AC，∴當(dāng)點(diǎn)A、C、M在同一直線上時|MC﹣MB|最大，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則，解得，∴y=﹣x﹣，∵拋物線對稱軸為直線x=1，∴當(dāng)x=1時，y=﹣×1﹣=﹣，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣）．故答案是：（1，﹣）．【點(diǎn)評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了拋物線的對稱性，銳角三角函數(shù)的定義，平行線分線段成比例定理，作CF垂直于對稱軸，利用銳角三角函數(shù)的定義求得a的值是解題的關(guān)鍵．5．（1）BC的解析式為y=x+；（2）×4×=（3）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動2秒時，△MNB的面積達(dá)到最大，最大為．【解析】試題分析：（1）令y=0代入y=-x2+3求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x+b求出BC的解析式．（2）聯(lián)立方程組求出B．C的坐標(biāo)．求出AB，CD的長后可求出三角形ABC的面積．（3）過N點(diǎn)作NP⊥MB，證明△BNP∽△BEO，由已知令y=0求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用線段比求出NP，BE的長．求出S與t的函數(shù)關(guān)系式后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值．試題解析：（1）在y=-x2+3中，令y=0，∴-x2+3=0，∴x1=2，x2=﹣2∴A（﹣2，0），B（2，0），又點(diǎn)B在y=-x+b上，∴0=-+b，b=∴BC的解析式為y=-x+．由，得，．∴C(-1，)，B（2，0），∴AB=4，CD=，∴×4×=．過點(diǎn)N作NP⊥MB于點(diǎn)P，∵EO⊥MB，∴NP∥EO∴△BNP∽△BEO，∴．由直線y=-x+可得：E(0,)∴在△BEO中，BO=2，EO=，則BE=，∴，∴NP=t，∴S=.t．（4﹣t）=﹣t2+t（0＜t＜4）=﹣（t﹣2）2+∵此拋物線開口向下，∴當(dāng)t=2時，S最大=，∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動2秒時，△MNB的面積達(dá)到最大，最大為．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．6．（1）y=-x2+3x+1．（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，）時，yCE最大=．（3）當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，9）或（6，10）時，線段BE與線段CF互相平分．【解析】試題分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平行于y軸兩點(diǎn)之間的距離是減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（3）根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于關(guān)于x的方程，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)．試題解析：（1）將x=0代入，得y=1．∴點(diǎn)A（0，1）．設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x-6）2+10，將x=0，y=1代入，得a=-∴y=-（x-6）2+10．即y=-x2+3x+1．（2）點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)E在AB上，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m2+3m+1），E（m，m+1）yCE=-m2+3m+1-m-1=-m2+mx=5時，yCE最大=．將m=5代入y=-x2+3m+1，得y=．∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，）時，yCE最大=．（3）解，得x1=0，x2=10．將x=10代入y=x+1=6，∴BF=6．∵線段BE與線段CF互相平分，∴四邊形BCEF是平行四邊形．∴CE=BF=6．即-x2+x=6．解，得x1=4，x2=6．將x1=4，x2=6，分別代入y=-x2+3x+1．得y1=9，y2=10．∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，9）或（6，10）時，線段BE與線段CF互相平分．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.7．（1）拋物線解析式為y=－x2＋2x＋3．（2）直線BC的解析式為y=－x+3（3）當(dāng)時，△BDC的面積最大值是【解析】試題分析：解：（1）∵A（－1，0），C（0，3）在拋物線y=－x2＋bx＋c上，∴∴解得∴拋物線解析式為y=－x2＋2x＋3．（2）令－x2＋2x＋3=0，解得x1=－1，x2="3"∴B（3，0）

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，則解得：∴直線BC的解析式為y=－x+3

（3）設(shè)P（a，3－a），則D（a，－a2＋2a＋3）∴PD=（－a2＋2a＋3）－（3－a）=－a2＋3a（7分）∴∴當(dāng)時，△BDC的面積最大值是考點(diǎn)：一次函數(shù)二次函數(shù)等點(diǎn)評：本題難度較大，主要考查學(xué)生對函數(shù)知識點(diǎn)及圖像性質(zhì)的掌握．為中考?？碱}型，要求學(xué)生培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想多做訓(xùn)練，并靈活運(yùn)用到考試中去．8．（1）y＝－x2＋2x＋8；（2）（2，8）；（3）（1，4＋）或（1，4－）【解析】試題分析：（1）由拋物線股過點(diǎn)A（4，0），B（－2，0）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)M坐標(biāo)為（a，－a2＋2a＋8），先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求得直線AC的解析式，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交AC于N，則N的坐標(biāo)為(a，－2a＋8)，根據(jù)△ACM的面積＝△MNC的面積＋△AMN的面積再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分①當(dāng)∠ACP＝90°時，②當(dāng)∠CAP＝90°時，③當(dāng)∠APC＝90°時，這三種情況分析即可.（1）∵y＝－x2＋mx＋n與x軸分別交于點(diǎn)A（4，0），B（－2，0），∴解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋8；（2）設(shè)M坐標(biāo)為（a，－a2＋2a＋8），其中a＞0．∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，∴C(0，8)．∵A（4，0），C(0，8)．∴直線AC的解析式為y＝－2x＋8．過點(diǎn)M作x軸的垂線，交AC于N，則N的坐標(biāo)為(a，－2a＋8)．∴△ACM的面積＝△MNC的面積＋△AMN的面積＝－a2＋4a＝－(a－2)2＋4當(dāng)a＝2，即M坐標(biāo)為（2，8）時，△ACM的面積最大，最大面積為4；（3）①當(dāng)∠ACP＝90°時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，9.5)；②當(dāng)∠CAP＝90°時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，－1.5）；③當(dāng)∠APC＝90°時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4＋）或（1，4－）．考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．9．(1)，；(2)；(3)見解析【分析】（1），當(dāng)時，，求解即可；（2）當(dāng)時，，函數(shù)在軸下方，當(dāng)時，函數(shù)在軸下方，則，且，即可求解；（3）如果三點(diǎn)共線，則直線和直線對應(yīng)一次函數(shù)表達(dá)式中的值相等，即可求解．【解析】（1）解：，當(dāng)時，或，即函數(shù)圖象都過定點(diǎn)，故答案為：，（2）當(dāng)時，，函數(shù)在軸下方，符合題意；當(dāng)時，函數(shù)在軸下方，則，且即，解得，綜上：（3）由題意可得：，設(shè)，，設(shè)過點(diǎn)的直線表達(dá)式為：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得：將直線表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并整理得：，則點(diǎn)，點(diǎn)，如果三點(diǎn)共線，則直線和直線對應(yīng)一次函數(shù)表達(dá)式中的值相等，同理可得：假設(shè)，則整理得：即：，即：故三點(diǎn)共線．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、韋達(dá)定理的運(yùn)用等，其中（2）要注意分類求解，其中（3）用韋達(dá)定理處理復(fù)雜數(shù)據(jù)是本題的亮點(diǎn).10．(1)(2)(3)1或【分析】（1）通過“過點(diǎn)代入”求拋物線的解析式；（2）利用配方法（或直接用頂點(diǎn)公式）表示出點(diǎn)M縱坐標(biāo)的式子，再求最大值；（3）通過分類討論，討論“點(diǎn)P在y軸的正半軸還是負(fù)半軸”，從而得到另一個交點(diǎn)Q的位置，并根據(jù)點(diǎn)P，Q都在拋物線和直線上，通過“過點(diǎn)代入”求m的值【解析】（1）解：將點(diǎn)代入中，得，解得m=，∴該拋物線的解析式為；（2）∵，∵點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最大值為；（3）當(dāng)時，.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)M為.在直線上時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.在拋物線上時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴.∵，∴.設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，∴，∴.①當(dāng)時，，∴，則點(diǎn)M在第四象限，如圖1，過點(diǎn)Q，P分別作y軸，x軸的平行線交于點(diǎn)H，∴，∴.∵，∴，∴.∵是直線l與拋物線的交點(diǎn)，∴解得；②當(dāng)時，，∴，則點(diǎn)M在y軸的左側(cè)，如圖2.同理可得：，∴解得；綜上，m的值為1或【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，分類討論，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．11．(1)；(2)；(3)存在，，或．【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，化為一般式對照條件中的解析式可求出，從而得解；（2）當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時，的長度最小，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，求出拋物線對稱軸，然后計算直線與拋物線對稱軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）先求出直線的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)F、E的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，分情況列等式計算即可．【解析】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，化為一般式得，∴，∴，∴二次函數(shù)的解析式為；（2）解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時，的長度最小，此時點(diǎn)P坐標(biāo)為直線AC與拋物線對稱軸交點(diǎn)，令，代入得，∴點(diǎn)，設(shè)直線AC的解析式為，將點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入得，，解得，則直線AC的解析式為，由題意可得，拋物線的對稱軸為直線，將代入得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（3）解：由題可知點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，點(diǎn)代入得，，解得，∴直線的解析式為，∵點(diǎn)F在直線BP上，則設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)已知以B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)為對角線時，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)為對角線時，，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)為對角線時，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上可得，在直線BP上存在點(diǎn)F，使以B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)評】本題考查了求二次函數(shù)解析式、拋物線對稱性、最短路徑問題、平行四邊形存在性問題，靈活運(yùn)用相關(guān)知識，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．12．(1)(2)(3)，的最大面積為：【分析】（1）采用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再證明當(dāng)P、D、B三點(diǎn)共線時，最小，最小值為BD，接著求出直線的解析式為：，問題隨之得解；（3）設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為：，且，，即有：，，，根據(jù)，可得，問題隨之得解．【解析】（1）代入、可得：，解得：，即解析式為：；（2）令，可得：，解得：，，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：，拋物線的對稱抽為：，即A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，拋物線的對稱軸上有一動點(diǎn)P，如圖，∴，∴，即當(dāng)P、D、B三點(diǎn)共線時，最小，最小值為BD，如圖，∵，，設(shè)直線的解析式為：，∴有：，∴，∴直線的解析式為：，∴當(dāng)時，，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：；（3）存在，理由如下：令，可得：，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴，∵，∴，如圖，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為：，且，，即有：，，，∵，∴，∵，，∴，整理得：，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為：，∴，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為：，即：Q點(diǎn)坐標(biāo)為：，的最大面積為：．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題，難度中等，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，軸對稱，待定系數(shù)法求解拋物線解析式，二次函數(shù)的最值等知識，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．13．(1)當(dāng)時，隨x的增大而減??；當(dāng)時，隨x的增大而增大(2)這兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，1(3)9【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)回答即可；（2）根據(jù)＝，化簡求解即可得到答案；（3）根據(jù)二次函數(shù)的最值及點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解即可得到答案．(1)解：當(dāng)a＝1時，，∴對稱軸，∴當(dāng)時，隨x的增大而減?。划?dāng)時，隨x的增大而增大．(2)解：由題可知，，，，，與的圖象有兩個交點(diǎn)，，這兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，1．(3)解：當(dāng)時，有最小值，此時，，，，即，，當(dāng)時，有最小值，此時，，，，，，，，或，，．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，整體思想以及一元二次方程的解法，掌握二次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征及最值是解題的關(guān)鍵．14．(1)；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是時，的面積最大，最大面積是；(3)-1或5．【分析】（1）先求出直線與y軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)，把點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入，求出t的值，即可得到拋物線的函數(shù)解析式；（2）先求出點(diǎn)D和點(diǎn)E的坐標(biāo)，在過P作軸，交直線于點(diǎn)K，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，其中，則，表示出PK，求出PK的最大值，進(jìn)一步求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）根據(jù)t的范圍分三種情況討論，即可解答．（1）解：在直線中，令，得，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，3），將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得∴，∴∴，所以，即拋物線解析式為．（2）解：在直線中，令得，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（5，0）直線交拋物線于D，E兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組解得，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）過P作軸，交直線于點(diǎn)K，如圖1，設(shè)，其中，則，，∵，∴當(dāng)時，．設(shè)點(diǎn)D和點(diǎn)C到的距離分別是，，則，∴，∴當(dāng)時，，把代入得，∴此時點(diǎn)P的坐標(biāo)是．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是時，的面積最大，最大面積是．（3）解：∵拋物線的對稱軸為直線．①如圖2，若，則當(dāng)時，y有最小值．∴，解得，∵，∴②如圖3，若，則當(dāng)時，y有最小值．此時，，不合題意，舍去．③如圖4，若，則當(dāng)時，y有最小值．∴，解得，∵，∴．綜上所述，t的值為或5．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是基礎(chǔ)，數(shù)形結(jié)合的方法是關(guān)鍵，還用到了分類討論的方法．15．(1)二次函數(shù)的解析式為，直線BC的解析式為(2)，(3)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或或1或2【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法直接求二次函數(shù)和直線BC的解析式即可；（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線交線段BC于點(diǎn)Q，設(shè)，，則，，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得，則，再根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法求解即可；（3）設(shè)，，由，和，可求m的值．(1)解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)C(0，-3)代入得，，解得，∴，設(shè)直線BC的解析式為，則，解得，∴．∴二次函數(shù)的解析式為，直線BC的解析式為．(2)解：設(shè)，，如圖，過點(diǎn)P作y軸的平行線交線段BC于點(diǎn)Q，連接PC，PB，則，，則，∴，∵，∴當(dāng)時，的面積取最大值，最大值為，當(dāng)時，，則，．(3)解：∵，，，∴，∵，∴，設(shè)，，由（2）得，，∴，即，當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得或．∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或或1或2．【點(diǎn)評】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)及二次函數(shù)的最大值問題，解題的關(guān)鍵是會用待定系數(shù)法求解析式，會用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值．16．(1)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2)函數(shù)的最大值為4，最小值為0(3)t的值為0或1【分析】（1）代入A點(diǎn)坐標(biāo)后求出解析式即可；（2）根據(jù)頂點(diǎn)及二次函數(shù)增減性判斷求值即可；（3）根據(jù)對稱軸是否在范圍內(nèi)分類討論，結(jié)合二次函數(shù)增減性判斷計算即可．（1）把代入

得：；∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2）∵，∴拋物線開口向下．∵頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為，當(dāng)時，函數(shù)的最大值為4．當(dāng)，y隨x的增大而增大∴當(dāng)時，y的最小值為0．當(dāng)，y隨x的增大而減小∴當(dāng)，y的最小值為3∴當(dāng)時，函數(shù)的最大值為4，最小值為0．（3）①當(dāng)時，，y隨x的增大而增大在時，在時，∴∴解得：（舍去）②當(dāng)時，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，所以m的值為4，（?。┊?dāng)時，在時，，∴，∴，解得：（舍去）；（ⅱ）當(dāng)時，在時，，∴

∴，解得：（舍去）．③當(dāng)時，y隨x的增大而減小，在時，，在時，，∴，∴，

解得：．綜上所述：t的值為0或1．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)是帶取值范圍的二次函數(shù)的最值，一般情況下頂點(diǎn)出取最值，有取值范圍時需要根據(jù)對稱軸是否在范圍內(nèi)分類討論，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的增減性．17．（1）A（﹣3，0），B（2，0）；（2）①當(dāng)h＝3時，△AEF的面積S最大；②存在直線y＝h使△BDM是等腰三角形，當(dāng)h＝時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；當(dāng)h＝時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2﹣，）．【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+）2+，將C（0，6）代入拋物線即可求a，再令y=0從而可求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分別求出直線AC的解析式為y＝2x+6，直線BC的解析式為y＝﹣3x+6，①根據(jù)題意可得E（0，h），F(xiàn)（h﹣3，h），則S＝×h×（3﹣h），將解析式化為頂點(diǎn)式可求得△AEF的面積S最大；②先求出D（2﹣h，h），BM＝4，再分以下三種情況求解：當(dāng)MB＝MD=4時，根據(jù)MD2＝16，結(jié)合勾股定理列出關(guān)于h的方程，求出h以及點(diǎn)D坐標(biāo)；當(dāng)MB＝DB=4時，根據(jù)DB2＝16，結(jié)合勾股定理列出關(guān)于h的方程，求出h以及點(diǎn)D坐標(biāo)；當(dāng)MD＝BD時，因為O為BM的中點(diǎn)，且y軸垂直平分BM，則點(diǎn)D在y軸上，此時不成立．【解析】解：（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+）2+，又C（0，6）在拋物線上，∴6＝a+，∴a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+6，令y=0，得﹣x2﹣x+6=0，解得x1=-3，x2=2，∴A（﹣3，0），B（2，0）；（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A(-3，0)，點(diǎn)C(0，6)代入解析式得，，解得，∴直線AC的解析式為y＝2x+6，同理可求得直線BC的解析式為y＝﹣3x+6，①根據(jù)題意可得E（0，h），又點(diǎn)F在直線AC上，且點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為h，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（h﹣3，h），∴S＝×h×（3﹣h）＝﹣h2+h＝﹣（h﹣3）2+，當(dāng)h＝3時，△AEF的面積S最大；②∵點(diǎn)D在直線BC上，且點(diǎn)D的縱坐標(biāo)h，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（2﹣h，h），∵M(jìn)的坐標(biāo)為（﹣2，0），∴BM＝4，當(dāng)MB＝MD時，MD＝4，∴MD2=+h2＝16，∴h＝或h＝0，∵0＜h＜6，∴h＝，∴D（，）；當(dāng)MB＝DB時，h2+h2＝16，∴h＝±，∴h＝，∴D（2﹣，）；當(dāng)MD＝BD時，又因為O為BM的中點(diǎn)，且y軸垂直平分BM，則點(diǎn)D在y軸上，∴此時不成立．綜上所述，存在直線y＝h使△BDM是等腰三角形，當(dāng)h＝時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；當(dāng)h＝時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2﹣，）．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)解析式的求法，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識點(diǎn)，第（2）問中的第②小題利用等腰三角形的邊的關(guān)系進(jìn)行分類討論求解是解題的關(guān)鍵．18．（1）（2）（3）拋物線上存在四個點(diǎn)，使為直角三角形，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，【分析】（1）將、代入即可得到關(guān)于參數(shù)、的方程組，解方程組求出、的值，進(jìn)一步代入原解析式即可得解；（2）作點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接與對稱軸交于點(diǎn)，則最小，求出的直線解析式為，即可求點(diǎn)；（3）由點(diǎn)在拋物線上，可先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再按照、、三種情況依據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【解析】解：（1）∵拋物線與交于點(diǎn)，∴∴∴該拋物線的解析式為：（2）作點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接與對稱軸交于點(diǎn)，則最小，如圖：∵∴∴設(shè)直線的解析式為∵、在直線上∴∴∴直線的解析式為∴當(dāng)時，∴∴當(dāng)最小值，點(diǎn)的坐標(biāo)為：（3）∵點(diǎn)在拋物線上∴設(shè)①∵當(dāng)時，∴∴∴，，（舍去），（舍去）∴，；②∵當(dāng)時，∴∴∴，（舍去）∴；③∵當(dāng)時，∴∴∴，（舍去）∴．∴綜上所述，拋物線上存在四個點(diǎn)，使為直角三角形，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，．故答案是：（1）（2）（3）拋物線上存在四