旋轉(zhuǎn)綜合問題大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典（解析版）【人教版】

2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】

專題22.6旋轉(zhuǎn)綜合問題大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)）

姓名：班級(jí)：得分：

注意事項(xiàng)：

本試卷試題共24題，解答24道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信

息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、解答題（本大題24題.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

1.（2020.全國九年級(jí)專題練習(xí)）在AABC中，AB=1（）,AC=6,3。=8,。是AB的中點(diǎn)，將△BCD繞

點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△B'CD'，使點(diǎn)8'落在CA的延長線上.

A

（1）請(qǐng)畫出△Ac。'；

（2）求小A的長.

【答案】（1）見解析；（2）V13

【詳解】（1）所求作aB'CD'如解圖.

（2）AB2=AC2+BC2.

ZACB=90°.

QQ是A3的中點(diǎn)，

CD=BD=5.

如解圖，過點(diǎn)。'作。于點(diǎn)'

-CD=CD=BD=BD=5,BC=BC=8.

:.CE=BE=4

DE=A/C￡>--CE2=后_42=3-

vAB=BC-AC=S-6=2,AE=BE-AB'=4-2=2,

DA=y/bE2+AE2=V32+22=屈■

2.（2020.全國九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCZ）中，ZABC=ZADC=^5°,將△BCD繞點(diǎn)C

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，得到AACE,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)A重合.

（1）請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)：

（2）請(qǐng)判斷AE與8。的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）若AD=6,CO=9,試求出四邊形A8CO的對(duì)角線8。的長.

【答案】（1）旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為90°：（2）AE±BD-理由見解析；（3）BD=3應(yīng)

【詳解】解：（1）「△ACE是由△BCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，

；.ABC*AACE.

:.AC=BC-

/.ZBAC=Z4BC=45°.

ZAC5=180°-45°-45°=90°.

旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為90°.

（2）AE^BD.

理由如下：

如解圖①，在用△3CM中，ZBCM=90°,

：.ZMBC+ZBMC=90°.

?:ABCgMCE,

/./DBC=/EAC.

即=

XVZBMC=ZAMN>

???ZAMN+ZCAE=900.

，ZAND=90°.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CE=CD,AE=BD,旋轉(zhuǎn)角ZDCE=90°，

/./EDC=/CED=45。.

：.CE=CD=9.

在RMDCE中,NDCE=90°,

DE=y]CD2+CE2=V81+81=972-

ZADC=45°,

：.ZADE=ZADC+/EDC=90°.

在RfAADE中，ZADE=90°,

-?EA=>]AD2+DE2=而+(9揚(yáng)2=3后.

???BD=EA=3722.

3.(2021.浙江七年級(jí)期中)將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起；如圖NACB=30°,ZZME=45°.

ABAC=ZD=90°.固定三角板ADE,將三角板ABC繞點(diǎn)4按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角

ZC4E=<z(0o<<z<180°).

D

(1)當(dāng)a為度時(shí)，ABIIDE,并畫出相應(yīng)的圖形；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，試探究NC短與之間的關(guān)系；

(3)當(dāng)AABC旋轉(zhuǎn)速度為15。/秒時(shí)，且它的一邊與△入￡)￡的某一邊平行(不包括共線，不考慮A5//OE)

時(shí)，直接寫出時(shí)間。的所有值并畫出相應(yīng)的圖形.

【答案】(1)135°,作圖見解析；(2)當(dāng)0。<〃《90。時(shí)，ZBAE-ZCAD=45°；當(dāng)9()。<&4180。時(shí)，

NC4￡>+NB4E=315°；(3)/的值可以為2秒，3秒，5秒，11秒，圖形見解析.

【分析】(1)由平行線性質(zhì)結(jié)合三角板可知NB'AE=180°-N￡>E4=135°,再根據(jù)周角即可求出

ZB'AB=135°,即旋轉(zhuǎn)角。的大小.

(2)分類討論①當(dāng)0°<a<900時(shí)和②當(dāng)90°180°時(shí)，分別用。表示出NC40和NR4E,即可

找出它們的關(guān)系.

(3)分類討論①AE//5C、②DEMBC、③AD//BC和④AC7/0E,分別求出旋轉(zhuǎn)角。的大小，即可

得出答案.

【詳解】(1)如圖即為所作.

?；AB'//DE,

：.NB'AE=1800-NDEA=180°—45°=135°.

???ABAC=90°，

：.ZB'AB=360°-90°-135°=135°,

ZC'AE=a=ZB'AB=135°.

(2)①當(dāng)0。＜口＜90。時(shí)，如圖:

根據(jù)圖形可知：ZCAD=ZCAE+ZDAE=a+45°,ZBAE=ZCAE+ZBAC=a+90°,

/.ZA4E-ZC4D=a+90°-tz-45°=45°.

②當(dāng)90°<a4180°時(shí),如圖:

根據(jù)圖形可知：ZCAD=ZCAE+ZDAE^a+45°,

ZBAE=360°-ZCAE-NBAC=360°—a-90°=270°-a,

NC4D+4AE=a+45°+270°-a=315°.

綜上可知，當(dāng)0°<a<90°時(shí)，/84￡—NC4￡>=45°；當(dāng)90°<aW180°時(shí)，NC4￡)+NB4E=315。.

(3)①當(dāng)AE//BC時(shí)，a=ZACB=30°,

30",

..t=—=2秒.

15

D

②當(dāng)DE〃8c時(shí)，a=ZCAE=180°-45°一60°=75°,

75「一

t=—=5秒.

15

③當(dāng)AD//8C時(shí)，a=ZCAE=360°-90°-60°-45°=165°,

.?八速=11秒.

15

c

綜上，可知r的值可以為2秒，3秒，5秒，11秒.

4.（2021?山東濟(jì)南市?九年級(jí)一模）已知A。是等邊AABC的高，AC=2,點(diǎn)O為直線AD上的動(dòng)點(diǎn)（不

與點(diǎn)A重合），連接BO,將線段30繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段OE，連接CE、BE.

（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段AO上時(shí)，線段A。與CE的數(shù)量關(guān)系為，NACE的度數(shù)是

（2）問題探究：

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段AO的延長線上時(shí)，（1）中結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說明理由；

（3）問題解決：

當(dāng)NAEC=30°時(shí)，求出線段80的長.

【答案】（1）AO=CE,ZACE=90°（2）成立，理由見解析；（3）8。=2或2近

【分析】（I）證明（SAS）,則40=CE,NBAO=NBCE,進(jìn)而求解；

（2）和（1）的方法相同；

（3）①當(dāng)點(diǎn)。在線段AO的延長線上時(shí)，證明點(diǎn)A、B、Ei在一條直線上，進(jìn)而求解；②當(dāng)點(diǎn)02在線段

D4的延長線上時(shí)，通過畫圖確定為位置，進(jìn)而求解.

【詳解】解：（1）AO^CE,/ACE=90。，理由：

???線段BO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段OE,

故BO=OE,N8OE=60。，

：./\BOE為等邊三角形，

：.ZOBE=60°,BE=BO,

'：NOBE=60°=/A8C=60°=/ABO+/O8O,

/.NABO=NCBE,

在48。和ACBE中，

NABO=NEBC

<AB=AC,

BO=BE

:.△ABO烏XCBE(SAS),

.?.AO=CE,NBAO=NBCE,

'：AD是等邊三角形ABC的高，故AD也是/5AC的平分線,

故NBAO=30°=NBCE,

，ZAC￡=ZBCE+ZACB=30°+60°=90°,

故答案為：AO=CE,NACE=90。；

(2)成立，理由如下：

連接BE.

?.?線段B0繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了60。得E0,

二△BOE是等邊三角形，

：.BO=BE,NOBE=60。，

4ABe是等邊三角形，

：.BA=BC,ZABC=60°,

：.NABC+NOBC=NOBE+NOBC,BPZABO^ZCBE,

:*△ABOWXCBE(SAS),

：.AO^CE,NBCE=/BAO,

是等邊△ABC的高，

/BCE=/8AO=30°,ZBC4=60°,

，ZACE=ZBCA+ZBCE=90°,

：.AO=CE,NACE=90。；

(3)①當(dāng)點(diǎn)。在線段A。的延長線上時(shí)，

由(1)和(2)知：ABOIEI是等邊三角形，ZACEi=90°,

；NACEi=90°,NAEiC=30°,

：.ZEiAC=60°,

/8AC=60°,

...點(diǎn)A、B、Ei在一條直線上，

\?在RtAACEi中,AC=2,NAE|C=30°,

：.AEi=4,

：.BOt=BEt=2；

②當(dāng)點(diǎn)02在線段DA的延長線上時(shí)，

；/ACE2=90°,NAE2c=30°,AC=2,

/.CEy=2G,

■:△ABOWMCBE](SAS),

AO2=C2=2y[3,

是等邊A4BC的高，AB=AC^2,

：.BD=\,AD=6

在RtAChOB中，80=1,

而。2。=AO2+AD=2A/3+百=3百，

二B02=Qob+BD。=J(3廚+儼=2萬；

綜上，B0=2或2幣.

5.(2020?全國九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在^ABC中,ABAC=12()。，以5c為邊向AABC外作等邊△8CD,

把△ABD繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得至ijAECD.若AB=8,AC=4.

E

c

J

(1)試判斷AADE的形狀，并說明理由；

(2)求NWQ的度數(shù)；

(3)求AO的長.

【答案】(1)AADE是等邊三角形，理由見解析；(2)60°；(3)12

【詳解】解：(1)AADE是等邊三角形.理由如下：

,/△￡(?是由△AB。繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到的，

NECD=ZABD,ZADE=60°,DE=A。,CE=A3=8.

?/ZBAC+ZBDC=120°+60°=180°，

二ZABD+ZACD=360°-180°=180°.

???/DCE=/DBA，

/.ZACD+ZDC￡=180°.

C,E三點(diǎn)共線.

:ZADE^60°,DE^AD.

AADE是等邊三角形.

(2)：AADE是等邊三角形，

/.ZBAD=ZE=60°.

(3)VAADE是等邊三角形，

/.AD=AE=AC+CE=AC+AB=12.

6.(2020.全國九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在矩形A5CD中，把矩形A8CQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到矩形EECG,且

點(diǎn)￡落在邊AO上，連接8G交CE于點(diǎn)，.

(1)如圖①，求證：AE+CH=EH.

(2)如圖②，連接FH,若FH平分分EFG,則滿足2倍關(guān)系的線段有幾對(duì)?寫出這幾對(duì)線段，并說明理

由.

圖①

圖②

【答案X1）見解析：（2）滿足2倍關(guān)系的線段有4對(duì),分別是BG和BH,BG和GH,DE和CH,CH和AE，

見解析

【詳解】(1)證明：如解圖，過點(diǎn)8作點(diǎn)連接5E,；.NA=NBME=90°.

..?把矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG,

CE=BC.

:"CEB=/CBE.

?：ADHBC,

:.ZAEB=ZEBC.

,.ZAEB=ZBEM.

NA=NBME,

在AA6E與中，\^AEB=/LBEM,

BE=BE,

..^ABE^MBE(AAS).

：.AE=EM,AB=BM.

：.BM=CG.

NBMH=NGCH=90。,

在ABMH與4GCH中，,4BHM=NGHC,

BM=CG,

:.^BMH^GCH（AAS）,

:.HM=CH.

-.■EH=EM+HM，

：.AE+CH=EH.

（2）解：滿足2倍關(guān)系的線段有4對(duì)，分別是8G和和和和AE.

理由：由（1）得ABMH當(dāng)AGCH,

BH=GH,

BG=2BH,BG=2GH.

\AD=AE+DE=CE=CH+EH=CH+CH+AE=2CH+AE,

：.DE=2CH.

?.FH平分DEFG,

:.NEFH=45°,

是等腰直角三角形.

EF=EH,

:.EH=AB=CD.

設(shè)AE=x,CH-y,

DE-2y,CD-x+y,CE=x+2y.

在Rt/XOEC中，DE2+CD2=CE2,

.'-（2y）2+（x+y）2=（x+2y）2,

解得y=2x,

：.CH=2AE.

7.（2020?全國九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABC。和正方形C￡FG的邊長分別為。和力，正方形CEFG

繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn).連接

（1）猜想BE與。G的關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

（2）用含的式子表示OE2+3G2.

【答案】（1）BE^DG,BE±DG,見解析；（2）DE2+BG22a2+2b2

【詳解】解：（1）BE=DG,BE^DG.

證明：如解圖，連接30EG,且8E與OG的交點(diǎn)為與跳的交點(diǎn)為N.

,/四邊形A8CO和四邊形CEFG為正方形，

BC=DC,CG=CE,/BCD=NECG,

:.ZBCE=ZDCG.

:.ABCEADCGISAS）.

：.BE=DG/CBE=ZCDG.

ZCBE+NBNC+/BCD=180°,ZDNE+ZCDG+ZDMB=180°,NBNC=4DNE,

NCBE+N8NC=90。，

ZDMB=/BCD=90°.

即BE_LDG.

(2)?：BELDG,

在Rt^BDM和Rt^MEG中，BD2=DM2+BM2,EG2=ME2+MG2,

BD2+EG2DM2+BM2+ME2+MG2-

：.BD2+EG2=BG2+DE2-

：.AB2+AD2+EC2+CG2=BG2+Z）￡2.

：.DE2+BG2=2^+2b2-

8.（2020?全國九年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖①，已知正方形和N分別是邊5C,C。上的點(diǎn)，且

BM=CN,連接AM和8N,交于點(diǎn)P.猜想AM與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）如圖②，將圖①中的/MPB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△APB.延長A產(chǎn)交AP于點(diǎn)E，試判斷四

邊形8PEP'的形狀，并說明理由.

,41）

匚

BMC

圖①

A1）

X'BM（：

圖②

【答案】（1）AM1BN,見解析；（2）四邊形8PE戶是正方形,見解析

【詳解】解：（1）AM1BN.

證明：?.?四邊形A3CQ是正方形，

AB=BC,ZABM=/BCN=90°.

又rBM=CN,

:AABM、BCN（SAS）.

:"BAM=/CBN.

ZCBN+ZABN=90°,

ZABN+/BAM=90°.

:.ZAPB=90°.

AMBN.

（2）四邊形BPEP是正方形.

理由：由（1）知/AP3=90°，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BP'=BP,ZAP'B=NBPE=ZAPB=90°,

四邊形3PEP是正方形.

9.（2021?重慶九年級(jí)期末）在菱形A3CQ中，45=4,ZABC=60°,E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是線

段BC延長線上一點(diǎn)，且b=AE,連接BE、EF.

（1）如圖1,若E是線段AC的中點(diǎn)，求EF的長；

（2）如圖2,若E是線段AC延長線上的任意一點(diǎn)，求證：BE=EF.

（3）如圖3,若E是線段AC延長線上的一點(diǎn)，CE=-AC,將菱形A8CO繞著點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a。

（0<?<360）,請(qǐng)直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中DE的最大值.

【答案】（1）2y/3;（2）見解析；（3）461+2幣

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)證明AABC是等邊三角形，ZeC4=60°,AB=2,求出BE,由等邊三角形的性

質(zhì)和已知條件得出CE=CF,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出NC8E=/F,即可得出BE=E尸；

（2）作￡7/〃交A8的延長線于H,證明ABZ/E</XEb,得至lj8E=EF；

（3）以8。為半徑，8為圓心畫弧，連接B。，設(shè)AC、BD交于O,得到當(dāng)D、B、E共線時(shí)，OE最大，

即為OE,利用勾股定理求出8E,加上2。即可得到結(jié)果.

【詳解】解：（1）???四邊形A8CD是菱形，

：.AB=BC,

,：NA8C=60。，

.'.△ABC是等邊三角形，

：.ZBCA=6Q°,

是線段AC的中點(diǎn),

ABE1.AC,AE=CE=—AB=2,/C8E=NA詆30。，AE=CE,

2

:?BE=d42_?2=26,

VCF=AE,

：.CE=CF,

：.ZF=ZCEF=^~ZBCA=30°f

2

.\ZCBE=ZF=30°,

:?BE=EF=2A

(2)如圖，作EH〃8C交A8的延長線于從

???△ABC是等邊三角形，

/\AHE是等邊三角形，

:?BH=CE,

在"HEflUECF中，

BH=CE

</BHE=/ECF,

HE=CF

:.△BHEQ/XECF(SAS),

(3)如圖，以8。為半徑，B為圓心畫弧，當(dāng)D、B、E共線時(shí)，DE最大,即為?！?/p>

連接8。，設(shè)AC、BD交于-0,

則D'E=DB+BE,

BD=2BO=46OE=OC+CE,CO=AO=^AB=2f

1

VCE=—AC=2,

：.OE=4,

在ABOE中，8E=，8。2+O￡：2=2百，

DE的最大值為D'E=4a+2?.

10.(2021?北京九年級(jí)二模)在等腰三角形ABC中，AB=AC，N8AC=。(0。＜。＜60。).點(diǎn)P是AABC

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,BP,將aAPB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。，使AB邊與AC重合，得到△ACC,射線BP與

CQ或CQ延長線交于點(diǎn)M(點(diǎn)A/與點(diǎn)。不重合).

(1)依題意補(bǔ)全圖1和圖2；由作圖知，NBAP與/C4D的數(shù)量關(guān)系為；

(2)探究ZADM與NA的數(shù)量關(guān)系為；

(3)如圖1,若。P平分NAQC,用等式表示線段3M,AP,。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

BCBC

圖1圖2

【答案】(1)相等；(2)或/AOM+NAPM=180°；(3)MC=AE+BD,證明見解析

【分析】(1)按要求作圖即可；

(2)AAPB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到A4OC可得N4)C=N4P8,即可得到答案；

(3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AABP絲△ACD由全等三角形的性質(zhì)得出NAP8=NA￡?C,AP=AD,BP=CD,由角

平分線的定義及等腰三角形的性質(zhì)得出NB4￡)=NAOM=a,ZAPM=ZM.ffiWOP=OA,0M=。。，則可得

出結(jié)論.

【詳解】解:(1)依題意補(bǔ)全圖1和圖2；由作圖知，NBAP與NCAO的數(shù)量關(guān)系為相等;

圖1

故答案為：相等;

(2)ZADM=ZAPM^ZADM+ZAPM=180°.

當(dāng)M在線段CQ延長線上時(shí)，如上圖1,

?.?將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ZVlDC,

，ZADC=ZAPB,

：.ZADM^ZAPM,

當(dāng)M在線段CO上時(shí)，如上圖2,

:將△4P3繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACC,

ZADC=ZAPB,

'：ZAPB+ZAPM=\SO0,

：.ZADM+ZAPM=\SO0,

故答案為：NAZ)M=N4PM或/A￡)M+/APM=18O。；

(3)如圖，線段MC,AE,80之間的數(shù)量關(guān)系是：MC=AE+BD.

證明：?.?將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,使A8邊與AC重合，得到AAQC,

二烏△ACC.

ZAPB=ZADC,AP=AD,BP=CD,

，ZADM=ZAPM.

TOE平分乙4OC

JZADP=ZPDC.

9：AP=AD,

：.ZAPD=ZADP.

：.ZAPD=ZPDC.

：.AP//CM.

：.ZPAD=ZADM=a,ZAPM=ZM.

又由（2）知，ZADM=ZAPM=a,

：.OP=OAfOM=OD,

：.OP+OM=OM+OD,

：.PM=AD=APf

：.BM=BP+PM.

：.BM=CD+AP.

11.（2021?河北秦皇島市?九年級(jí)一模）如圖，C、D、￡三點(diǎn)在線段A3上，且AC=CE=EO=DB=1,

將線段4C繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。度（0vavl80）,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)4.同時(shí)將線段。8繞點(diǎn)。

按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)夕度（0</<360）,點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)耳，連接AQ和8c.

（1）若夕=。（如圖1）,4。和與C的交點(diǎn)為尸.

①求證：ZkAC。=△g。C.

②求證：△/CD為等腰三角形.

（2）若尸=2。，當(dāng)△4。。二△4。。時(shí)，a=.

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）120。

【分析】(1)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到N4CO=NgDC,然后根據(jù)SAS即可證明結(jié)論成立;

②由①知ZAiDC=ZB,CD,再根據(jù)等角對(duì)等邊即可得到結(jié)論成立；

(2)由題意，由三△gDC,則NACO=N40C,然后解關(guān)于a的方程即可.

【詳解】(1)證明：

①；/?=a即ZACA,=ZBDB,

■：ZACA,+NACO=NBDB、+NB】DC=180°

NA&D=NBQC

;AC=BQ,CD=DC

：./XA.CD=/\B,DC.

②；Z^ACD三△BQC,

：.NADC=NBC。，

FC=FD,

???△尸⑦為等腰三角形.

(2)根據(jù)題意，若力=2a,當(dāng)△AC。三△5。。時(shí)，如圖,

二180。—a=4—180°,

（3—2a,

二18（）。一a=2a—180。

a=120。，

故答案為：120。.

12.（2021?山東濟(jì)南市?九年級(jí)二模）（1）如圖1,在中，AB=AC，。是直線3C上的一點(diǎn)，將

線段4）繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連接CE，求證：AABD三AACE；

（2）如圖2,在圖I的條件下，延長OE，AC交于點(diǎn)G,BFLAB交DE于點(diǎn)F,求證網(wǎng)=64￡；

（3）如圖3,A是△BQC內(nèi)一點(diǎn)，ZABC=ZADB=45°，ZBAC=90°，，直接寫出△MC

的面積為.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）6

【分析】（1）由已知條件根據(jù)SAS可以證得△ABOMAACE；

（2）過點(diǎn)。作DK_L￡）C交尸B的延長線于K,則由已知和（1）的結(jié)論可以證得△ECGH^OFK,從而得到

DF=EG,進(jìn)一步得至I」FG=EG+EF=DE=0AE.

（3）過點(diǎn)4作AELW交8力于E,連接CE,與（1）（2）同理可得AAfiDg/VlCE,由此可得CE=BD=26,

NCED=NCEB=90°,從而可以得到△3QC的面積.

【詳解】（1）證明：如圖1,

ZBAC=ZDAE=90°,

/.ZDAB=ZEAC,

在△ABD和AACE中,

AD=AE

</DAB=ZEAC,

AB=AC

：.AABOM△ACE(MS).

A

VDKLCD,BFLAB,

：./BDK=ZABK=9Q。,

■：AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZABC=ZACB=45°,KF〃AC,

：.ZDBK=/K=45。,

：.DK=DB,

,：AABD*ACE,

：.ZABD=ZACE=\35°,DB=EC=DK,

：.NECG=45°,

；?/ECG=/K，

'：BFLAB,CAIAB

AG//BF，

???/G=ADFK，

NECG=NK

在AECG和4DKF中，＜NG=ZDFK,

CE=KD

：.AECG=ADKF(AAS),

DF=EG，

DE=OAE，

；?DF+EF=&E，

EG+EF=?AE，即FG=0AE.

(3)如圖3中，過點(diǎn)A作AE_LAO交8。于E,連接CE,

VZADB=45°,ZDAE=90°,

...△AOE與AA8C都是等腰直角三角形,

,：ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZDAB=ZEAC,

在△然￡＞和MCE中，

AD=AE

＜NDAB=NEAC,

AB=AC

...△A3。二△ACE(SAS),

CE=BD=26,

:ZAEC=ZADB=45°,

：./CED=/CEB=90。，

S、BDC=；BDCE=；X26X2拒=6.

13.（2021?河南鄭州外國語中學(xué)八年級(jí)期中）某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，將兩塊完全相同的且含60。

角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且RtZXABC的較短直角邊A3為4,現(xiàn)將RjAfF

繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)夕（0°<?<90°）,如圖2,AE與8c交于點(diǎn)M,AC與EF交于點(diǎn)N，BC

與EF交于點(diǎn)P.

（1）初步探究：

勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角。=時(shí)，AAMC是等腰三角形：

（2）深入探究：

教學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過程中.如果連接AP，CE,那么AP所在的直線是線段CE的垂直平分線，

請(qǐng)幫他們證明；

（3）再探究：

在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=30°時(shí)，求AA6c與ZXA所重疊的面積；

（4）拓展延伸：

旋轉(zhuǎn)過程中，VCPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角c的度數(shù)；若不能，說明理由.

【答案】（1）60°；（2）見解析：⑶473：（4）能，a=30°或。=60°

【分析】（1）分兩種情況，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）由題意可知，AB=AF,NB=NF,ZE=ZC,AE=AC,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得到AM=AMPE=PC,由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)已知條件得到AA8M是直角三角形，求得根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式

即可得到結(jié)論；

(4)當(dāng)NCNP=90。時(shí)，依據(jù)對(duì)頂角相等可求得N4NF=90。，然后依據(jù)/尸=60?？汕蟮?用N的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)

的定義可求得/a的度數(shù)；當(dāng)/CPN=90。時(shí).由/C=30。，NCPN=90。，可求得NCNP的度數(shù)，然后依據(jù)對(duì)

頂角相等可得到/AN尸的度數(shù)，然后由/尸=60。，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得NR1N的度數(shù)，于是可得

到/a的度數(shù).

【詳解】解：(1)當(dāng)4W=CM,即NC4M=NC=30。時(shí)，ZkAMC是等腰三角形；

VZBAC=90°,

.,.a=90o-30°=60°,

當(dāng)AC=CM,即時(shí)，AAMC是等腰三角形，

VZC=30°,

：.ZCAM=ZAMC=15°,

,：ZBAC=90°,

o=15。，

綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=60。或15。時(shí)，△AMC是等腰三角形，

故答案為:60。或15°；

(2)由題意可知，AB=AF,NB=NF,ZE=ZC,AE=AC,

:現(xiàn)將RsAEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a((r<a<90。)，

:.NBAM=NFAN,

在"8M與"FN中，

NB=ZF

<AB=AF,

ZBAM=ZFAN

mIXAFN(ASA),

：.AM=AN,

'：AE=AC,

:.EM=CN,

VZE=ZC,ZMPE=ZNPC,

:.△MPEQ4NPC(A4S),

：.PE=PC,

點(diǎn)尸在CE的垂直平分線匕

"：AE=AC,

...點(diǎn)A在CE的垂直平分線上，

：.AP所在的直線是線段CE的垂直平分線；

(3)Va=30°,/B=60°,

，N4M8=90。，

.??△ABM是直角三角形，

VAB=4,

：.BM=AB-sin300=2,AM=AB>cos300=2y/3，

SM?,W=-AM-MB=-x2^x2=2y/3,

22

AE=AC-AB'tan60°=4-y/3，AM-2\/3>

:.EM=2B

：/8AE=a=/E=30°,ZEMP=ZAMB=90°,

：./XAMB^AEMP(ASA),

由(2)可知AABM2ZiAFN,

,,,^MFN~S/^Mp—SMI3M-26>

/.S^AEI^-AF-AE=-x4x4=8G,

22

.'.△ABC與"FE幣:唇的面積=SAAEFS姐VS@M=8G—2x26=46：

(4)如答題圖1所示：當(dāng)/CNP=90。時(shí).

A

答題圖1

?：NCNP=90°,

???NANF=90。，

又：NAFN=60。,

JZFAN=180o-60°-90o=30°,

/.Za=30°；

如答題圖2所示：當(dāng)NCP290。時(shí).

答題圖2

VZC=30°,NCPN=90。,

；?NCNP=6。。.

NAN/=60°?

XVZF=60°,

：.ZFAN=60°.

Za=60°.

綜上所述，Na=30。或60。.

14.（2021?北京九年級(jí)一模）在AABC中，AB=AC,NB4C=a（0°<a<60°）,點(diǎn)E是AABC內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn)，連接AE,CE,將AAEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,使AC邊與A8重合，得到AADB,延長CE與射線

B￡）交于點(diǎn)M（點(diǎn)M與點(diǎn)。不重合）.

（1）依題意補(bǔ)全圖1；

（2）探究ZADM與ZAEM的數(shù)量關(guān)系為；

（3）如圖2,若OE平分NAD8,用等式表示線段MC,AE,5。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）圖見解析；（2）ZADM=ZAEM；（3）MC=AE+BD.證明見解析.

【分析】（1）依據(jù)題中語句根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出圖形即可；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)角相等，再利用鄰補(bǔ)角和等角的補(bǔ)角相等即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)角平分線和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證AE//BM,再利用（2）中的結(jié)論和平行線的性質(zhì)進(jìn)一步證明

ZDAE,NDME=NMDA,根據(jù)等角對(duì)等邊可得4V=NE,MV=￡W,利用線段的和差可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖如下：

圖1

（2）???AAEC繞點(diǎn)、A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。，使AC邊與AB重:介,

:.NAEC=NADB,

,：ZAEC+ZAEM=180°,ZADB+ZADM=180°,

ZADM=ZAEMf

故答案為：ZADM二ZAEM；

（3）MC=AE+BD，證明如下：

???繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,使AC邊與AB重合,

:?EC=BD,AE=AD,

???ZADE=ZAED.

又,.,QE平分NAOB,

，ZADE=ZBDEf

：.ZAED=ZBDE,

:.AE//BD,

:?4MDA=4DAE,NDME=NMEA,

?二由（2）得/MEA=NM￡>4,

:"MEA=/DAE,/DME=/MDA,

：.AN=NE,MN=DN,

：.ME=AD,

???MC=ME+EC=AD+BD=AE+BD.

15.（2021?全國八年級(jí)專題練習(xí)）在A48C中AB=AC,點(diǎn)P在平面內(nèi)，連接4尸并將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)與/84C相等的角度，得到線段A。，連接8Q

（發(fā)現(xiàn)問題）如圖1,如果點(diǎn)P是8c邊上任意一點(diǎn)，則線段3Q和線段PC的數(shù)量關(guān)系是；

（探究猜想）如圖2,如果點(diǎn)P為平面內(nèi)任意一點(diǎn).前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明：

若不成立，請(qǐng)說明理由.請(qǐng)僅以圖2所示的位置關(guān)系加以證明（或說明）：

（二）拓展應(yīng)用

（拓展應(yīng)用）如圖3,在AABC中，AC=2,ZACB=90P,ZABC^30P,P是線段BC上的任意一點(diǎn)連接AP,

將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到線段4。，連接CQ,請(qǐng)直接寫出線段CQ長度的最小值.

【答案】發(fā)現(xiàn)問題：BQ=PC；探究猜想：8Q=PC仍然成立，理由見解析；拓展應(yīng)用：線段C。長度最小值

是1

【分析】發(fā)現(xiàn)問題：由旋轉(zhuǎn)知，AQ=AP,ZPAQ=ZBAC,可得/8AQ=/C4P,可知△8AQ絲△C4尸（SAS）,

BQ=CP即可；

探究猜想：結(jié)論：8Q=PC仍然成立，理由：由旋轉(zhuǎn)知，AQ=AP,由NB4Q=/3AC,可得/比1Q=/C4P,

可知AHA。絲△C4P（SAS）,可得8Q=CP；

拓展應(yīng)用：在AB上取一點(diǎn)E,使AE=AC=2,連接PE,過點(diǎn)E作EF±BC于F,由旋轉(zhuǎn)知,AQ=AP,NR4Q=6O°,

可求可證△CAQgAEA尸（SAS）,CQ^EP,當(dāng)（點(diǎn)P和點(diǎn)尸重合）時(shí)，EP最小,

在RmACB中，ZACB=30°,AC=2可求AB=4,由AE=AC=2,可求BE=AB-AE=2,在RtABFE'|1,ZEBF=30°,

BE=2,可得EF=g8E=1即可

【詳解】發(fā)現(xiàn)問題：由旋轉(zhuǎn)知，AQ=AP,

'：ZPAQ-ZBAC,

/./PAQ-/BAP=NBAC-NBAP,

：.ZBAQ^ZCAP,

在△BAQ和ACAP中，

AQ=AP

<ZBAQ=乙CAP,

AB=AC

：.^\BAQ^/\CAP(SAS),

：.BQ=CP,

故答案為：BQ=PC；

探究猜想：結(jié)論：B(2=PC仍然成立，

理由：由旋轉(zhuǎn)知，AQ=AP,

'：ZPAQ=ZBAC,

：.NPAQ-NBAP=NBAC-NBAP,

ZBAQ=ZCAP,

在ABAQ和ACA尸中，

AQ=AP

<ZBAQ=4CAP,

AB=AC

：./\BAQ^/\CAP(SAS),

：.BQ=CP；

解：拓展應(yīng)用：如圖，

在A8上取一點(diǎn)E,使A￡=AC=2,連接PE,過點(diǎn)E作EFLBC于F,

由旋轉(zhuǎn)知，AQ=AP,ZPAQ=60°,

乙48c=30。，

.\ZEAC=60°,

：.ZPAQ=ZEAC,

：.ZCAQ=ZEAP,

在小。!。和△￡:△?中，

AQ=AP

<ZCAQ=NEAP,

AC=AE

:.△CAQ^XEAP(SAS),

：.CQ=EP,

要使C。最小，則有EP最小，而點(diǎn)E是定點(diǎn)，點(diǎn)P是A8上的動(dòng)點(diǎn),

.?.當(dāng)EFLBC(點(diǎn)P和點(diǎn)尸重合)時(shí)，EP最小，

即：點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，CQ最小，最小值為EP,

在中，ZACB=30°,AC=2,

：.AB=4,

'：AE=AC=2,

：.BE=AB-AE=2,

在RfABFE中,ZEBF=30°,BE=2,

1

：.EF=—BE=\.

2

故線段CQ長度最小值是1.

16.(2021?甘肅白銀市?九年級(jí)一模)如圖1,在正方形ABCD中，EF分別是BC,CQ上的點(diǎn)，且NEAF=

45。，探究圖中線段BE,EF,尸。之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問題的方法是將AABE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。

使得B與。重合，連接AG,由此得到,再證明,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是

圖1圖2

拓展延伸:

如圖2,等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,A8=BC,點(diǎn)G,“在邊AC上，且NG8”=45。，寫出圖

中線段AG,GH,CH之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

【答案】(1)BE=DG,EF=FG,EF=BE+DF；(2)GH^AG+CH2,證明見解析.

【分析】(1)結(jié)論：EF=BE+DF.證明A4FE絲A4FG(SAS)即可解決問題.

(2)結(jié)論：G^AG^CH2.將△8C”繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ABAM.證明NMAG=90。，4BGH//\BGM

(SAS)即可解決問題.

【詳解】解：(1)結(jié)論：EF=BE+DF.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：DG=BE,ZBAE=ZDAG,AE=AG,

VZEAF=45°,ZBAD=90°f

O

：.ZFAG=ZDAG^-ZDAF=ZBAE+ZDAF=459

：.ZFAG=ZEAFf

VAF=AF,

A/\AFE^/\AFG(&4S),

:.EF=FG,

,:FG=DF+DG=DF+BE,

:.EF=BE+DF.

如圖：將△8C”繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ABAM.

U：BA=BC,NA8C=90。，

AZBAC=ZC=45°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：BH=BM,ZC=ZBAM=45°,NABM=NCBH,

???ZMAG=ZBAM+ZBAC=90°,

?/NHBG=45。,

：.ZGBM=NA5G+ZABM=NABG+ZCBH=90°-ZHBG=45°,

:.NHBG=NMBG,

?；BG=BG,

:.ARGH沿4BGM(SAS),

JGH=GM,

VZMAG=90°,

/.AA/2+AG2=GA/2,

:.GH^AG+CH2.

17.（2020?浙江八年級(jí)期末）在中，ZC=90°,AC=BC=2f將用NA/PN的頂點(diǎn)放在斜邊A5

的中點(diǎn)尸處，將此直角繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，兩直角邊分別交射線AC、CB于點(diǎn)D、點(diǎn)、E,圖①，②是旋轉(zhuǎn)得到的

兩種圖形.

(1)以圖①為例，連接CP，猜想線段PO和PE之間的有怎樣的大小關(guān)系；并說明理由.

(2)以圖①為例，連接OE,猜想。瓦A23E之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中是否能構(gòu)成等腰三角形？若能，指出所有的情況，并直接求出△QBE為等腰三

角形時(shí)CE的長.

【答案】⑴PAPE,理由見解析；(2)BE2+AD2=DE2'理由見解析；(3)能，0或1或2-0或2+

【分析】(1)證明△OPCgZXEPB,即可得出PD=PE.

(2)根據(jù)ADPC絲△EPB,得至IJ8=BE,可得AD=CE,根據(jù)勾股定理得到C小十。七2=。七2,替換可得

結(jié)果；

(3)分EP=EB、EP=PB、8E=8P三種情況，畫出圖形進(jìn)行解答.

【詳解】解：(1);△ABC是等腰直角三角形，P為斜邊AB的中點(diǎn)，

：.PC=PB,CP1AB,NDCP=NB=45。,

又ZMPN=ZDPC+ZCPE=90°,ZCPE+ZEPB=90°,

:.NDPC=NEPB,

:.ADPCqAEPB(ASA),

：.PD=PE；

(2)BE2+AD2=DE2.

理由是：,:△DPgAEPB,

：.CD^BE,

又???AC=8C,

J.AD^CE,

'：乙4c8=90°,

；?CD2+CE2=DE2^

BE2+AD2DE2-

(3)在Rf△ABC中，\"AC=CB=2,ZC=90°,

?"8=也2+22=2也，

????是AB中點(diǎn)，

:.PB=PA=叵,

當(dāng)EP=EB時(shí)，

NEBP=NEPB=45°,即/PEB=90°,

:.BE=PE=<°)=1,

2

：.CE=BC-BE=\；

當(dāng)EP=P8時(shí)，點(diǎn)E在BC上,

則點(diǎn)E和C重合，CE=0：

A

當(dāng)BE=BP時(shí)，若點(diǎn)E在BC上,

則CE=2-V2；

若點(diǎn)E在CB的延長線上，

則CE=2+四;

N

綜上：&PBE能構(gòu)成等腰三角形，此時(shí)CE的長為：0或1或2-、￡或2+72.

18.（2021?福建三明市?九年級(jí)一模）如圖，RSABC中，ZACB=90°，NA=60。，△ABC繞點(diǎn)。順時(shí)

（1）求證：垂直平分8C；

（2）F是OE中點(diǎn)，連接8/，CF,若AC=2,求四邊形ACEB的面積.

【答案】（1）見解析；（2）3A/3

【分析】（I）由ZACB=90°.NA=60°,得N4BC=30°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義，得N4C￡>=60。，故/BC￡>=30。,

ZBCE=60°,因此NA8C=NBCO,DB=DC,問題得證；

（2）四邊形ACFB的面積是三角形ACC面積的3倍，計(jì)算三角形A￡?C的面積即可.

【詳解】（1）；NACB=90°，NA=60。，

ZABC=30°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義，得NAC7X60。，

...N8CC=30。，NBCE=60。，

:.NABC=NBCD,

：.DB=DC,

,/ZACD=ZA=ZCDE=60°

7.ZBDE=60°

；.DE平分NBDC

...點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，

：.DE垂直平分BC；

（2）如圖，過點(diǎn)/）作。GJ_AC,垂足為G,

\'CA=CD,/4=60°,

...△ACC是等邊三角形，AD^CD=AC,

,:DE垂直平分BC,

：.DB=DC,FB=FC,

1

，DB=DC=DA=CA=—AB,

2

,/E是OE中點(diǎn)，

1

：.CF=DF=EF=—DE,

2

...￡>8=OC=￡M=C4=CF=DF=BF,

：.四邊形ACFD是菱形，四邊形DCFB是菱形；

，四邊形ACFB的面積是三角形ACD面積的3倍,

\'AC=AD=2,

，AG=I,DG=6,

四邊形ACFB的面積：3xyxACx￡）G=3xx2x=373.

19.（2021?北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)其他模擬）四邊形A2CD是正方形，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a

（45°<a<90°）,得到線段CE,連接OE,過點(diǎn)8作交。E于F,連接8E.

（1）依題意補(bǔ)全圖1:

（2）直接寫出NFBE的度數(shù)；

（3）連接AF,用等式表示線段AF與。E的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1

【答案】（1）見解析：（2）45°；（3）DE=y/iAF,見解析

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）利用圓周角定理解決問題即可.

(3)結(jié)論；?！?=/4尸.作4從1_4凡交尸8的延長線于點(diǎn)兒證明△H/W-△用0cAsA),推出"8="。,

AH=AFf推出“尸=OE,NH=45。,可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)圖形如圖所示：

(2)結(jié)論：ZFBE=45°.

理由：連接3E.

???四邊形A8CD是正方形，

:?CB=CD,NOC8=90。，

,:CB=CD=CE,

???￡、B、。三點(diǎn)在以C為圓心C8為半徑的圓上

1

ZBED=—ZBCD=45°,

2

,:BFLDE,

：.ZBFE=90°,

AZFBE=90°-45°=45°.

(3)結(jié)論；DE=y[iAF.

理由：作A”_LA凡交的延長線于點(diǎn)兒

由(2)得NFBE=NFEB=450.

:?FB=FE.

a

：AHl.AF9ZBAD=90°,

：.ZHAB=ZFADt

???/BFD=NDAB=90。,

JZABH+ZABF=180°,ZABF+ZADF=180°,

，ZABH^ZADF,

：./\HAB^/XFAD(ASA),

:.HB=FD,AH^AF,

：.HF=DE,NH=45°.

:.HF=CAF.

:.DE=OAF.

20.(2021?遼寧葫蘆島市?九年級(jí)一模)在菱形ABC。中，&BC=120°,點(diǎn)M在D4的延長線上，點(diǎn)E

是直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接ME,將線段ME繞點(diǎn)M逆時(shí)針60°得到線段M尸，連接EF,DF.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段A