必修二講義第一章立體幾何初步114

1.直觀(guān)圖畫(huà)法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.把握斜二測(cè)畫(huà)法的作圖規(guī)那么.2.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)潔幾何體的直觀(guān)圖．學(xué)問(wèn)點(diǎn)斜二測(cè)畫(huà)法1．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖的規(guī)那么2．立體圖形直觀(guān)圖的畫(huà)法規(guī)那么畫(huà)立體圖形的直觀(guān)圖，在畫(huà)軸時(shí)，要多畫(huà)一條與平面x′O′y′垂直的軸O′z′，且平行于O′z′的線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，其他同平面圖形的畫(huà)法．1．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的∠A時(shí)，假設(shè)∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，那么在直觀(guān)圖中，∠A＝45°.(×)2．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)平面圖形的直觀(guān)圖時(shí)，平行的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中仍平行，且長(zhǎng)度不變．(×)3．在斜二測(cè)畫(huà)法中平行于y軸的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中長(zhǎng)度保持不變．(×)類(lèi)型一平面圖形的直觀(guān)圖例1畫(huà)出如圖水平放置的直角梯形的直觀(guān)圖．解(1)在的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線(xiàn)為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．畫(huà)出對(duì)應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，如圖①②所示．(2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過(guò)點(diǎn)D′作x′軸的平行線(xiàn)l，在l上沿x′軸正方向取點(diǎn)C′使得D′C′＝DC.連結(jié)B′C′，如圖②.(3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀(guān)圖，如圖③.引申探究假設(shè)將本例中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀(guān)圖如何？解畫(huà)法：(1)如圖①所示，取AB所在直線(xiàn)為x軸，AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°.(2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點(diǎn)畫(huà)出C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.連結(jié)B′C′，D′A′，如圖②所示．(3)所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀(guān)圖，如圖③所示．反思與感悟在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn)．原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段可以通過(guò)作平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段來(lái)作出其對(duì)應(yīng)線(xiàn)段．確定多邊形頂點(diǎn)的位置是關(guān)鍵之二，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連結(jié)即可．跟蹤訓(xùn)練1如下圖，為一個(gè)水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2)，那么在用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的正方形的直觀(guān)圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為_(kāi)_______．答案eq\f(\r(2),2)解析正方形的直觀(guān)圖如下圖．由直觀(guān)圖的畫(huà)法知，O′A′＝1，又∠A′O′C′＝45°，過(guò)點(diǎn)A′作A′D′⊥O′C′，垂足為D′，∴點(diǎn)A′到x′軸的距離為A′D′＝O′A′·sin45°＝eq\f(\r(2),2).又A′B′∥x′軸，∴點(diǎn)B′到x′軸的距離也是eq\f(\r(2),2).類(lèi)型二直觀(guān)圖的復(fù)原與計(jì)算eq\x(命題角度1由直觀(guān)圖復(fù)原平面圖形)例2如下圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀(guān)圖，將其復(fù)原成平面圖形．解①畫(huà)出直角坐標(biāo)系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②過(guò)B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于點(diǎn)D′，在OA上取OD＝O′D′，過(guò)D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′；③連結(jié)AB，BC，得△ABC.那么△ABC即為△A′B′C′對(duì)應(yīng)的平面圖形，如下圖．反思與感悟由直觀(guān)圖復(fù)原平面圖形的關(guān)鍵(1)平行x′軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，平行y′軸的線(xiàn)段擴(kuò)大為原來(lái)的2倍．(2)對(duì)于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點(diǎn)可通過(guò)作x′軸，y′軸的平行線(xiàn)確定其在xOy中的位置．跟蹤訓(xùn)練2如下圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀(guān)圖，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，那么原圖形是________．答案菱形解析如下圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形．eq\x(命題角度2原圖形與直觀(guān)圖的面積的計(jì)算)例3如下圖，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀(guān)圖．假設(shè)A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫(huà)出原四邊形的外形，并求出原圖形的面積．解如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在過(guò)點(diǎn)D的y軸的平行線(xiàn)上截取DA＝2D1A1＝2.在過(guò)點(diǎn)A的x軸的平行線(xiàn)上截取AB＝A1B1＝2.連結(jié)BC，即得到了原圖形．由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰的長(zhǎng)度AD＝2，所以面積為S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.反思與感悟(1)由原圖形求直觀(guān)圖的面積，關(guān)鍵是把握斜二測(cè)畫(huà)法，明確原來(lái)實(shí)際圖形中的高，在直觀(guān)圖中變?yōu)榕c水平直線(xiàn)成45°(或135°)角且長(zhǎng)度為原來(lái)一半的線(xiàn)段，這樣可得出所求圖形相應(yīng)的高．(2)假設(shè)一個(gè)平面多邊形的面積為S，它的直觀(guān)圖面積為S′，那么S′＝eq\f(\r(2),4)S.跟蹤訓(xùn)練3如下圖，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀(guān)圖是等腰直角三角形A′B′O′，假設(shè)O′B′＝1，那么原三角形ABO的面積是________．答案eq\r(2)解析直觀(guān)圖中等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，因此面積為eq\f(1,2).又直觀(guān)圖與原平面圖形面積比為eq\r(2)∶4，所以原圖形的面積為eq\r(2).類(lèi)型三簡(jiǎn)潔幾何體的直觀(guān)圖例4用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別為4cm、3cm、2cm的長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D′的直觀(guān)圖．解(1)畫(huà)軸．如圖，畫(huà)x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠x(chóng)Oy＝45°，∠x(chóng)Oz＝90°.(2)畫(huà)底面．以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上取線(xiàn)段MN，使MN＝4cm；在y軸上取線(xiàn)段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分別過(guò)點(diǎn)M和N作y軸的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)P和Q作x軸的平行線(xiàn)，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長(zhǎng)方體的底面ABCD.(3)畫(huà)側(cè)棱．過(guò)A，B，C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線(xiàn)，并在這些平行線(xiàn)上分別截取2cm長(zhǎng)的線(xiàn)段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成圖．順次連結(jié)A′，B′，C′，D′(去掉幫助線(xiàn)，將被遮擋的局部改為虛線(xiàn))，就得到長(zhǎng)方體的直觀(guān)圖．反思與感悟直觀(guān)圖中應(yīng)遵循的根本原那么(1)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間圖形的直觀(guān)圖時(shí)，圖形中平行于x軸、y軸、z軸的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中應(yīng)分別畫(huà)成平行于x′軸、y′軸、z′軸的線(xiàn)段．(2)平行于x軸、z軸的線(xiàn)段在直觀(guān)圖中長(zhǎng)度保持不變，平行于y軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,2).(3)直觀(guān)圖畫(huà)法口訣“一斜、二半、三不變〞．跟蹤訓(xùn)練4用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出六棱錐P－ABCDEF的直觀(guān)圖，其中底面ABCDEF為正六邊形，點(diǎn)P在底面上的投影是正六邊形的中心O.(尺寸自定)解(1)畫(huà)出六棱錐P－ABCDEF的底面．①在正六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線(xiàn)為x軸，對(duì)稱(chēng)軸MN所在的直線(xiàn)為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，如圖(1)，畫(huà)出相應(yīng)的x′軸、y′軸、z′軸，三軸相交于O′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，∠x(chóng)′O′z′＝90°，如圖(2)；②在圖(2)中，以O(shè)′為中點(diǎn)，在x′軸上取A′D′＝AD，在y′軸上取M′N(xiāo)′＝eq\f(1,2)MN，以點(diǎn)N′為中點(diǎn)，畫(huà)出B′C′平行于x′軸，并且等于BC，再以M′為中點(diǎn)，畫(huà)出E′F′平行于x′軸，并且等于EF；③連結(jié)A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′，得到正六邊形ABCDEF水平放置的直觀(guān)圖A′B′C′D′E′F′.(2)畫(huà)出正六棱錐P－ABCDEF的頂點(diǎn)．在z′軸正半軸上截取點(diǎn)P′，點(diǎn)P′異于點(diǎn)O′.使P′O′＝PO.(3)成圖．連結(jié)P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′軸、y′軸和z′軸(被遮擋的局部為虛線(xiàn))，便可得到六棱錐P－ABCDEF的直觀(guān)圖P′－A′B′C′D′E′F′，如圖(3)．1．利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀(guān)圖，正確的選項(xiàng)是圖中的________．(填序號(hào))答案③解析正方形的直觀(guān)圖應(yīng)是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長(zhǎng)之比為2∶1.2．一個(gè)正方形的直觀(guān)圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長(zhǎng)為4，那么此正方形的面積為_(kāi)_________．答案16或64解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面積為16或64.3．有一個(gè)長(zhǎng)為5cm，寬為4cm的矩形，那么其用斜二測(cè)畫(huà)法得到的直觀(guān)圖的面積為_(kāi)_______cm2.考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)與直觀(guān)圖有關(guān)的計(jì)算答案5eq\r(2)解析該矩形直觀(guān)圖的面積為eq\f(\r(2),4)×5×4＝5eq\r(2).4．如下圖為一平面圖形的直觀(guān)圖，那么此平面圖形可能是下列圖中的________．(填序號(hào))答案③解析在x軸上或與x軸平行的線(xiàn)段在新坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度不變，在y軸上或與y軸平行的線(xiàn)段在新坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的eq\f(1,2)，并留意到∠x(chóng)Oy＝90°，∠x(chóng)′O′y′＝45°，因此由直觀(guān)圖復(fù)原成原圖形為③.5．畫(huà)出一個(gè)正三棱臺(tái)的直觀(guān)圖．(尺寸：上、下底面邊長(zhǎng)分別為1cm,2cm，高為2cm)解(1)作水平放置的下底面等邊三角形的直觀(guān)圖△ABC，其中O為△ABC的重心，BC＝2cm，線(xiàn)段AO與x軸的夾角為45°，AO＝2OD.(2)過(guò)O作z軸，使∠x(chóng)Oz＝90°，在z軸上截取OO′＝2cm，作上底面等邊三角形的直觀(guān)圖△A′B′C′，其中B′C′＝1cm，連結(jié)AA′，BB′，CC′(去掉幫助線(xiàn)，將被遮擋的局部改為虛線(xiàn))，得正三棱臺(tái)的直觀(guān)圖．1．畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖，關(guān)鍵是確定直觀(guān)圖的頂點(diǎn)．確定點(diǎn)的位置，可采納直角坐標(biāo)系．建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是快速作出直觀(guān)圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，并讓頂點(diǎn)盡量多地落在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)上．2．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)圖時(shí)要緊緊把握?。骸耙恍报?、“二測(cè)〞兩點(diǎn)：(1)一斜：平面圖形中相互垂直的Ox、Oy軸，在直觀(guān)圖中畫(huà)成O′x′、O′y′軸，使∠x(chóng)′O′y′＝45°或135°.(2)二測(cè)：在直觀(guān)圖中平行于x軸的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的長(zhǎng)度取一半，記為“橫不變，縱折半〞．一、填空題1．在斜二測(cè)畫(huà)法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)M(4,4)在直觀(guān)圖中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是M′，那么點(diǎn)M′的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案(4,2)解析由直觀(guān)圖畫(huà)法“橫不變，縱折半〞可得點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(4,2)．2.如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀(guān)圖，A′B′∥y′軸，B′C′∥x′軸，那么△ABC的外形是______三角形．答案直角解析∵A′B′∥y′軸，B′C′∥x′軸，∴在原圖形中，AB∥y軸，BC∥x軸，故△ABC為直角三角形．3．一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是4,8,4，那么畫(huà)其直觀(guān)圖時(shí)對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度依次為_(kāi)___________．答案4,4,4解析依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)那么可知，水平線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度減半，豎直線(xiàn)段長(zhǎng)度不變，所以其長(zhǎng)度分別為4,4,4.4．下面各組圖形中2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正△ABC的直觀(guān)圖不是全等三角形的一組是________．(填序號(hào))答案③解析可分別畫(huà)出各組圖形的直觀(guān)圖，觀(guān)看可得結(jié)論．5．如圖，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖為一個(gè)正方形，那么原來(lái)圖形的外形是________．(填序號(hào))答案①解析直觀(guān)圖中正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為eq\r(2)，故在平面圖形中平行四邊形的高為2eq\r(2)，只有①滿(mǎn)意條件，故①正確．6．在如下圖的直觀(guān)圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長(zhǎng)為2cm，那么在坐標(biāo)系xOy中，原四邊形OABC為_(kāi)_____(填外形)，面積為_(kāi)_______cm2.答案矩形8解析由題意并結(jié)合斜二測(cè)畫(huà)法，可得四邊形OABC為矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴四邊形OABC的面積為S＝2×4＝8(cm2)．7．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖，對(duì)其中的線(xiàn)段說(shuō)法正確的選項(xiàng)是________．(填序號(hào))①原來(lái)相交的仍相交；②原來(lái)垂直的仍垂直；③原來(lái)平行的仍平行；④原來(lái)共點(diǎn)的仍共點(diǎn)．答案①③④解析依據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法，原來(lái)相互垂直的線(xiàn)段未必垂直．8．如下圖，△A′B′O′為水平放置的△ABO的直觀(guān)圖，由圖推斷△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的挨次是____________．答案OD，BD，AB，BO解析由題圖可知，在△ABO中，OD＝2，BD＝4，AB＝eq\r(17)，BO＝2eq\r(5)，故OD<BD<AB<BO.9．給出以下說(shuō)法，其中不正確的選項(xiàng)是________．(填序號(hào))①水平放置的矩形的直觀(guān)圖可能是梯形；②水平放置的梯形的直觀(guān)圖可能是平行四邊形；③水平放置的平行四邊形的直觀(guān)圖可能是矩形；④水平放置的菱形的直觀(guān)圖可能是平行四邊形．答案①②解析由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)那么可知①②不正確．10．如下圖，四邊形OABC是上底為2cm，下底為6cm，底角為45°的等腰梯形，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出這個(gè)梯形的直觀(guān)圖O′A′B′C′，那么在直觀(guān)圖中，梯形的高為_(kāi)_______cm.答案eq\f(\r(2),2)解析作CD，BE⊥OA于點(diǎn)D，E，那么OD＝EA＝eq\f(OA－BC,2)＝2(cm)，∴OD＝CD＝2cm，∴在直觀(guān)圖中梯形的高為eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)(cm)．二、解答題11．如圖，A′B′C′D′是邊長(zhǎng)為1的正方形，又知它是某個(gè)四邊形按斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀(guān)圖，請(qǐng)畫(huà)出該四邊形的原圖形，并求出原圖形的面積．考點(diǎn)平面圖形的直觀(guān)圖題點(diǎn)與直觀(guān)圖有關(guān)的計(jì)算解由，A′B′C′D′是邊長(zhǎng)為1的正方形，又知它是某個(gè)四邊形按斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀(guān)圖，可得該四邊形的原圖形，如下圖，這是一個(gè)底邊長(zhǎng)為2，高為eq\r(2)的平行四邊形，故原圖形的面積為2eq\r(2).12.如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖，試畫(huà)出原平面圖形△ABC.解(1)過(guò)C′，B′分別作y′軸的平行線(xiàn)交x′軸于點(diǎn)D′，E′.(2)在直角坐標(biāo)系xOy中，在x軸上取兩點(diǎn)E，D，使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分別過(guò)E，D作y軸的平行線(xiàn)，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′，連結(jié)OB，OC，BC，并擦掉幫助線(xiàn)及x軸，y軸，即畫(huà)出原△ABC.13.如下圖，在△ABC中，AC＝12cm，AC邊上的高BD＝12cm，求其水平放置的直觀(guān)圖的面積．解方法一畫(huà)x′軸，y′軸，兩軸交于O′，使∠x(chóng)′O′y′＝45°，作△ABC的直觀(guān)圖如下圖，那么A′C′＝AC＝12cm，B′D′＝eq\f(1,2