2022-2023學(xué)年蘇教版高一數(shù)學(xué)新教材教學(xué)講義4.2 對(duì)數(shù)

文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除4.2對(duì)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、對(duì)數(shù)概念1．對(duì)數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：．其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．2．對(duì)數(shù)（且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即；（2）1的對(duì)數(shù)為0，即；（3）底的對(duì)數(shù)等于1，即．3．兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，．以e（e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，）為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為．4．對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來(lái)的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．知識(shí)點(diǎn)二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和；推廣：（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)；知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來(lái)，即下面的等式是錯(cuò)誤的：，，．知識(shí)點(diǎn)三、對(duì)數(shù)公式1．對(duì)數(shù)恒等式：2．換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問(wèn)題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：．【題型歸納目錄】題型一：對(duì)數(shù)的定義題型二：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用題型三：利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值題型四：積、商、冪的對(duì)數(shù)題型五：一類與對(duì)數(shù)有關(guān)方程的求解問(wèn)題題型六：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用題型七：換底公式的運(yùn)用題型八：由已知對(duì)數(shù)求解未知對(duì)數(shù)式題型九：證明常見的對(duì)數(shù)恒等式【典型例題】題型一：對(duì)數(shù)的定義例1．（2022·江西省吉水中學(xué)高一階段練習(xí)）使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．例2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）對(duì)數(shù)式M＝log(a－3)(10－2a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(－∞，5) B．(3，5)C．(3，＋∞) D．(3，4)∪(4，5)例3．（2022·云南·峨山彝族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）在等式中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．例4．（2022·江蘇南通·高一期末）使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C． D．例5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若有意義，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.題型二：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用例6．（多選題）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化正確的一組是（

）A．與 B．與C．與 D．與【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問(wèn)題的重要手段.例7．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．例8．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）將下列對(duì)數(shù)形式化為指數(shù)形式或?qū)⒅笖?shù)形式化為對(duì)數(shù)形式：(1)2－7＝；(2)；(3)lg1000＝3；(4)題型三：利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值例9．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)數(shù)恒等式中要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；③其值為真數(shù).例10．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算(1)(2)例11．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高三階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：＝________．例12．（2022·貴州·遵義四中高一期末）______．題型四：積、商、冪的對(duì)數(shù)例13．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算結(jié)果是__________．【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式的重要途徑，因此我們必須準(zhǔn)確地把握它們．在運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，一要注意真數(shù)必須大于零；二要注意積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)著對(duì)數(shù)的和、差、積得運(yùn)算．例14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則______．例15．（2022·湖南·平江縣第三中學(xué)高一期中）計(jì)算=________.題型五：一類與對(duì)數(shù)有關(guān)方程的求解問(wèn)題例16．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）若log3(log2x)＝1，則x等于（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】直接利用定義法或者換元法例17．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）求下列各式中x的值：(1)log3(log2x)＝0；(2)log2(lgx)＝1；(3)；(4)．例18．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）方程log2(5－x)＝2，則x＝________．例19．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，那么=（

）A．1 B．2 C．3 D．4例20．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）若，則的值是（）A． B． C． D．題型六：對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例21．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）______．（用數(shù)字作答）【方法技巧與總結(jié)】（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存在時(shí)等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來(lái).例22．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．例23．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）(1)；(2)．例24．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）求值例25．（2022·江蘇·高一）（1）．（2）已知，，計(jì)算的值．例26．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，若，求的值.例27．（2022·廣西·興安縣第二中學(xué)高一期中）計(jì)算下列各式的值：(1)(2)題型七：換底公式的運(yùn)用例28．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B．6 C．9 D．12【方法技巧與總結(jié)】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對(duì)數(shù)化成同底的對(duì)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)．（2）題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式．（3）解決這類問(wèn)題要注意隱含條件“”的靈活運(yùn)用．例29．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則________，________．例30．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）約翰·納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)，后來(lái)數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，則，現(xiàn)已知，，則______，______故答案為：;1.例31．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則，則A等于__________．例32．（2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知且，則a的值為（

）A． B． C． D．例33．（2022·上海市楊浦高級(jí)中學(xué)高一期中）已知，則______;題型八：由已知對(duì)數(shù)求解未知對(duì)數(shù)式例34．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用進(jìn)行轉(zhuǎn)換.例35．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）已知，，試用表示；（2）已知，，試用表示．例36．（2022·浙江·高一期中）設(shè)，，把用含，的式子表示，形式為___________.例37．（2022·上海閔行·高一期末）已知，用表示___________.例38．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則（

）A． B．C． D．例39．（2022·浙江·玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則下列能化簡(jiǎn)為的是（

）A． B． C． D．例40．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，那么用表示是（

）A． B． C． D．題型九：證明常見的對(duì)數(shù)恒等式例41．（2022·江蘇·高一單元測(cè)試）已知a，b，c均為正數(shù)，且，求證：；【方法技巧與總結(jié)】利用換底公式和作差法進(jìn)行證明.例42．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，求證：.例43．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知，求證：.例44．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）證明：（1）；（2）.例45．（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)、、滿足，則下列式子正確的是（）A． B．C． D．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·四川巴中·高一期末（理））溶液酸堿度是通過(guò)刻畫的的計(jì)算公式為，其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升．已知胃酸中氫離子的濃度是摩爾/升，則胃酸的是（

）A．2.299 B．1.602 C．2.301 D．2.6022．（2022·四川自貢·高一期末）下列等式中，正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)），則（

）A．64 B．125 C．256 D．6254．（2022·陜西·西安市第七十五中學(xué)高一階段練習(xí)）如果方程的兩根為、，則的值是（

）A． B． C． D．5．（2022·江蘇·高一）化簡(jiǎn)：（

）A． B． C．1 D．26．（2022·江蘇·高一）若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若對(duì)數(shù)有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A．（-∞，3） B．C．∪（1，+∞） D．∪（1，3）8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·江蘇鹽城·高一期中）若a＞0，a≠1，則下列說(shuō)法不正確的是（）A．若logaM＝logaN，則M＝N B．若M＝N，則logaM＝logaNC．若logaM2＝logaN2，則M＝N D．若M＝N，則logaM2＝logaN210．（2022·湖北·武漢東湖新技術(shù)開發(fā)區(qū)教育發(fā)展研究院高一期末）下列運(yùn)算中正確的是（

）A． B．C． D．11．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（多選）已知，，則（

）A． B．C． D．12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)都是正數(shù)，且，那么（

）A． B． C． D． E．三、填空題13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)），則___________.14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，已知，則的值為______．15．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）___．16．（2022·江蘇常州·高一期中）若，且，則的值為__________.四、解答題17．（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算下列各式的值：（1）lg＋lg；（2）log345－log35；（3）(lg5)2＋lg2×lg5＋lg2；（4）log535－2log5＋log57－log51.8；（5）lg－lg＋lg；（6）lg52＋lg8＋lg5×lg