人教A版必修第二冊711數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念作業(yè)

課時作業(yè)(十三)數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念一、選擇題1．設(shè)集合A＝{虛數(shù)}，B＝{純虛數(shù)}，C＝{復(fù)數(shù)}，那么A，B，C間的關(guān)系為()A．ABCB．BACC．BCAD．ACB答案：B解析：依據(jù)復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系如下圖．應(yīng)選B.2．(多項選擇)以下命題正確的選項是()A．1＋i2＝0B．假設(shè)a，b∈R，且a>b，那么a＋i>b＋iC．假設(shè)x2＋y2＝0，那么x＝y(tǒng)＝0D．兩個虛數(shù)不能比擬大小答案：AD解析：對于A，由于i2＝－1，所以1＋i2＝0，故A正確；對于B，兩個虛數(shù)不能比擬大小，故B錯誤；對于C，當(dāng)x＝1，y＝i時，x2＋y2＝0成立，但x≠y，故C錯誤；D正確．應(yīng)選AD.3．(多項選擇)i為虛數(shù)單位，以下命題中正確的選項是()A．假設(shè)x，y∈C，那么x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1B．(a2＋1)i(a∈R)是純虛數(shù)C．－1沒有平方根D．當(dāng)m＝4時，復(fù)數(shù)lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是純虛數(shù)答案：BD解析：取x＝i，y＝－i，那么x＋yi＝1＋i，但不滿意x＝y(tǒng)＝1，故A錯誤；?a∈R，a2＋1>0恒成立，所以(a2＋1)i是純虛數(shù)，故B正確；－1的平方根為±1i，故C錯誤；復(fù)數(shù)lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是純虛數(shù)等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2－2m－7＝0，,m2＋5m＋6≠0，))解得m＝4，故D正確．應(yīng)選BD.4．假設(shè)復(fù)數(shù)cosθ＋isinθ和sinθ＋icosθ相等，那么θ的值為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,4)或eq\f(5π,4)C．2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z) D．kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)答案：D解析：由復(fù)數(shù)相等定義，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝sinθ，,sinθ＝cosθ，))∴tanθ＝1，∴θ＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．5．集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，M∩N＝{3}，那么實數(shù)m的值為()A．4 B．－1C．－1或4 D．－1或6答案：B解析：由M∩N＝{3}，得3∈M，故(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3，因此得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－1＝3，,m2－5m－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4或m＝－1，,m＝6或m＝－1.))所以m的值為－1，應(yīng)選B.二、填空題6．以下命題：①假設(shè)z＝a＋bi，那么當(dāng)且僅當(dāng)a＝0，b≠0時z為純虛數(shù)；②假設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，那么z1與z2不能比擬大??；③假設(shè)實數(shù)a與ai對應(yīng)，那么實數(shù)集與純虛數(shù)集可建立一一對應(yīng)關(guān)系．其中正確命題有________個．答案：0解析：在①中a，b不肯定為實數(shù)，故①錯誤；在②中當(dāng)z1與z2全為實數(shù)時可以比擬大小，故②錯誤；在③中對實數(shù)集中的0，在純虛數(shù)集中沒有對應(yīng)元素，故③也是錯誤的．7．z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，假設(shè)z1為純虛數(shù)，那么az1>z2，那么a的取值集合為________．答案：eq\f(1,4)0解析：由z1為純虛數(shù)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4a＋1＝0，,2a2＋3a≠0，))∴a＝eq\f(1,4).由z1>z2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋3a＝0，,a2＋a＝0，,－4a＋1>2a，))解得a＝0.三、解答題8．m∈R，復(fù)數(shù)z＝eq\f(mm＋2,m－1)＋(m2＋2m－1)i，當(dāng)m為何值時：(1)z是實數(shù)；(2)z是虛數(shù)；(3)z是純虛數(shù)．解：(1)∵z是實數(shù)，∴m2＋2m－1＝0且m－1≠0，解得m＝－1±eq\r(2)且m≠1.∴當(dāng)m＝－1±eq\r(2)時，z為實數(shù)．(2)∵z是虛數(shù)，∴m2＋2m－1≠0且m－1≠0，解得m≠－1±eq\r(2)且m≠1.∴當(dāng)m≠－1±eq\r(2)且m≠1時，z為虛數(shù)．(3)∵z是純虛數(shù)，∴eq\f(mm＋2,m－1)＝0且m2＋2m－1≠0，解得m＝0或m＝－2且m≠－1±eq\r(2)且m≠1.∴當(dāng)m＝0或－2時，z為純虛數(shù)．9．z＝sinA＋(ksinA＋cosA－1)i，A為△ABC的一內(nèi)角．假設(shè)不管A為何值，z總是虛數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．解：∵z總是虛數(shù)，∴ksinA＋cosA－1≠0，∵A為△ABC的內(nèi)角，∴A∈(0，π)，∴sinA≠0，∴k≠eq\f(1－cosA,sinA).解法一：eq\f(1－cosA,sinA)＝eq\f(2sin2\f(A,2),2sin\f(A,2)cos\f(A,2))＝taneq\f(A,2)，其中A∈(0，π)．∵當(dāng)eq\f(A,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，taneq\f(A,2)∈(0，＋∞)，∴eq\f(1－cosA,sinA)的值域為(0，＋∞)，∴當(dāng)k≤0時，eq\f(1－cosA,sinA)≠k恒成立，即當(dāng)k≤0時，不管A為何值，ksinA＋cosA－1≠0恒成立，z總是虛數(shù)．解法二：∵eq\f(1－cosA,sinA)＝－eq\f(1,\f(sinA,cosA－1))，而eq\f(sinA,cosA－1)表示點(cosA，sinA)與點(1,0)連線的斜率，又(cosA，s