平行四邊形（含解析）-2020-2021學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊期末復(fù)習(xí)知識點（人教版）

專題03平行四邊形（含解析）

一.平行線之間的距離（共3小題）

1.平行線之間的距離是指（）

A.從一條直線上一點到另一直線的垂線段

B.從一條直線上一點到另一條直線的垂線段長度

C.從一條直線上一點到另一條直線的垂線的長度

D.從一條直線上一點到另一條直線上的一點間線段的長度

2.如圖，MNLAB,垂足為M點，MN交CD于N,過用點作MG_LC￡>,垂足為G,EF

過點N點，且所//A8,交MG于H點,其中線段的長度是到的距離,

線段MN的長度是到的距離，又是的距離，點W到直線MG的距離

3.有這樣的一個定理：夾在兩條平行線間的平行線段相等.下面經(jīng)歷探索與應(yīng)用的過程.

探索：

已知：如圖1,AD//BC,AB//CD.求證：AB=CD.

應(yīng)用此定理進(jìn)行證明求解.

應(yīng)用二、已知：如圖3,AD//BC,AC1BD,AC=4,BD=3.求：AD與8c兩條線

段的和.

直角三角形斜邊上的中線（共3小題）

4.如圖，在AABC中，ZC=90°,點。在斜邊/W上，且A￡>=C￡>,則下列結(jié)論中錯誤的

結(jié)論是（）

A.ZDCB二ABB.BC=BDC.AD=BDD.ZACD=-ABDC

2

5.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,為AC邊上的中線，過點C作CEJ_8。于點E,

過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點尸，在〃'的延長線上截取FG=BD,連接BG、

DF.若AG=10,8G=4,則b的長為.

6.如圖，在AABC中，ZACB=90°,8為AB邊上的高，CE為鉆邊上的中線，4）=2,

CE=5,則CD=

7.在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=4,D、E分別為AC、他邊上的中點,

連接。E并延長￡>E到尸，使得EF=2ED,連接3尸，則3廠長為（）

A.2B.2邪＞C.4D.473

8.如圖，在AABC中，點。、E1分別是鉆、AC的中點，AC=IO,點F是DE上一

點.DF=\.連接AF,CF.若NAFC=90。，則8c的長度為（）

A.18B.16C.14D.12

9.如圖，已知AABC中，點用是8C邊上的中點,AV平分Nfi4C,BN上AN于點、N,若

AB=8,MN=2,則AC的長為（）

10.如圖，四邊形"CD中，N4=90。，AB=2』,AD=2,點M,N分別為線段3C,

AB上的動點（含端點，但點“不與點3重合），點E,尸分別為。M,MN的中點，則

長度的最大值為（）

B

A.3B.2GC.4D.2

11.已知AABC中，AB=5,BC=6,AC=7,點￡）、E、尸分別為三邊中點，則△￡）￡■/

的周長為—.

四.平行四邊形的性質(zhì)（共4小題）

12.oA8CD中，對角線AC和BD相交于O,如果AC=10,8/）=6,AB=m,那么"的

取值范圍是（）

A.1</w<10B.2<m<8C.6<m<8D.4</n<16

13.如圖，QABCE）中，對角線AC、%）相交于點O,OELBD交AD于點E,連接BE,

若aABCD的周長為18,則MBE的周長為（）

A.8B.9C.10D.18

14.如圖，在平行四邊形AfiCD中，ZB=60°,BC=4,點￡為邊M上的一個動點，連

接￡D并延長至點F,使得DF=LDE,以EC、EF為鄰邊構(gòu)造平行四邊形EFGC,連接EG,

3

則EG的最小值為.

15.如圖，QABCD的對角線AC、處相交于點O,且OE=OF.

（1）求證：ABOE=ADOFt

（2）求證：BE//DF.

五.平行四邊形的判定（共3小題）

16.如圖，四邊形A88的對角線AC,BD交于點O,則不能判斷四邊形A8C。是平行四

邊形的是()

A.ZABC=ZADC,ADI/BCB.ZABD=NBDC,ZBAD=ZDCB

C.ZABD=ZBDC,OA=OCD.ZABC=ZADC,AB=CD

17.下列說法不正確的是()

A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

B.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

C.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

D.一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形

18.如圖，E,尸是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE,DF=BE,DFUBE.求

證：

(1)AAFDaACEB；

(2)四邊形AfiCZ)是平行四邊形.

六.平行四邊形的判定與性質(zhì)(共3小題)

19.(1)甲、乙兩個服裝廠加工同種型號的防護(hù)服，甲廠每天加工的數(shù)量是乙廠每天加工數(shù)

量的1.5倍，兩廠各加工600套防護(hù)服，甲廠比乙廠要少用4天.求甲、乙兩廠每天各加工

多少套防護(hù)服？

(2)如圖，點C,。在線段他上，CELAB,DF1AB,AC=BD,AE=BF,點、G為

AB,即的交點，求證?！辏九c即互相平分.

E

20.如圖，已知四邊形ABC￡>,AD=BC，AB=DC,對角線AC、89相交于點O,點E

是四邊形A8CD外一點.

（1）求證：AC,班?互相平分；

（2）若NAEC=NBED=90°,請判斷四邊形ABC。的形狀，并給予證明.

E

BC

21.如圖，在四邊形ABCD中，AC和3D是它的兩條對角線，點E,E分別為A￡>、BC的

中點，點M、N分別為比）、AC的中點.求證：EF與MN互相平分.

七.菱形的性質(zhì)（共3小題）

22.如圖所示，在菱形他CD中，AC、如相交于O,NABC=70。，E是線段AO上一點,

23.如圖，在菱形AfiCD中，AC與8。相交于點O,點P是■的中點，PO=2,則菱形

A88的周長是（）

A.4B.8C.16D.24

24.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、8￡）相交于點O,￡為他中點，AC=6,BD=8,

則線段OE的長為—.

八.菱形的判定（共2小題）

25.如圖，將AABC沿射線BC方向平移得到ADCE,當(dāng)AABC滿足條件時（填一個條

件），能夠判定四邊形ACED為菱形.

26.如圖，在Q/WC￡）中，點￡、尸在對角線瓦＞上，BE=DF.

（1）求證：四邊形業(yè)戶是平行四邊形：

（2）若比）平分NABC,求證：四邊形是菱形.

九.菱形的判定與性質(zhì)（共2小題）

27.如圖，四邊形438中，AB//CD,對角線AC平分NfiAZ）,且CB/MD.

（I）求證：四邊形是菱形；

(2)如果四邊形ABQ9的面積為24,AC=8,則四邊形ABC￡＞的周長為.

28.在RtAABC中，NR4c=90。，。是3c的中點，￡是AD的中點，過點A作AF//3c交

5E的延長線于點尸.

(1)證明：四邊形ADb是菱形；

(2)若AC=3,43=4,求菱形49CF的面積.

一十.矩形的性質(zhì)(共4小題)

29.如圖，在矩形中，AB=4,8C=8,對角線AC、BE＞相交于點O,過點。作。E

)

C.2.4D.2.5

30.如圖，在矩形中，4￡＞=10,AB=6,點E為8c上的一點,￡D平分ZAEC,

則8E的長為()

A.10B.8C.6D.4

31.下列結(jié)論中，菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()

A.內(nèi)角和為360。B.對角線互相平分

C.對角線相等D.對角線互相垂直

32.如圖，矩形中，AB=2,BC=4,E在邊8c上運動，M、N在對角線應(yīng))上

運動，且MV=6，連接CM、EN,則CA/+￡7V的最小值為.

一十一.矩形的判定(共3小題)

33.下列關(guān)于四邊形的說法，正確的是()

A.四個角相等的四邊形是菱形

B.對角線互相垂直的四邊形是矩形

C.有兩邊相等的平行四邊形是菱形

D.兩條對角線相等的菱形是矩形

34.如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AC、BD交于點O.

(1)若于點￡,3尸，4。于點尸，求證：AE=CF；

(2)若。O=』AC,求證：四邊形/WCD為矩形.

2

35.如圖，在AABC中，ZACB=90°,。點是AB的中點，DE、￡獷分別是ABDC、AADC

的角平分線.

(1)求NCFD的度數(shù)；

(2)求證：四邊形是矩形.

E

ADB

一十二.矩形的判定與性質(zhì)（共2小題）

36.如圖，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P為邊3c上一動點，于E,

PF_LAC于尸，"為EF中點，則AM的最小值為（）

37.已知AA8c的三邊4?=3,AC=4,BC=5,如圖，P為8c邊上一動點，PMLAB

于點M,PN工AC于■點、N.

（1）求證：四邊形AWPN是矩形；

（2）在點尸的運動過程中，MN的長度是否存在最小值？若存在，請求出最小值，若不存

在，請說明理由.

一十三.正方形的性質(zhì)（共4小題）

38.如圖，已知正方形W）的邊長為4,P是對角線加上一點，PEI/CD千點、E,PF11BC

于點尸，連接”，EF.給出下列結(jié)論：①PD=4iEC；②四邊形PECF的周長為8；③

A4PD一定是等腰三角形；④=其中正確結(jié)論的序號為（）

A.①②④B.①③④C.②④D.②③

39.如圖，點A,B,￡在同一條直線上，正方形正方形BEFG的邊長分別為6、

8,”為線段小的中點，則的長為()

A.6B.8C.6或8D.5夜

40.如圖，正方形A88和正方形CEFG中，點。在CG上，BC=1,4是AF的中點，CH=3,

那么CE的長是()

A.3B.4C.V15D.V17

41.在矩形A88中，AB=3,BC=4,動點E從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射

線3c方向運動，連接AE,以AE為邊向上作正方形A￡FG.設(shè)點E的運動時間為f(r>0).

(1)如圖1,EF與CD邊交于點、M,當(dāng)DW=E”時，求此時f的值；

(2)如圖2,當(dāng)點F恰好落在矩形任意兩個頂點的所在直線上時，請求出所有符合條件的r

的值.

圖1圖2

一十四.正方形的判定（共2小題）

42.下列說法中，正確的是（）

A.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

D.對角線互相垂直的四邊形是菱形

43.下列說法不正確的是（）

A.有一個角是直角的菱形是正方形

B.對角線互相垂直的矩形是正方形

C.四條邊都相等的四邊形是正方形

D.兩條對角線相等的菱形是正方形

一十五.正方形的判定與性質(zhì)（共3小題）

44.如圖，小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：①AB=BC,

@ZABC=90°,?AC=BD,④AC_L超＞中任選兩個作為補充條件，使口MCI）為正方

形.現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯誤的是（）

45.如圖，點E是正方形對角線AC上一點，EF1AB,EG±BC,垂足分別為產(chǎn)，

G,若正方形的周長是40（加.

（1）求證：四邊形是矩形；

（2）求四邊形EFBG的周長；

（3）當(dāng)AF的長為多少時，四邊形BFEG是正方形？

46.如圖，已知四邊形為正方形，48=3亞，點E為對角線AC上一動點，連接DE,

過點￡作防，小，交BC于點F,以DE、為鄰邊作矩形E>￡FG,連接CG.

(1)求證：矩形QEFG是正方形;

(2)探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

專題03平行四邊形（含解析）

參考答案與試題解析

平行線之間的距離（共3小題）

1.平行線之間的距離是指（）

A.從一條直線上一點到另一直線的垂線段

B.從一條直線上一點到另一條直線的垂線段長度

C.從一條直線上一點到另一條直線的垂線的長度

D.從一條直線上一點到另一條直線上的一點間線段的長度

【分析】根據(jù)平行線間的距離的定義直接進(jìn)行選擇即可.

【解答】解：平行線之間的距離是指：從一條直線上一點到另一條直線的垂線段長度.

故選：B.

【點評】本題考查了平行線間的距離的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，MNA.AB,垂足為〃點，MN交CD于N,過M點作MG_LC￡>,垂足為G,EF

過點N點，且防/MB,交MG于H點、,其中線段GM的長度是點M到的距

離，線段的長度是到的距離，又是的距離，點N到直線的距離

是

【分析】點到直線的距離是指直線外一點到這條直線的垂線段的長度，根據(jù)這一定義結(jié)合圖

形進(jìn)行填空即可.

【解答】解：線段GM的長度是點M到直線的距離；

線段MN的長度是點M到直線印的距離，又是平行線43、EF間的距離；

點N到直線MG的距離是線段GN的長度.

【點評】正確理解點到直線的距離的定義是解決此類問題的關(guān)鍵.

3.有這樣的一個定理：夾在兩條平行線間的平行線段相等.下面經(jīng)歷探索與應(yīng)用的過程.

探索：

己知：如圖1,AD//BC,AB//CD.求證：AB=CD.

應(yīng)用此定理進(jìn)行證明求解.

段的和.

【分析】探索：利用平行線的性質(zhì)得出，ZDAC=ZBCA,ZBAC=ZDCA,進(jìn)而得出

/SABCACDA(ASA),求出即可；

應(yīng)用一：作DE//AB交BC于點E,利用平行線的性質(zhì)得出々=NC;

應(yīng)用二：利用平行線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出45與3c兩條線段的和.

【解答】探索：

證明：如圖1,

連接AC,

-,-AD//BC,:.ZDAC=ZBCA

-,-AB//CD.ZBAC=ZDCA

在MBC和ACD4中，

ZBAC=ZDCA

<AC=AC,

NACB=NDAC

.-.AABC^ACDA(ASA),

/.AB=CD；

應(yīng)用一：

證明:如圖2,

作DE//AB交BC于點、E,

-.?AD//BC,

:.AB=DE

\AB=CDf

/.DE=CD?

/.ZDEC=ZC

?：DEIIAB,

:"B=ZDEC,

:"B=/C;

應(yīng)用二、

解：如圖3,

作DF//AC交BC的延長線于點F

-,-AD//BC,:.AC=DF,AD=CF,

DF11AC,ABDF=ZBEC,

.AC^BD,:.ZBDF=NBEC=90。,

在RtABDF中，由勾股定理得：BF=5,

【點評】此題主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)等知識，正

確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

二.直角三角形斜邊上的中線（共3小題）

4.如圖，在AABC中，NC=90。，點。在斜邊上，且A￡>=CD,則下列結(jié)論中錯誤的

結(jié)論是（）

A.ZDCB=ZBB.BC=BDC.AD=BDD.ZACD=-ZBDC

2

【分析】根據(jù)同角的余角相等判斷A：根據(jù)題意判斷3；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷C；

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷D.

【解答】解：?.?NC=90。，

.-.ZA+ZB=9Q°,ZACD+ABCD=90°,

.AD=CD,

:.ZA=ZACD,

:.ZB=ZBCD,A選項結(jié)論正確，不符合題意；

3c與比＞不一定相等，8選項結(jié)論錯誤，符合題意；

?;NB=NBCD,

:.BD=CD,

.AD=CD,

：.AD=BD,C選項結(jié)論正確，不符合題意；

■.?ZA=ZACD,

：.NBIX：=ZA+ZACD=2ZACD,

:.ZACD=-ZBDC,。選項結(jié)論正確，不符合題意；

2

故選：B.

【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握在

直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在RtAABC中，ZABC=90°,比）為AC邊上的中線，過點C作CE_L8。于點E,

過點A作BD的平行線,交CE的延長線于點F,在瓶的延長線上截取FG=BD,連接BG、

DF.若AG=10,BG=4,則CF的長為_2近_.

G

//\

ADC

【分析】首先可判斷四邊形8GFZ)是平行四邊形，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，

可得BD=FD,則可判斷四邊形是菱形，則GF=5,則AF=8,AC=10,在RtAACF

中利用勾股定理可求出CF的值.

【解答】解：;AG//%),BD=FG,

：.四邊形3GFD是平行四邊形，

■.CFYBD,

:.CF±AG,

又?.,瓦)為AC邊上的中線，zS4BC=90°,

:.BD=DF=-AC,

2

二四邊形3GF力是菱形，

:.BD=DF=GF=BG=4,貝UA尸=AG-G尸=10—4=6,AC=2BD=8,

?.?在RtAACF中，ZCFA=90°,

:.AF2+CF2=AC2,EP62+CF2=82,

解得：CF=2y/l.

故答案是：2出.

【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理及直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，解答本

題的關(guān)鍵是判斷出四邊形8Gm是菱形.

6.如圖，在AA8C中，ZACB=90°,8為45邊上的高，CE為45邊上的中線，4)=2,

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出四，結(jié)合圖形求出班＞,根據(jù)射影定理計算.

【解答】解：?.?NACB=90。，CE為43邊上的中線，

.\AB-2CE=10,

.-.BD=AB-AD=S,

由射影定理得，CD=qADBD=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，射影定理，在直角三角形中，斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

三.三角形中位線定理（共5小題）

7.在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°.BC=4,D、E分別為AC、AB邊上的中點,

連接。E并延長小到尸，使得EF=2ED,連接5尸，則成長為（）

A.2B.2>/3C.4D.473

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出A3,進(jìn)而求出AE、硝，根據(jù)三角形中位線定理得

到DEHBC,得到ZAED=ZAED=60°,根據(jù)等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理解答即可.

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=4,

..AB=2BC=8,ZABC=60°,

?.?E為4?邊上的中點，

:.AE=EB=4,

-：D,￡分別為AC、/R邊上的中點，

.-.DE//BC,

：.ZAED=ZAED=6O°,

:.ZBEF=ZABC=Of,

在RtAAED中，ZA=30。，

：.AE=2DE,

?;EF=2DE,

：.AE=EF,

；.MEF為等邊三角形,

:.BF=BE=4,

故選：C.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì),

掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在AA8C中，點、D、E分別是AB、AC的中點，4C=I0,點F是DE上一

點.DF=1.連接AF,CF.若NAFC=90。，則BC的長度為（）

A.18B.16C.14D.12

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出所，進(jìn)而求出DE,根據(jù)三角形中位線定理計算，得

到答案.

【解答】解：?.?NAFC=90。，點E是AC的中點，AC=10,

.?.EF=-AC=-xlO=5,

22

,;DF=\,

.-.DE=DF+EF=6,

?.?點￡＞、E分別是AB、AC的中點，

:.BC=2DE=\2,

故選：D.

【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于

第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知AABC中，點M是BC邊上的中點，AV平分N班C,BN上AN于懸N,若

AB=8,MN=2,則AC的長為（）

A.12B.11C.10D.9

【分析】延長助V交AC于。，證明=根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形中位

線定理計算即可.

【解答】解：如圖，延長8V交AC于￡>,

在A4NB和AAA?中，

.NNAB=NNAD

■AN=AN,

ZANB=NAND=90°

:.MNBMMND（ASA）,

:.AD=AB=8,BN=ND,

又是AABC的邊8c的中點，

:.MN是ABCD的中位線，

:.DC=2MN=4,

:.AC=AD+CD=S+4=12,

故選：A.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且

等于第三邊的一半.

10.如圖，四邊形A8C。中，NA=90。，AB=2g,4D=2,點M,N分別為線段8C,

45上的動點（含端點，但點M不與點3重合），點E,尸分別為。M,MN的中點，則即

長度的最大值為（）

A.3B.26C.4D.2

【分析】連接ON、DB,根據(jù)勾股定理求出即，根據(jù)三角形中位線定理得到

2

結(jié)合圖形解答即可.

【解答】解：連接￡>N、DB,

在RtADAB中，ZA=90°,AB=2+,AD=2,

：.BD=yjAD2+AB2=4,

?.?點E,尸分別為MN的中點，

:.EF=-DN,

2

由題意得，當(dāng)點N與點8重合是￡W最大，最大值為4,

防長度的最大值為2,

故選：D.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線等于第三邊的一

半是解題的關(guān)鍵.

II.已知AABC中，AB=5,BC=6,AC=7,點。、E、F分別為三邊中點，則ADEF

的周長為9.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理分別求出DE、EF、DF,根據(jù)三角形的周長公式計算即

可.

【解答】解：?.?點￡>,E分別4?、BC的中點,

:.DE=-AC=3.5,

2

同理，DF=-BC=3,EF=-AB=2.5,

22

ADEF的周長=QE+EF+￡＞尸=9,

故答案為:9.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第

三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

四.平行四邊形的性質(zhì)（共4小題）

12.aABCD^,對角線AC和雙）相交于O,如果AC=10,BD=6,AB=m,那么，〃的

取值范圍是（）

A.1</?<10B.2<m<8C.6<<8D.4</n<16

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出、OB,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到

OB-OA<m<OA+OB,代入求出即可求得的取值范圍.

【解答】解：?.?四邊形是平行四邊形，AC=IO,BD=6,

.\OA=OC=5,OD=OB=3,

在AOAB中，OB-OA<m<OA+OB,

5-3VAz2V5+3,

2<"?<8,

【點評】本題考查對平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理等知識點的理解和掌握，求

出、03后得出03-<Q4+03是解此題的關(guān)鍵.

13.如圖，口鉆8中，對角線AC、或）相交于點O,比_13￡>交4）于點￡,連接BE,

若口ABC。的周長為18,則A4BE的周長為（)

A.8B.9C.10D.18

【分析】先證EO是比）的中垂線，得出BE=ED,從而可得出AABE的周長=4?+AT>,

再由QA8CD的周長為18,即可得出答案.

【解答】解：?.?四邊形438是平行四邊形，

:.OB=OD,AB=CD,AD=BC,

?.七?8的周長為18,

AB+AD=9,

.OE±BD,

二OE是線段8。的中垂線，

:.BE=ED,

AA8E的周長=A8+5E+AE=A8+=9,

故選：B.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、線段的中垂線的性質(zhì)以及三角形周長等知識，解答

本題的關(guān)鍵是判斷出OE是線段處的中垂線.

14.如圖，在平行四邊形A8CD中，ZB=60°,8c=4,點E為邊A3上的一個動點，連

接￡?并延長至點尸，使得DF=，OE,以EC、即為鄰邊構(gòu)造平行四邊形EFGC,連接EG,

3

【分析】根據(jù)題意和平行四邊形的性質(zhì)，可以得到區(qū)）和）的比值，再根據(jù)三角形相似和

最短距離，即可得到EG的最小值，本題得以解決.

【解答】解：作于點”，

???在口ABC。中，Zfi=60。，BC=4,

CH=26

???四邊形ECGF是平行四邊形，

:.EF//CG.

:.\EOANGOC,

.EODOED

GO~~cd~GC'

???DF=-DE,

3

DE3

----=—,

EF4

ED3

---=—，

GC4

EO3

/.=—,

GO4

??.當(dāng)EO取得最小值時，EG即可取得最小值,

當(dāng)EO_LCD時，EO取得最小值，

CH=EO,

..￡0=26，

:.GO=-^，

3

/.EG的最小值是2V3+-V3=—73，

33

故答案為：—\/3.

3

【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的相似、垂線段最短，解答本題的關(guān)鍵是明確

題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

15.如圖，oABCD的對角線AC、8。相交于點O,且。石二O尸.

(1)求證：NBOE=MX)F■,

（2）求證：BE!IDF

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出03=8,由SAS證明ABOE三ADOF即可;

（2）先證明四邊形EMD是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

08=00,

在ABOE和ADOF中，

OE=OF

-NB0E=4DOF,

OB=OD

\BOE=ADOF（SAS）；

（2）連接。E、BF,

由（1）知ABOE=ADOF,

:.OB=OD,OE=OF,

：.四邊形是平行四邊形，

:.BE//DF.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四

邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

五.平行四邊形的判定（共3小題）

16.如圖，四邊形438的對角線AC,BD交于點、O,則不能判斷四邊形ABCD是平行四

邊形的是（）

A

D

//

----^C

A.ZABC=ZADC,AD//BCB.ZABD=^BDC,ABAD=ZDCB

C.ZABD=ZBDC,OA=OCD.ZABC=ZADC,AB=CD

【分析】利用所給條件結(jié)合平行四邊形的判定方法進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A、；AD/IBC,

NABC+NBM>=180。，

?/ZABC=ZAZX?,

/.ZAZ）C+ZBAD=180o,

：.AB//CD,

???四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項不合題意；

B、?.?ZABD=NBDC,NBAD=/DCB,

：.ZADB=NCBD,

：.AD//CB,

???ZABD=ZBDC,

.?.ABI/CD,

.??四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項不合題意；

C、\ZABD=ZBDC,OA=OC,

又ZAOB=/COD,

:.^AOB=ACOD（AAS）t

:.DO=BO,

???四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不合題意；

D、ZABC=ZADC,/W=CD不能判斷四邊形ABC。是平行四邊形，故此選項符合題意;

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握（1）兩組對邊分別平行的四邊形

是平行四邊形.（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.（3）一組對邊平行且相等的

四邊形是平行四邊形.(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.(5)對角線互相平分

的四邊形是平行四邊形.

17.下列說法不正確的是()

A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

B.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

C.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

D.一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形

【分析】由平行四邊形的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A、?.?兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，

選項A不符合題意；

3、?.?一組時邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，

，選項B符合題意；

C、?.?一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，

，選項C不符合題意；

?一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，

選項。不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，E,尸是四邊形/WCD的對角線AC上兩點，AF=CE,DF=BE,DFUBE.求

證：

(1)MFD三NCEB；

(2)四邊形他CD是平行四邊形.

【分析】(1)利用兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩三角形全等(SAS),這一判定定理容易證

(2)由AAFD三容易證明AQ=8C且AQ//BC,可根據(jù)一組對邊平行且相等的四

邊形是平行四邊形.

【解答】證明：（1）-.-DF//BE,

；.ZDFE=ZBEF.

在AADF和ACBE中,

DF=EB

<ZDFA=ZBEC,

AF=CE

:.^FD^ACEB(SAS)；

(2)由(1)知AAFZ)三ACE3,

.-.ZDAC=ZBCA,AD=BC,

：.AD//BC.

：.四邊形ABCD是平行四邊形.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判

定定理是解題的關(guān)鍵.

六.平行四邊形的判定與性質(zhì)（共3小題）

19.（1）甲、乙兩個服裝廠加工同種型號的防護(hù)服，甲廠每天加工的數(shù)量是乙廠每天加工數(shù)

量的1.5倍，兩廠各加工600套防護(hù)服，甲廠比乙廠要少用4天.求甲、乙兩廠每天各加工

多少套防護(hù)服？

（2）如圖，點C,。在線段/W上，CEA.AB,DFA.AB,AC=BD,AE=BF,點G為

AB,所的交點，求證CD與EF互相平分.

【分析】（1）設(shè)乙廠每天加工x套防護(hù)服，則甲廠每天加工1.5x套防護(hù)服，根據(jù)“兩廠各加

工600套防護(hù)服，甲廠比乙廠要少用4天”列出分式方程解答即可；

(2)連接CF、DE,易證CE//DF,由此證得AACE三ABDF,得出CE=OF,則四邊

形CFE應(yīng)為平行四邊形，即可得出結(jié)論.

【解答】(1)解：設(shè)乙廠每天加工x套防護(hù)服，則甲廠每天加工1.5x套防護(hù)服，

由題意得：600_629.=4,

x1.5%

解得：x=50,

經(jīng)檢驗：x=5O是所列方程的解，

/.1.5x=75,

答：甲廠每天加工75套防護(hù)服，乙廠每天加工50套防護(hù)服；

(2)證明：連接CF、DE,如圖所示：

.CEA.AB,DFLAB,

:.CE//DF,ZACE=ZBDF=90°,

在RtAACE與RtABDF中，

\AC=BD

[AE=BF'

:.^CE=\BDF(HL),

：.CE=DF,

：.四邊形CFDE為平行四邊形，

.?.8與防互相平分.

【點評】本題考查分式方程的應(yīng)用、平行線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形

的判定與性質(zhì)等知識；正確分析題意找到合適的數(shù)量關(guān)系和熟練掌握平行四邊形的判定是解

決問題的關(guān)鍵.

20.如圖，已知四邊形A8C￡>,AD=BC,AB=DC,對角線AC、3D相交于點O,點E

是四邊形43co外一點.

（1）求證：AC、如互相平分；

（2）若NAEC=NBED=90°,請判斷四邊形ABCZ）的形狀，并給予證明.

E

BC

【分析】（1）證四邊形A88是平行四邊形，即可得出結(jié)論；

（2）由（1）得：四邊形ABCD是平行四邊形，則。4=OC,OB=OD,再由直角三角形

斜邊上的中線性質(zhì)得OE=，AC,OE=-BD,則AC=M,即可得出結(jié)論.

22

【解答】（1）證明：?.,AO=8C,AB^DC,

：.四邊形/WCZ）是平行四邊形，

:.AC>互相平分；

（2）解：四邊形438是矩形，證明如下：

連接OE，如圖所示：

由（1）得：四邊形ABC￡>是平行四邊形，

:.OA=OC,OB=OD,

?.■ZAEC=ZBED=90°,

:.OE=-AC,OE=-BD,

22

.e.AC=BD9

平行四邊形ABCD是矩形.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)

等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在四邊形A8CD中，AC和應(yīng)）是它的兩條對角線，點E,尸分別為A。、8c的

中點，點M、N分別為BD、AC的中點.求證：b與MN互相平分.

【分析】連接ME、MF、NE、NF,證出ME是的中位線，由三角形中位線定理

得出ME〃相，同理叱//8,ENUCD,FN//AB,再證出ME〃/W,MFHEN,則

四邊形￡M/W是平行四邊形，即可得出結(jié)論.

【解答】證明：連接ME、MF、NE、NF,如圖所示：

：E,M分別是A￡>,或>的中點，

.?.ME是的中位線，

:.ME//AB,

同理：MFUCD,EN//CD,FN//AB,

:.ME//FN,MF//EN,

：.四邊形EMFN是平行四邊形，

,印與互相平分.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理等知識；熟練掌握三角形

中位線定理，證明四邊形項ffW為平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

七.菱形的性質(zhì)（共3小題）

22.如圖所示，在菱形A3CD中，AC,加）相交于O,ZABC=70°,E是線段AO上一點，

則NBEC的度數(shù)可能是（）

A.100°B.70°C.50°D.20°

【分析】由菱形的性質(zhì)可得NABO=35。，AC±BD,可得44c=55。，由三角形的外角

性質(zhì)可求解.

【解答】解：?.,四邊形ABCD是菱形，ZABC=70°,

.-.ZABO=35°,AC.LBD,

ABAC=55°,

ZBEC=ZBAC+ZABE,

.?.55啜區(qū)BEC90°,

故選：B.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練運用菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

23.如圖，在菱形/WCD中，AC與相交于點O,點P是的中點，PO=2,則菱形

ABC￡）的周長是（）

A.4B.8C.16D.24

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC,3D,M=3C=8=4）,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)

可得AB=2OP,進(jìn)而得到他長，然后可算出菱形ABCD的周長.

【解答】解：?.?四邊形/WCD是菱形，

：.ACLBD,AB=BC=CD=AD,

?.?點P是43的中點，

.-.AB=2OP,

-.PO=2,

:.AB=4,

二.菱形ABC。的周長是：4x4=16,

故選：C.

【點評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對角線互相垂直，四邊相等,

此題難度不大.

24.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、3。相交于點O,E為他中點，AC=6,BD=8,

則線段O￡的長為-

-2-

【分析】由菱形的性質(zhì)可得。4=OC=3,OB=OD=4,AOA.BO,由勾股定理求出49,

再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【解答】解：?.?四邊形ABCD是菱形，AC=6,BD=8,

:.OA=OC=3,OB=OD=4,AOA.BO,

在RtAAOB中，由勾股定理得：AB=^OA2+OB2=732+42=5,

???E為AB中點,

:.OE=-AB=-

22

故答案為：—.

2

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；熟練掌

握菱形對角線互相垂直且平分的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

八.菱形的判定（共2小題）

25.如圖，將AABC沿射線8c方向平移得到ADCE,當(dāng)AABC滿足條件_AC=8C_時（填

一個條件），能夠判定四邊形HCTO為菱形.

【分析】由題意可證四邊形ACED是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定，可得滿足條件.

【解答】解：AABC滿足條件為AC=BC

???將AABC沿射線8C方向平移得到/SDCE

AD=CE,ADIICE

四邊形AC。是平行四邊形

\AC=BC

，平行四邊形ACED是菱形.

故答案為AC=BC

【點評】本題考查了菱形的判定，平移的性質(zhì)，熟練運用平移的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

26.如圖，在口A8CD中，點E、尸在對角線應(yīng))上，BE=DF.

(1)求證：四邊形血戶是平行四邊形；

(2)若83平分NABC,求證：四邊形AEB是菱形.

BC

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得。4=OC,OB=OD,再證。E=。e，即可得出結(jié)論;

(2)根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可證明.

【解答】證明：(1)如圖，連接AC,與皮)相交于點O,

四邊形AfiCD是平行四邊形，

:.OA-OC,OB=OD,

.BE=FD,

:.OB-BE=OD-DF,即OE=O尸.

四邊形AEC尸是平行四邊形；

(2)?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD//BC,

:.ZADB=ZDBC,

?.,如平分ZAfiC,

:.ZABD=ADBC,

:.ZABD=ZADB,

.\AB=AD,

.??平行四邊形ABC。是菱形，

ACVBD,

即ACJLEF;

由（1）得：四邊形AECF是平行四邊形,

.?.四邊形業(yè)戶是菱形.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知

識；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

九.菱形的判定與性質(zhì)（共2小題）

27.如圖，四邊形中，AB//CD,對角線AC平分NS4Z）,且CB//AD.

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）如果四邊形48（%＞的面積為24,AC=8,則四邊形ABC。的周長為20.

【分析】（1）先證四邊形/W8是平行四邊形，再證AD=CD,即可得出結(jié)論；

（2）連接皮）交47于O,由菱形的性質(zhì)得A5=8C=CD=AD,OA=OC=-AC=^,

2

OB=OD,ACLBD,再由菱形的面積求出比＞=6,則O3=OD=3,然后由勾股定理求

出AB=5,即可求解.

【解答】（1）證明：?.,A8//8,CB//AD,

：.四邊形/WCD是平行四邊形，

?.?AC平分

:.ZBAC=ZDAC,

?/AB//CD,

ZBAC=ZACD,

.\ZDAC=ZACD,

:.AD=CD,

???平行四邊形ABC。是菱形；

（2）連接班）交AC于O,如圖所示：

由（1）得：四邊形A8CD是菱形，

:.AB=BC=CD=AD,OA=OC」AC=