5.12-較復(fù)雜的容斥原理

12. 包含與排除——較復(fù)雜的容斥原理學(xué)習(xí)目標(biāo):理解并掌握容斥原理，掌握韋恩圖的畫法。利用方法解決不同類型的容斥問題。培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，提升能力。教學(xué)重點:理解并掌握容斥原理，掌握韋恩圖的畫法。教學(xué)難點：有三類事物時，對韋恩圖的理解。能夠獨立分析這類問題。教學(xué)過程：一、情境體驗公主迎來自己20歲的生日，國王想在生日晚會上為公主選一位駙馬，但是來自各國求婚的王子很多，他們都各有本領(lǐng)，于是國王聽宰相的建議向王子們提出了幾點要求，可是滿足要求的有多少人呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的問題——較復(fù)雜的容斥原理（板書課題）二、思維探索（建立知識模型）展示例1例1：一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？點生讀題師：至少有一門得滿分是什么意思？生：只有語文得滿分，只有數(shù)學(xué)得滿分，以及語文和數(shù)學(xué)都得滿分的人全部加起來。師：說的很好，因為涉及的量有3個，我們可以畫圖來表示（展示ppt中例1方法一）。師：老師只畫了兩個圓，兩門都得滿分的人應(yīng)該怎樣表示呢？生：數(shù)學(xué)得滿分的人包括只有數(shù)學(xué)得滿分和兩門都得滿分的，語文也是一樣。師：所以可以如圖中所示，現(xiàn)在這樣表示你會做了嗎？生：只有數(shù)學(xué)得滿分的有15－4＝11（人），同理只有語文得滿分的有8人，最后把3個量的人數(shù)加起來為23人。師：除了這個方法，你還能想出別的方法嗎？（點生回答，介紹方法二、方法三）師：今天我們重點學(xué)習(xí)方法三，既然有兩門都得滿分的，我們讓兩個圓相交，這樣畫可不可以？（如下圖，引導(dǎo)學(xué)生說出三個部分各表示什么意思）師：這個方法叫做韋恩圖，題目讓我們求的是圖中哪部分？生：整個圖形。師：怎么算你知道了嗎？生：兩個圓各自的人數(shù)加起來，因為4多加了一次，所以最后減4。師：大家掌握的都很快。小結(jié)：如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類或B類元素個數(shù)=A類元素個數(shù)+B類元素個數(shù)—既是A類又是B類的元素個數(shù)。展示例2例2：榆樹園小學(xué)五（1）班許多同學(xué)參加了學(xué)習(xí)小組。已知參加語文學(xué)習(xí)小組的有35人，參加數(shù)學(xué)小組的有32人，參加英語小組的有45人，同時參加語文和數(shù)學(xué)小組的有10人，同時參加語文和英語小組的有12人，同時參加數(shù)學(xué)和英語小組的有15人，三個學(xué)習(xí)小組都參加的有5人。問這個班一共有多少學(xué)生參加了學(xué)習(xí)小組？師：題目比較長，同學(xué)們先仔細讀題，想一想能用剛才學(xué)習(xí)的方法嗎？生：應(yīng)該可以，不過剛才有兩類事物，現(xiàn)在有三類，不知道該怎么畫圖。（展示ppt，引導(dǎo)學(xué)生理解圖如何畫，每個部分表示什么意思，并點生回答進行鞏固）師；現(xiàn)在來看題目問的是什么問題？生：一共有多少學(xué)生參加了學(xué)習(xí)小組。師：注意是求參加學(xué)習(xí)小組的學(xué)生有多少人，是圖中的哪部分呀？生：整個圖形。師：我們一起來看應(yīng)該如何計算。如果把三個圓的人數(shù)都加起來對嗎？生：不對，有重復(fù)加的部分，還需要減去兩兩相交的部分。師：這樣做完了嗎？想一下三個都相交的部分該如何處理？生：還要加上三個都相交的部分。小結(jié)：如果被計數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類或B類或C類元素個數(shù)=A類元素個數(shù)+B類元素個數(shù)+C類元素個數(shù)－既是A類又是B類的元素個數(shù)－既是A類又是C類的元素個數(shù)－既是B類又是C類的元素個數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個數(shù)。三、思維拓展（知識模型的運用）展示例3例3：六（1）班有學(xué)生44人，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有34人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有18人，排球、游泳都參加的有14人。三項都參加的有多少人？師：看完題目你會做嗎？跟例2一樣嗎？生：題目條件類似，但問題不同。師：你能畫圖來表示嗎？（點生演板，確定畫圖正確，點生回答各部分的意思）師：根據(jù)例2所學(xué)的方法，你能做出這道題嗎？（做幾分鐘，出示公式）師：A或B或C是不是44人，為什么？生：是44人，因為每人暑假里都參加了體育訓(xùn)練隊。師：非常好，這里審題時一定要注意，否則容易出錯。（列式計算）展示例4短跑游泳投擲短跑、游泳短跑、投擲游泳、投擲短跑、游泳、投擲1718156652例4：某班的全體學(xué)生在進行了短跑、游泳、投擲三個項目的測試后，有4名學(xué)生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一項達到了優(yōu)秀，達到了優(yōu)秀的這部分學(xué)生情況如下表：這個班的學(xué)生共有多少人？師：試著畫一下韋恩圖。（檢查學(xué)生畫圖情況）師：整個圖形表示的人數(shù)是什么？是不是全班總?cè)藬?shù)？生：不是，表示的是至少有一項達到優(yōu)秀的人數(shù)。師：所以一定要認真審題，圖形可以變一下（如下圖，點生回答）師：達到優(yōu)秀的學(xué)生有多少？生：35人。師：全班人數(shù)怎么求？生：35+4=39（人）。小結(jié)：容斥原理一定要認真審題，畫出正確的韋恩圖。四、融會貫通（知識模型的拓展）展示例5例5：邊長分別為10厘米、8厘米和4厘米的三塊正方形紙片放在桌面上，它們蓋住的面積是多少平方厘米？師：看完題目有什么樣的感覺？生；很繁瑣，跟前面的例題相同又好像有區(qū)別。師：既然今天學(xué)習(xí)容斥原理，那么肯定和剛才的方法有關(guān)。師：我們來類比一下，這里有幾個正方形？生：三個。師：它們是怎樣放在桌面上的？生：有不重疊的部分，有兩兩重疊的部分，還有三個都重疊的部分。師：說的非常好，那么和前面有相同嗎？生：噢，我知道了，是一樣的，把三個正方形的面積加起來，減去兩兩重疊的面積，再加上三個都重疊的面積。師：非常聰明，我們一起來看一下，是不是每個部分的面積都求的出。為了方便，最大的正方形記作A，中等的記作B，最小的記作C。（點生回答）五、總結(jié)1.如果被計數(shù)的事物有A、B兩類，那么，A類或B類元素個數(shù)=A類元素個數(shù)+B類元素個數(shù)—