第三節(jié)向量的數(shù)量積(要點(diǎn)歸納夯實基礎(chǔ)練)

第三節(jié)向量的數(shù)量積【要點(diǎn)歸納】一、向量的夾角定義圖示范圍共線與垂直已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是a與b的夾角設(shè)θ是a與b的夾角，則θ的取值范圍是0°≤θ≤180°若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直二、平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cos__θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘積三、向量數(shù)量積的運(yùn)算律1．a(chǎn)·b＝b·a；2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c.四、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))五、常用結(jié)論1．兩向量a與b為銳角?a·b＞0且a與b不共線．2．兩向量a與b為鈍角?a·b＜0且a與b不共線．3．(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.4．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.5．a(chǎn)與b同向時，a·b＝|a||b|.6．a(chǎn)與b反向時，a·b＝－|a||b|.【夯實基礎(chǔ)練】1．(2022?高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理))已知向量滿足，則()A． B． C．1 D．2【解析】∵，又∵∴9，∴。故選：C.【答案】C2．(2022?吉林省吉林模擬)已知向量，則與向量垂直的單位向量的坐標(biāo)為(

)A． B．C．或 D．或【解析】易知是與垂直的向量，，所以與平行的單位向量為或，故選：D．【答案】D3．(2022?湖南師大附中三模)藝術(shù)家們常用正多邊形來設(shè)計漂亮的圖案，我國國旗上五顆耀眼的正五角星就是源于正五邊形，正五角星是將正五邊形的任意兩個不相鄰的頂點(diǎn)用線段連接，并去掉正五邊形的邊后得到的圖形，它的中心就是這個正五邊形的中心.如圖，設(shè)O是正五邊形ABCDE的中心，則下列關(guān)系錯誤的是(

)A． B．C． D．【解析】對于A，，故A正確，對于B：因為，，所以，故B正確，對于C：由題意是的外心，不是的重心設(shè)中點(diǎn)為，則，，故C錯誤，對于D：，故D正確．故選：C【答案】C4．(2022?重慶一中高三第三次月考)(多選)已知平面向量，，則下列命題中正確的有()A． B．C． D．【解析】對于A，由于向量不能比較大小，故A錯誤；對于B，∵，∴，故B正確；對于C，∵，∴不成立，故C錯誤；對于D，∵，故D正確．故選：BD．【答案】BD5．(2022?重慶市第八中學(xué)高三第四次調(diào)研檢測)(多選)四邊形ABCD為邊長為1的正方形，M為邊CD的中點(diǎn)，則()A． B． C． D．【解析】如圖，A：，故A錯誤；B：，故B正確；C：，故C錯誤；D：，由，得，所以，故D正確.故選：BD【答案】BD6．(2022?重慶市第八中學(xué)高三第三次調(diào)研檢測)(多選)已如正三角形的邊長為，設(shè)為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．與的夾角為 B．C． D．【解析】因為與的夾角為，故A錯誤；因為為的中點(diǎn)，所以,故B正確；因為，故C不正確；因為，在等邊三角形中，，所以，故D正確.故選：BD【答案】BD7．(2022?重慶市第八中學(xué)高三(下)第二次調(diào)研檢測)已知，為單位向量，且，則，的夾角為()A． B． C． D．【解析】把左右兩邊同時平方得：，由于，為單位向量，.故，的夾角為.故選：C.【答案】C8．(2022?重慶市第八中學(xué)高三第五次月考)設(shè)向量，，則與夾角的余弦值為()A． B． C． D．【解析】，.故選：B.【答案】B9．(2022?四川省樹德中學(xué)高三(下)開學(xué)考試)已知向量，若，則()A． B． C． D．5【解析】由題意可得，解得，所以，因此．故選：D【答案】D10．(2022?四川省南充高級中學(xué)高三第一次月考)已知是相互垂直的單位向量，與共面的向量滿足則的模為()A． B． C． D．【解析】是相互垂直的單位向量，不妨設(shè)，，設(shè)，由可得，即，則的模為.故選：D【答案】D11．(2022?四川省成都市石室中學(xué)高三二模)已知向量和的夾角為，，，則()A． B．C． D．【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則和數(shù)量積的定義，可得．故選：B.【答案】B12．(2022?四川省成都市第七中學(xué)高三(下)開學(xué)考試)已知向量，滿足，則()A． B． C．3 D．7【解析】由得，解之得，則，故選：A【答案】A13．(2022?遼寧省大連市第二十四中學(xué)等校高三聯(lián)合模擬)已知單位向量和滿足，則與的夾角為()A． B． C． D．【解析】由題設(shè)，，則，∴，又和為單位向量，∴，又，∴.故選：B【答案】B14．(2022?江蘇省蘇州中學(xué)等四校高三(下)期初聯(lián)合檢測)在△ABC中，AB＝4，AC＝2點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，則()A．－6 B．6 C．－12 D．12【解析】∵，，∴，∴,又，∴，故選：B.【答案】B15．(2022?吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)等五校高三聯(lián)考)已知向量，滿足，，且與的夾角為，則()A．6 B．8 C．10 D．12【解析】由題設(shè)，.故選：B.【答案】B16．(2022?湖南省衡陽市第八中學(xué)高三第五次月考)設(shè)向量，，則與夾角的余弦值為()A．0 B． C． D．1【解析】，則.故選：B【答案】B17．(2022?黑龍江省高三(下)校際聯(lián)合考試)已知，，且，，則的坐標(biāo)為()A．(1，2) B．(－1，2) C．(1，－2) D．(－1，－2)【解析】，B選項向量與不平行，同理C選項向量與不平行，又，A選項也不合題意，只有D滿足題意．故選：D.【答案】D18．(2022?河北省衡水中學(xué)高三三模)已知向量，的夾角為，，，則()A．2 B． C． D．【解析】由，得，由，得，從而有，即．故選：A【答案】A19．(2022?海南省嘉積中學(xué)高三(下)四校聯(lián)考)平面向量滿足，且，則()A． B．13 C． D．21【解析】由得：，所以，其中，故.故選：A【答案】A20．(2022?安徽省六安一中高三第四次月考)已知向量滿足，則在方向上的投影為()A．1 B． C． D．【解析】由，，代值運(yùn)算得，故在方向上的投影為.故選：D【答案】D21．(2022?江蘇蘇州模擬)在中，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在線段上，且滿足，交于F，設(shè)，，則(

)A． B． C． D．【解析】設(shè)，，因為所以有，因此，因為，，，所以，故選：B【答案】B22．(2022?云南師大附中模擬)已知向量，，若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為(

)A． B．C． D．【解析】因為，又與的夾角為鈍角，當(dāng)與共線時，，所以且與的不共線，即且，所以，故選：D．【答案】D23．(2022?廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三(上)第三次月考)在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，滿足，若，，則=()A． B．C． D．【解析】因為，所以，【答案】A24．(2022?山東省青島市高三(上)期中)在中，，P為邊AC上的動點(diǎn)，則的取值范圍是()A． B．[12，16]C． D．【解析】因為P在AC上，所以，其中，則，因為，所以.【答案】B25．(2022?山東省威海市文登區(qū)高三(上)期中)向量旋轉(zhuǎn)具有反映點(diǎn)與點(diǎn)之間特殊對應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)方面有重要應(yīng)用．平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點(diǎn)的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢，已知對任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為()A． B． C． D．【解析】，，，點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時針方向旋轉(zhuǎn)等價于點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，，.【答案】C26．(2022?高考全國甲卷數(shù)學(xué)(文))已知向量．若，則______________．【解析】由題意知：，解得.故答案為：.【答案】##27．(2022?黑龍江省哈三中第五次驗收)已知向量、滿足，，，則___________.【解析】.故答案為：.【答案】28．(2022?四川省成都市石室中學(xué)高三一模)已知向量，，且，則

________.【解析】根據(jù)題意，向量，，則，由，可得，解得.故答案為：8.【答案】829．(2022?陜西省西安中學(xué)高三二模)已知單位向量，滿足，則與的夾角為________.【解析】由單位向量，滿足，可得，又因為，可得，設(shè)向量與的夾角為，且，因為，所以.故答案為：.【答案】30．(2022?陜西省西安市高新第一中學(xué)高三第八次大練習(xí))已知向量、滿足，，，則___________.【解析】.故答案為：.【答案】31．(2022?遼寧省名校高三第四次聯(lián)考)已知是的外心，且，則__________.【解析】如圖：取的中點(diǎn)D，連接，因為是的外心，所以，所以，故答案為：.【答案】32．(2022?江蘇省蘇州中學(xué)等四校高三(下)期初聯(lián)合檢測)已知，且，，則向量與的夾角為________．【解析】設(shè)向量與的夾角為，則，∵，∴，∴，即，又，，∴，∴.故答案為：.【答案】##120°33．(2022?黑龍江省哈三中高三二模)已知向量滿足：，與的夾角為，則__________.【解析】因為，所以，又且與夾角為，所以，所以，故答案為：【答案】34．(2022?河南省鶴壁高中高三七模)已知，則___________.【解析】因為，所以，而，所以，即，解得.故答案為：4.【答案】435．(2022?河北省衡水中學(xué)高三一模)已知向量與的夾角為，且，，設(shè)，，則向量在方向上的投影向量的模為________．【解析】在方向上的投影向量的模為．故答案為：【答案】36．(2022?福建省漳州第一中學(xué)高三第五次階段考)已知，與的夾角為60°，則在上的投影為____