第10講指數(shù)（解析版）

第10講指數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解n次方根、n次根式的概念.2.能正確運(yùn)用根式運(yùn)算性質(zhì)化簡求值.3.通過對(duì)有理數(shù)指數(shù)冪(a>0且a≠1，m，n為整數(shù)，且n>0)、實(shí)數(shù)指數(shù)冪ax(a>0，且a≠1，x∈R)含義的認(rèn)識(shí)，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一n次方根，n次根式(1)a的n次方根的定義一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示求解a的n次方根時(shí)要注意對(duì)n的奇偶性討論n的奇偶性a的n次方根的表示符號(hào)a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)(3)根式式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).知識(shí)點(diǎn)二根式的性質(zhì)(1)負(fù)數(shù)沒有偶次方根.(2)0的任何次方根都是0，記作eq\r(n,0)＝0.(3)(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).(4)eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù)).(5)eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù)).知識(shí)點(diǎn)三分?jǐn)?shù)指數(shù)冪根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化是化簡的重要依據(jù)(1)規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.知識(shí)點(diǎn)四有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)記憶口訣：乘相加，除相減，冪相乘(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q).(2)拓展：eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q).知識(shí)點(diǎn)五無理數(shù)指數(shù)冪實(shí)數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：由根式的意義求范圍例1．，則實(shí)數(shù)a的取值范圍_________

【答案】【解析】【分析】由二次根式的化簡求解【詳解】由題設(shè)得，，所以所以，．故答案為：考點(diǎn)二：利用根式的性質(zhì)化簡或求值例2．計(jì)算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【解析】【分析】本題應(yīng)用，為奇數(shù)，進(jìn)行整理計(jì)算．(1)(2)考點(diǎn)三：有限制條件的根式的化簡例3．已知，化簡：_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)根式與指數(shù)冪的互化即可求出結(jié)果.【詳解】，．故答案為：．考點(diǎn)四：根式與指數(shù)冪的互化例4．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式：(1)＝____;

(2)＝____；(3)＝____;

(4)＝____；(5)＝____.【答案】

##

【解析】【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.【詳解】（1）；（2）=；（3）=；（4）；（5）故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.考點(diǎn)五：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值例5．化簡（式中字母都是正數(shù)）：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）同底數(shù)冪的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算；（2）把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.(1)(2)考點(diǎn)六：整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪例6．已知，求下列各式的值：①；②．【解析】①將兩邊平方，得．即．②將兩邊平方，得，即．【真題演練】1．化簡(a>0)等于（

）A．6a B．－aC．－9a D．9a2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】故選：C2．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定根式，結(jié)合其變形及結(jié)果列式計(jì)算作答.【詳解】因，則有，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D3．已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，，，，，..又，，，.故選：D4．有下列四個(gè)式子：①；②；③；④其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用公式進(jìn)行求解.【詳解】①正確；②，②錯(cuò)誤；③，③錯(cuò)誤；④，若，則，若，則，故④錯(cuò)誤．故選：A5．若，，則的值為（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用根式的性質(zhì)直接計(jì)算即可得解.【詳解】依題意，，，則，所以的值為1.故選：A6．若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將分式指數(shù)冪化為根式，結(jié)合根式的性質(zhì)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可知，，所以，即，因此的取值范圍是．故選：C.7．若，，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】【分析】由求出，結(jié)合指數(shù)冪公式可分別求出，進(jìn)而得解.【詳解】由，，得，，，．故．故選：C8．計(jì)算：(1)()2＝____；(2)()3＝___；(3)＝____;

(4)＝___；(5)＝_____

(6)＝____；(7)＝____;

(8)＝____.【答案】

11

-8

2

##

3

##1.5

【解析】【分析】（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；（3）化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算；（4）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；（5）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；（6）化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算；（7）化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算；（8）化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.故答案為：11；-8；；2；；3；；9．已知，則________.【答案】【解析】【分析】通過平方，得兩式的轉(zhuǎn)化關(guān)系，，從而得，再由，開方即可求得.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以故答案為?10．計(jì)算：．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用根式及指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算作答.【詳解】原式=.【過關(guān)檢測】一、單選題1．的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可.【詳解】．故選：A2．已知（），則的值等于（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】對(duì)其（）兩邊平方，可知，又，即可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由（），得，因?yàn)?，故．又，且，所以．于是．故選:D.3．化簡(其中，)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再借助冪的運(yùn)算法則計(jì)算即得.【詳解】因，，所以.故選：C4．下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是（

）A．（） B．C．（） D．（）【答案】C【解析】【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化公式逐個(gè)判斷即可.【詳解】A中，（），故A錯(cuò)誤；B中，，故B錯(cuò)誤；C中，（），故C正確；D中，（），故D錯(cuò)誤．故選：C．5．若有意義，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根式、冪的定義判斷．【詳解】由題意可知，且，∴a的取值范圍是且．故選：B．6．化簡的結(jié)果為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用平方差公式結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可【詳解】因?yàn)椋?，，，，所以原?故選：B7．若代數(shù)式有意義，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由有意義求出的取值范圍，然后根據(jù)根式的運(yùn)算性質(zhì)化簡計(jì)算即可得答案【詳解】由有意義，得解得．所以所以．故選：B．8．已知，下列各式中正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)完全平方和公式，立方和公式分別計(jì)算即可求解.【詳解】①,正確；②，正確；③因?yàn)榭芍?，，，所以，故錯(cuò)誤；④，正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方和公式，立方和公式，屬于容易題.二、多選題9．[多選題]下列各式運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則逐一考查所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】逐一考查所給的選項(xiàng)：A．，故A正確；B．，故B正確；C．，故C錯(cuò)誤；D．，故D正確．故選：ABD．10．[多選題]下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A． B．（）C．（） D．（）【答案】CD【解析】【分析】利用指數(shù)冪的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋ǎ?，而（），故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椋ǎ?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，（），故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，（），故D正確．故選:CD11．（多選題）已知，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】由，所以A正確；由，所以B正確；由，因?yàn)?，，所以，所以C錯(cuò)誤；由，所以D正確．故選：ABD．三、填空題12．設(shè)，則___________.【答案】4【解析】【分析】由根式與有理數(shù)指數(shù)冪的關(guān)系，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，求值即可.【詳解】由.故答案為：4.13．若，則________.【答案】【解析】【分析】由題意列方程組，求解，然后代入計(jì)算即可得答案.【詳解】∵，，且，∴，∴故答案為：四、解答題14．計(jì)算下列各式：(1).(2).(3)已知，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】(1)利用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則直接計(jì)算作答.(2)利用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則結(jié)合單項(xiàng)式的除法法