第09講圓的方程（原卷版）

第9講圓的方程【知識點梳理】（1）圓的定義在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓（2）圓的標準方程設(shè)圓心的坐標，半徑為，則圓的標準方程為：（3）圓的一般方程圓方程為，圓心坐標：，半徑：=1\*GB3①的系數(shù)相同，方程中無項=2\*GB3②對于的取值要求：當時，方程只有實數(shù)解．它表示一個點當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．=3\*GB3③二元二次方程，表示圓的充要條件是=4\*GB3④以為直徑端點的圓的方程為（4）幾種特殊位置的圓的方程條件方程形式標準方程一般方程圓心在原點過原點圓心在軸上圓心在軸上圓心在軸上且過原點圓心在軸上且過原點與軸相切與軸相切（5）確定圓心的位置：=1\*GB3①圓心在過切點且與切線垂直的直線上．=2\*GB3②圓心在圓的任意弦的垂直平分線上．=3\*GB3③兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線．（6）求圓方程的方法=1\*GB3①幾何法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程=2\*GB3②待定系數(shù)法=1\*ROMANI根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；=2\*ROMANII根據(jù)條件列出關(guān)于或的方程組；=3\*ROMANIII解出或，代入標準方程或一般方程=3\*GB3③相關(guān)點法（代入法）若所求軌跡上的動點與另一個已知曲線上的動點存在著某種聯(lián)系，可設(shè)點，用點P的坐標表示出來點，然后代入曲線方程，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點法（或稱代入法）．=4\*GB3④換元法（參數(shù)方程法）若圓心為點，半徑為，則可將圓上的點換元為為．其中為參數(shù)，．知識點七阿波羅尼斯圓設(shè)為平面上相異兩定點，且，為平面上異于一動點且（且）則點軌跡為圓；特別的當，軌跡為中垂線；（7）阿波羅尼斯圓性質(zhì)：①阿波羅尼斯圓圓心在直線上，圓心為，；②阿波羅尼斯圓上任一點P都滿足（且）；③設(shè)阿波羅尼斯圓直徑兩端點分別為，則分別是線段的內(nèi)分點和外分點，且，（且）：分別是的內(nèi)角和外角平分線，且．題型目錄：題型一：圓的標準方程題型二：圓的一般方程題型三：由圓的定義及方程求參數(shù)題型四：阿波羅尼斯圓（阿氏圓）題型五：二次函數(shù)與圓的交匯問題【典型例題】題型一：圓的標準方程【例1】（浙江高二期末）圓的圓心坐標和半徑分別是（）A．(-1，0)，3B．(1，0)，3C．D．【例2】（2022·貴州·高二學業(yè)考試）圓心在坐標原點，半徑為2的圓的標準方程是（）A．B．C．D．【例3】（2020·北京十五中高二期中）經(jīng)過三個點的圓的方程為（）A．B．C．D．【例4】（2023·全國·高三專題練習）已知圓關(guān)于直線（，）對稱，則的最小值為（）A．B．9C．4D．8【例5】（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（）A．B．C．1D．【例6】（2022·全國·高二專題練習）過點，且圓心在直線上的圓的方程為_______．【例7】（2021·福建寧德·高二期中）蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔米需用一根支柱支撐，則與相距米的支柱的高度是（

）米.（注意：≈）A．6.48B．5.48C．4.48D．3.48【題型專練】1．（2022·廣西·高二學業(yè)考試）已知圓的方程為x2+y2=4，那么這個圓的面積等于（）A．2B．3C．πD．4π2.（2022·全國·高三專題練習（文））已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為（

）A．B．C．4D．83.（2022·江蘇·高二）圓，則（）A．關(guān)于點對稱B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于直線對稱D．關(guān)于直線對稱4．（2022·上海市第三女子中學高二期末）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為______．5．（2022·全國·高考真題（文））設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為______________．6.（新疆烏蘇市第一中學）過點，且圓心在直線上的圓的方程。7.（內(nèi)蒙古包頭市·高二月考（理））頂點坐標分別為，，．則外接圓的標準方程為______．題型二：圓的一般方程【例1】（北京高二期末）圓的圓心C的坐標為（）A．（1，0）B．（－1，0）C．（2，0）D．（－2，0）【例2】（廣東肇慶市）在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點的圓的方程為________.【例3】（2022·全國·模擬預測）已知圓與以原點為圓心的圓關(guān)于直線對稱，則（）A．5B．6C．7D．8【例4】（2022·全國·高二課時練習）與圓同圓心，且過點的圓的方程是（）A．B．C．D．【例5】（2022全國卷乙卷）過四點中的三點的一個圓的方程為____________．【題型專練】1．（2023·全國·高三專題練習）已知圓方程的圓心為（）A．B．C．D．2.（2022·江蘇·高二）圓的圓心和半徑分別是（）A．，B．，C．，D．，3.（2021·河北唐山·高二期中）點M，N是圓＝0上的不同兩點，且點M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（）A．B．C．3D．94．（2022·陜西咸陽·高一期末）過四點，，，中的三點的一個圓的方程為______.5.（青銅峽市高級中學）經(jīng)過圓的圓心且與直線平行的直線方程是。題型三：由圓的定義及方程求參數(shù)【例1】（2022·全國·高三專題練習）設(shè)甲：實數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【例2】（全國高二單元測試）當方程所表示的圓的面積最大時，直線的傾斜角為（）．A．B．C．D．【例3】（全國高二課時練習）當取不同的實數(shù)時，由方程可以得到不同的圓，則（）A．這些圓的圓心都在直線上B．這些圓的圓心都在直線上C．這些圓的圓心都在直線或上D．這些圓的圓心不在同一條直線上【例4】（2022·全國·高二課時練習）已知方程表示一個圓.(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)求圓的周長的最大值.【題型專練】1.（2022·全國·高二）已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．2.（2022·吉林·吉化第一高級中學校高二期末）若曲線表示圓，則m的取值范圍是（）A．B．C．D．3.（2021·江蘇·高二專題練習）已知方程表示一個圓．求：(1)圓半徑最大時t的值；(2)圓心的軌跡方程．4．（全國高二專題練習）已知圓C:，當m變化時，圓C上的點與原點的最短距離是_________.題型四：阿波羅尼斯圓（阿氏圓）【例1】（2022·四川成都·高二開學考試（理））若兩定點，，動點M滿足，則動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）．A．B．C．D．【例2】（2022·陜西·模擬預測）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：在平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足，則面積的最大值是（

）A．B．2C．D．4【例3】（2022·全國·高二單元測試）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩定點A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點P滿足＝.設(shè)點P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（）A．軌跡C的方程為（x＋4）2＋y2＝9B．在x軸上存在異于A，B的兩點D，E使得＝C．當A，B，P三點不共線時，射線PO是∠APB的平分線D．在C上存在點M，使得【題型專練】1．（2022·河北保定·高二期末）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值（，且）的點所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡的圓心坐標為（

）A．B．C．D．2．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學高二階段練習（文））若兩定點，，動點M滿足，則動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）．A．B．C．D．3．（2022·寧夏·銀川二中高一期中）已知動點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離滿足，則在O，A，M三點所能構(gòu)成的三角形中面積的最大值是（）A．1B．2C．3D．44．（2022·四川南充·三模（理））正方形ABCD邊長為3，P為正方形ABCD邊界及內(nèi)部的動點，且，則動點P的軌跡長度為______．5．（2022·全國·高三專題練習（文））阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有，，當?shù)拿娣e最大時，則的長為____________.6．（2022·全國·高三專題練習（文））古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga，約公元前262~190年）發(fā)現(xiàn)：平面上兩定點A，B，則滿足的動點M的軌跡是一個圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在直角坐標系xOy中，已知，動點M滿足，則面積的最大值為_________.題型五：二次函數(shù)與圓的交匯問題【例1】（2021·江蘇·蘇州中學高二多選題）已知二次函數(shù)交軸于兩點（不重合），交軸于點．圓過三點．下列說法正確的是（）A．圓心在直線上B．的取值范圍是C．圓半徑的最小值為D．存在定點，使得圓恒過點【例2】（2022·全國·高二課時練習）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C.(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)請問圓C是否經(jīng)過某定點（其坐標與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.【題型專練】1．（2022·上?！?/p>