離散型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)

一、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、幾種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量三、小結(jié)第2.2節(jié)離散型隨機(jī)變量

及其分布函數(shù)一、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型(1)離散型若隨機(jī)變量所有可能的取值為有限個(gè)或可列無(wú)窮個(gè)，則稱其為離散型隨機(jī)變量.

觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).隨機(jī)變量X

的可能值是:隨機(jī)變量連續(xù)型實(shí)例11,2,3,4,5,6.非離散型其它實(shí)例2

若隨機(jī)變量X記為“連續(xù)射擊,直至命中時(shí)的射擊次數(shù)”,則X

的可能值是:實(shí)例3設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機(jī)變量X記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”,

則X

的所有可能取值為:實(shí)例2

隨機(jī)變量X為“測(cè)量某零件尺寸時(shí)的測(cè)誤差”.則X的取值范圍為(a,b)內(nèi)的任一值.實(shí)例1

隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續(xù)型若隨機(jī)變量所有可能的取值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間,則稱其為連續(xù)型隨機(jī)變量.則X的取值范圍為

說(shuō)明定義離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為或例1設(shè)一汽車在開往目的地的路上需經(jīng)過(guò)四盞信號(hào)燈.每盞燈以的概率禁止汽車通過(guò).以表示汽車首次停下時(shí)已經(jīng)過(guò)的信號(hào)燈盞數(shù)（信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的），求的分布律.分布函數(shù)分布律離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)與其分布律之間的關(guān)系：也就是：二、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布設(shè)隨機(jī)變量X只取0與1兩個(gè)值,它的分布律為1.兩點(diǎn)分布則稱X服從(0-1)分布或兩點(diǎn)分布或伯努利分布.

兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說(shuō)明2.二項(xiàng)分布若X的分布律為：稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記為,其中q＝1－p二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布分析

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對(duì)于元件的總數(shù)來(lái)說(shuō)又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來(lái)處理.例2解圖示概率分布解因此例33.泊松分布

泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初羅瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放射出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)，發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X

服從泊松分布.地震

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中

,泊松分布是常見(jiàn)的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等都服從泊松分布.火山爆發(fā)特大洪水電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中

,泊松分布是常見(jiàn)的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.泊松定理證明二項(xiàng)分布

泊松分布n很大,p

很小上面我們提到

：設(shè)1000輛車通過(guò),出事故的次數(shù)為X,則可利用泊松定理計(jì)算所求概率為解例4

有一繁忙的汽車站,每天有大量汽車通過(guò),設(shè)每輛汽車,在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.0001,在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000輛汽車通過(guò),問(wèn)出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少?4.幾何分布

若隨機(jī)變量X的分布律為則稱X服從幾何分布.實(shí)例

設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為p,對(duì)該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查,直到第一次抽到一只次品為止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)目X

是一個(gè)隨機(jī)變量,求X的分布律.所以X服從幾何分布.說(shuō)明

幾何分布可作為描述某個(gè)試驗(yàn)“首次成功”的概率模型.解5.超幾何分布設(shè)X的分布律為

超幾何分布在關(guān)于廢品率的計(jì)件檢驗(yàn)中常用到.說(shuō)明1.常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布三、內(nèi)容小結(jié)超幾何分布二項(xiàng)分布泊松分布兩點(diǎn)分布例1

為了保證設(shè)備正常工作,需配備適量的維修工人(工人配備多了就浪費(fèi),配備少了又要影響生產(chǎn)),現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺(tái),各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來(lái)處理(我們也只考慮這種情況),問(wèn)至少需配備多少工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?解所需解決的問(wèn)題使得合理配備維修工人問(wèn)題備份題由泊松定理得故有即個(gè)工人,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01.故至少需配備8例2

(人壽保險(xiǎn)問(wèn)題)有2500個(gè)同年齡同社會(huì)階層的人在保險(xiǎn)公司里參加了人壽保險(xiǎn),在每一年里每個(gè)人死亡的概率為0.002,每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日付12元保險(xiǎn)費(fèi),而在死亡時(shí),家屬可在公司里領(lǐng)取2000元.問(wèn)

(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率是多少?(2)保險(xiǎn)公司獲利不少于一萬(wàn)元的概率是多少?

保險(xiǎn)公司在1月1日的收入是

250012=30000元解:設(shè)X表示這一年內(nèi)的死亡人數(shù),則保險(xiǎn)公司這一年里付出2000X元.假定

2000X30000,即X15人時(shí)公司虧本.