解直角三角形的應用（鞏固篇）-人教版九年級數學下冊基礎知識專項講練

文檔來源網絡整理侵權刪除專題28.13解直角三角形的應用（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．數學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（

）（精確到1m．參考數據：，，，）A．28m B．34m C．37m D．46m2．如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿，從辦公樓頂端測得旗桿頂端的俯角是，旗桿底端到大樓前梯坎底邊的距離是20米，梯坎坡長是12米，梯坎坡度，則大樓的高度約為（精確為0.1米，參考數據：，，）（

）A．39.4 B．37.9 C．32.1 D．30.63．為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學校每日都在學生進校前進行體溫檢測．某學校大門高6.5米，學生身高1.5米，當學生準備進入體溫檢測有效識別區(qū)域時，在點D處測得攝像頭A的仰角為，當學生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域段時，在點C處測得攝像頭A的仰角為，則體溫檢測有效識別區(qū)域段的長為（

）A．米 B．米 C．10米 D．米4．如圖，在A處測得點P在北偏東60°方向上，在B處測得點P在北偏東30°方向上，若AP=6千米，則AB兩點的距離為（

）千米．A．4 B． C．2 D．65．如圖，某漁船正在海上P處捕魚，先向北偏東30°的方向航行10km到A處．然后右轉40°再航行到B處，在點A的正南方向，點P的正東方向的C處有一條船，也計劃駛往B處，那么它的航向是（

）A．北偏東20° B．北偏東30° C．北偏東35° D．北偏東40°6．如圖，在距離鐵軌200米的B處，觀察由深圳開往廣州的“和諧號”動車，當動車車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60°方向上；一段時間后，動車車頭到達C處，恰好位于B處的西北方向上，則這時段動車的運動路程是（

）米（結果保留根號）A． B． C． D．7．如圖為北京冬奧會“雪飛天”滑雪大跳臺賽道．若點A的高AE＝a米，水平賽道BC＝b米，賽道AB，CD的坡角均為θ，則點D與點A的水平距離DE為(

)A．米 B．(b)米 C．(a-b)sinθ米 D．(a﹣b)cosθ米8．如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公樓頂端A測得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i＝1：，則大樓AB的高度為(

)（精確到0.1米，參考數據：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.4 B．36.4 C．39.4 D．45.49．如圖，已知窗戶高米，窗戶外面上方0.2米的點C處安裝水平遮陽板米，當太陽光線與水平線成α角時，光線剛好不能直接射入室內，則的關系式是（）A．n=mtanα-0.2 B．n=mtanα+0.2C．m=ntanα-0.2 D．m=ntanα+0.210．如圖，一棵大樹被臺風攔腰刮斷，樹根A到刮斷點的距離是4米，折斷部分與地面成的夾角，那么原來這棵樹的高度是（

）A．米 B．米 C．米 D．米二、填空題11．東太湖風景區(qū)美麗怡人，如意橋似浮在太湖之上富有靈動起飛的光環(huán)．小亮在如意橋上看到一艘游艇迎面駛來，他在高出水面的A處測得在C處的游艇俯角為；他登高到正上方的B處測得駛至D處的游艇俯角為，則兩次觀測期間游艇前進了___________米．（結果精確到，參考數據：）12．某校數學興趣小組開展無人機測旗桿的活動：已知無人機的飛行高度為30m，當無人機飛行至A處時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達B處，測得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為________m．（參考數據：，結果按四舍五八保留一位小數）13．如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛．測得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向．A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的最短距離是_____nmile．（參考數據：，）14．喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟．丹丹在汨羅江國際龍舟競渡中心廣場點處觀看200米直道競速賽．如圖所示，賽道為東西方向，賽道起點位于點的北偏西方向上，終點位于點的北偏東方向上，米，則點到賽道的距離約為______米（結果保留整數，參考數據：）．15．太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點，已成為世界各國普遍關注和重點發(fā)展的新興產業(yè).如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中線段AB、CD、EF表示支撐角鋼，太陽能電池板緊貼在支撐角鋼AB上且長度均為320cm，AB坡度i＝1：，BE＝CA＝60cm，支撐角鋼CD、EF與地面接觸點分別為D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于點E.點A到地面的垂直距離為50cm，則支撐角鋼EF的長度是___________cm.（結果保留根號）16．如圖，小明在P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°，PB＝30m．若斜面AB坡度為，則斜坡AB的長是______m．17．如圖，樓和樹都垂直于水平地面，若樓高米，樓與樹之間的距離米，，則樹高為___________米．18．如圖1是勞動課上同學們組裝的一個智能機器臂．水平操作臺為l，底座AB固定，，AB長度為24cm，連桿BC長度為30cm，手臂CD長度為28cm，點B，C是轉動點，且AB，BC與CD始終在同一平面內．如圖2，轉動連桿BC和手臂CD，當，時，端點D離操作臺l的高度DE為______cm．三、解答題19．如圖，株洲市炎陵縣某中學在實施“五項管理”中，將學校的“五項管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學樓A棟的頂部（如圖所示）該中學數學活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿芙蓉小學圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求點B距水平而AE的高度BH．(2)求宣傳牌CD的高度．（結果精確到0.1米．參考數據：≈1.414,≈1.732）20．為保護師生健康，深圳某中學在校門安裝了測溫門，如圖為該“測溫門”示意圖．身高1.7米的小聰做了如下實驗：當他在地面M處時“測溫門”開始顯示額頭溫度，此時在額頭B處測得A的仰角為30°；當他在地面N處時，“測溫門”停止顯示額頭溫度，此時在額頭C處測得A的仰角為60°．如果測得小聰的有效測溫區(qū)間MN的長度是1米，求測溫門頂部A處距地面的高度約為多少米？（注：額頭到地面的距離以身高計，≈1.73，最后結果精確到0.1米）21．小明周未與父母一起到眉山濕地公園進行數學實踐活動，在A處看到B，C處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹.他在A處測得B在西北方向，C在北偏東30°方向.他從A處走了20米到達B處，又在B處測得C在北偏東60°方向．(1)求∠C的度數；(2)求兩棵銀杏樹B，C之間的距離．（結果保留根號）22．如圖，某漁船沿正東方向以10海里／小時的速度航行，在A處測得島C在北偏東方向，1小時后漁船航行到B處，測得島C在北偏東方向，已知該島周圍9海里內有暗礁．參考數據：，，．(1)B處離島C有多遠？如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險？(2)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險？23．小華同學在數學實驗活動中是測量自己學校門口前路燈的高度，如圖，校門E處，有一斜坡EB，斜坡EB的坡度i=1∶2.4；從E點沿斜坡行走了4.16米到達斜坡頂的B處．在B處看路燈頂端O的仰角為35°，再往前走3米在D處，看路燈頂端O的仰角為65°，則路燈頂端O到地面的距離約為（

）tan35°≈0.7，tan65°≈2.1A．5.5米 B．4.8米 C．4.0米 D．3.2米24．如圖，山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，且，一場臺風過后，大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面已知山坡的坡角，量得樹干傾斜角，大樹被折斷部分和坡面所成的角，米．(1)求的度數；(2)求這棵大樹折斷前的高度結果保留根號25．如圖是某種自動卸貨時的示意圖，時水平汽車底盤，是液壓舉升杠桿，貨車卸貨時車廂與底盤夾角為，舉升杠桿與底盤夾角為，已知舉升杠桿上頂點離火車支撐點的距離為米．試求貨車卸貨時舉升杠桿的長．26．如圖是投影儀安裝截面圖，投影儀A發(fā)出的光線夾角∠BAC＝30°，投影屏幕高BC＝m．固定投影儀的吊臂AD＝0.5m，且AD⊥DE，ADEF，∠ACB＝45°，求(1)AC的長（結果保留根號）；(2)屏幕下邊沿C離教室頂部的距離CE．（結果精確到0.1m）（選用數據≈1.4，≈1.7）參考答案1．C【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，∴，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴，解得：m，故選：C．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握正切函數的定義是解題的關鍵．2．D【分析】延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，則GH=DE=15米，EG=DH，設BH=x米，則CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的長度，證明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大樓AB的高度．解：依題意得：∠DEC=90°，如圖延長AB交DC于H，過E作EG⊥AB于G，∴∠GHG=∠EGH=90°，∴四邊形HDEG是矩形.∴GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，設BH=x米，則CH=x米，在Rt△BCH中，，∴，∴x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH－BH=15－6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°－45°=45°，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9=（6+29）≈39.4米．故選：D．【點撥】此題考查了解直角三角形的應用－坡度、俯角問題；通過作輔助線運用勾股定理求出BH，得出EG是解決問題的關鍵．3．B【分析】先證明，在中，米，，由即可求解．解：由題意可知，米，，，∴（米），，∴，在中，米，，∴（米），∴（米）．故選：B．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的判定及解直角三角形的應用，掌握特殊角的三角函數是解題的關鍵．4．D【分析】證明AB=PB，在中，求出PC=千米，在中，解直角三角形可求出PB的長，則可得出答案解：由題意知：，在中，千米千米，在中，，千米千米故選：D【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，掌握銳角三角函數的定義及方向角是解題關鍵．5．C【分析】連接BC，由銳角三角函數定義得AC=PA=km，則AC=AB，再由等腰三角形的性質得∠ACB=∠ABC=35°，即可得出結論．解：如圖，連接BC，由題意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB=km，∴∠BAC=180°—∠PAC—∠BAE=180°—30°—40°=110°，∵cos∠PAC==cos30°=，∴AC=PA=×10=km，∴AC=AB，∴∠ACB=∠ABC=×（180°—∠BAC）=×（180°—110°）=35°，即B處在C處的北偏東35°方向，故選：C．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題，等腰三角形的性質，銳角三角函數定義等知識，由銳角三角函數定義求出AC的長是解題的關鍵．6．B【分析】作BC⊥AC于點D，在中利用三角函數求得AD的長，在中，利用三角函數求得CD的長，則AC即可求得．解：如圖，作BD⊥AC于點D，∵在中，，∴，(米)，∵在中，，∴（米），則(米)．故選：B．【點撥】本題主要考查了解直角三角形以及勾股定理的應用，用到的知識點是方向角，關鍵是根據題意畫出圖形，作出輔助線，構造直角三角形，“化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線（高），原則上不破壞特殊角．定理：直角三角形中所對直角邊是斜邊的一半．7．B【分析】如圖，過B作，過C作，解直角三角形，根據進行計算即可．解：過B作，過C作由題意得：，，∴，∴，∴．故選B．【點撥】本題考查解直角三角形的應用．解題的關鍵是添加合適的輔助線構造直角三角形．8．C【分析】延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，則GH=DE=15米，EG=DH，設BH=x米，則CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的長度，證明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=（6+20）（米），即可得出大樓AB的高度．解：如圖，延長AB交DC于H，作EG⊥AB于G，則GH＝DE＝15米，EG＝DH，∵梯坎坡度i＝1：，∴BH：CH＝1：，設BH＝x米，則CH＝x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得：x2+（x）2＝122，解得：x＝6，∴BH＝6米，CH＝6米，∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（6+20）（米），∵∠α＝45°，∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG＝EG＝（6+20）（米），∴AB＝AG+BG＝6+20+9≈39.4（米）；故選：C．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用-坡度、俯角問題；通過作輔助線運用勾股定理求出BH，得出EG是解決問題的關鍵．9．C【分析】根據CB=CA+AB求出CB的長，再利用三角函數求出m的值即可．解：∵窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的點C處安裝水平遮陽板CD=n米，∴CB=CA+AB=（m+0.2）米，∵光線與水平線成α角，∴∠BDC=α，∵tan∠BDC=，∴CB=n?tanα，∴m=ntanα-0.2，故選：C．【點撥】本題主要考查三角函數的應用，熟練利用三角函數解直角三角形是解題的關鍵．10．B【分析】通過解直角三角形即可求得．解：在中，，故原來這棵樹的高度為：(米)，故選：B．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握和運用解直角三角形的方法是解決本題的關鍵．11．36【分析】設BA與CD的延長線交于點O，由題意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=30m，AB=12m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的長度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的長度即可．解：設BA與CD的延長線交于點O，根據題意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=30m，AB=12m，在Rt△BOD中，，解得：，在Rt△AOC中，，，答：兩次觀測期間龍舟前進了米．【點撥】本題考查解直角三角形的實際應用，要理解俯角概念，并且熟練掌握解直角三角形的方法．12．12.7【分析】設旗桿底部為點C，頂部為點D，過點D作DE⊥AB，交直線AB于點E．設DE=xm，在Rt△BDE中，，進而求得，在Rt△ADE中，，求得，根據CD=CE-DE可得出答案．解：設旗桿底部為點C，頂部為點D，延長CD交直線AB于點E，依題意則DE⊥AB，則CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，設DE=xm，在Rt△BDE中，解得則m，在Rt△ADE中，，解得m，∴CD=CE-DE．故答案為：12.7．【點撥】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解答本題的關鍵．13．34【分析】作與點F，則CF為C島到航線AB的最短距離，設，表示出，，利用，解得：．解：作與點F，則CF為C島到航線AB的最短距離，由圖可知：，，∵，，∴，∵，∴，設，則，，∵，解得：．∴C島到航線AB的最短距離是34nmile．故答案為：34【點撥】本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是理解CF為C島到航線AB的最短距離，求出，利用求解．14．87【分析】過點作，垂足為，設米，然后分別在和中，利用銳角三角函數的定義求出，的長，再根據米，列出關于的方程，進行計算即可解答．解：過點作，垂足為，設米，在中，，∴（米），在中，，∴（米），∵米，∴，∴，∴，∴米，∴點到賽道的距離約為87米，故答案為：87．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用—方向角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．15．【分析】延長BA交直線DF于點G，過點A作AH⊥GF于H，根據坡度的概念求出∠G＝30°，根據直角三角形的性質求出AG，進而求出EG，根據正切的定義計算，得到答案．解：延長BA交直線DF于點G，過點A作AH⊥GF于H，由題意可知，CD⊥GF，AH＝50cm，∵AB坡度i＝1：，∴＝＝，∴tanG＝＝，∴∠G＝30°，∴AG＝2AH＝100cm，∴CG＝AC+AG＝160cm，∴EG＝AB+AG﹣BE＝320+100﹣60＝360（cm），在Rt△GEF中，tanG＝，則＝，解得：EF＝120（cm），故答案為：120.【點撥】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，解題的關鍵是將實際問題轉化為數學問題，構造直角三角形并解直角三角形．16．30【分析】根據斜面AB坡度為，求出，再利用角之間的關系求出，，進一步得到．解：∵斜面AB坡度為，∴，即，∵在P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為60°，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：30【點撥】此題主要考查了解直角三角形的應用，正確得出PB=AB是解題關鍵．17．15【分析】過點C作于點E，結合題意易得四邊形BDCE是矩形，進而求出，，再利用銳角三角函數的定義求出AE的長度，最后用來求解．解：過點C作于點E，如下圖．∵樓和樹都垂直于水平地面，米，∴四邊形BDCE是矩形，∴，（米）．∵，∴，∴（米），∴（米）．故答案為：15．【點撥】本題主要考查了銳角三角函數的定義和矩形的判定和性質，角三角函數的定義是解答此題的關鍵．18．【分析】作CF⊥DE于F，BG⊥DE于G，CH⊥AE于H交BG于K，易得四邊形BAEG是矩形，四邊形CKGF是矩形，分別解Rt△BCK和Rt△DCF求出CK和DF即可解決問題．解：如圖，作CF⊥DE于F，BG⊥DE于G，CH⊥AE于H交BG于K，則CH∥DE，CF∥BG，∵AB⊥AE，AE⊥DE，BG⊥DE，∴四邊形BAEG是矩形，∴GE＝AB＝24cm，∠ABG＝90°，∴CBG＝135°－90°＝45°，∵CH∥DE，CF∥BG，∴四邊形CKGF是平行四邊形，∵∠BGF＝90°，∴平行四邊形CKGF是矩形，∴∠BKC＝∠CKG＝90°，CK＝FG，∴CK＝BC·sin45°＝30×cm，即FG＝cm，∴∠BCF＝45°＋90°＝135°，∵，∴∠DCF＝165°－135°＝30°，∴DF＝，∴端點D離操作臺l的高度DE＝DF＋FG＋GE＝14＋＋24＝cm，故答案為：．【點撥】本題主要考查了解直角三角形的應用，作出合適的輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．19．(1)點B距水平面AE的高度BH是2米(2)廣告牌CD的高度約為2.1米【分析】（1）根據山坡AB的坡度為i=1：3，可設BH=a,則AH=3a,然后在Rt△ABH中，利用勾股定理進行計算即可解答；（2）過點B作BF⊥CE，垂足為F，則BH=EF=2米，BF=HE=14米，然后在Rt△ADE中，利用銳角三角函數的定義求出DE的長，再在Rt△BFC中，利用銳角三角函數的定義求出CF的長，最后進行計算即可解答．（1）解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，∴設BH=a,則AH=3a，∵AB=2，由勾股定理得BH=2，答:點B距水平面AE的高度BH是2米；（2）解：在Rt△ABH中,BH=2，∴AH=6，在Rt△ADE中,tan∠DAE=.，即DE=tan60·AE=8，如圖,過點B作BF⊥CE,垂足為F，BF=AH+AE=6+8=14，DF=DE-EF=DE-BH=8—2，在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=14,∴CD=CF-DF=14—（8—2）=14—8+2≈2.1答：廣告牌CD的高度約為2.1米．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．20．測溫門頂部A距地面的高度約為2.6米【分析】延長BC交AD于點E，構造直角△ABE和矩形EDMB，設AE=x米．通過解直角三角形分別表示出BE、CE的長度，根據BC=BE-CE得到1.73x-0.58x=1，解得即可求得AE進而即可求得．解：延長BC交AD于點E，設AE=x米．∵，，∴（米），（米），∴BC=BE-CE=1.73x-0.58x=1（米）．解得x≈0.87，∴AE≈0.87（米），∴AD=AE+ED≈0.87+1.7≈2.6（米）．答：測溫門頂部A處距地面的高度約為2.6米．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用--仰角俯角問題，能借助仰角構造直角三角形是解題的關鍵．21．(1)(2)米【分析】（1）過點A作交于點，根據且，可得，利用外角的性質根據可求出結果（2）過點B作BG⊥AD于G，則有，可得，，，可求得，再根據可得結果．解：（1）如圖示，過點A作交于點，∵且∴∵且∴；（2）過點B作BG⊥AD于G．∵∴在中，，在中，∵∴∴答：兩顆銀杏樹B、C之間的距離為米【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，平行線的性質，外角的性質，能根據題意理清圖形中各角的關系是解題的關鍵．22．(1)B處離島C有10海里；有觸礁危險，證明見分析(2)沒有觸礁危險，證明見分析【分析】（1）過C作于O，通過證明，即可求出CB的長；判斷C到AB的距離即CO是否大于9，如果大于則無觸礁危險，反之則有；（2）過C作交BF于D，交BO于E，求出CD的長度即可作出判斷．解：（1）過C作于O，CO為漁船向東航行到C的最短距離，∵在A處測得島C在北偏東的方向，∴，又∵B處測得島C在北偏東方向，∴，，∴，∴（海里），∵，，∴，∴如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險；（2）過C作交BF于D，交BO于E，，∴沒有觸礁危險．【點撥】本題是將實際問題轉化為直角三角形中的數學問題，可通過作輔助線構造直角三角形，再把條件和問題轉化到這個直角三角形中，使問題解決．23．B【分析】過點O作OF⊥EC于點F，交BD延長線于點G，可得矩形ABDC和矩形CDGF，斜坡EB的坡度i=1：2.4，EB=4.16，根據勾股定理可得，AB=1.6，AE=3.84，然后根據銳角三角函數即可求出DG和OG的長，進而可得路燈頂端O到地面的距離．解：如圖，過點O作OF⊥EC于點F，交BD延長線于點G，可得矩形ABDC和矩形CDGF，斜坡EB的坡度i=1：2.4，EB=4.16，即AB：AE=1：2.4，∴AE=2.4AB，根據勾股定理可得：，解得AB=1.6，AE=3.84，根據題意可知：AC=BD=