相似三角形的性質（鞏固篇）-人教版九年級數學下冊基礎知識專項講練

文檔來源網絡整理侵權刪除專題27.21相似三角形的性質（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．若的面積是，則它的三條中位線圍成的三角形的面積是（

）A． B． C． D．無法確定2．如圖，矩形中，，，點P在對角線上，且，連接并延長，交的延長線于點Q，連接，則的長為（

）A． B． C． D．3．如圖，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，則OE：OB=（

）A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:64．如圖，在矩形中，是的中點，若交于點，是的中點，連接，，則的長為（

）A． B． C．1 D．5．如圖，小明在A時測得某樹的影長為，B時又測得該樹的影長為，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為（

）A． B． C． D．6．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則的值為（）A． B． C． D．7．如圖，中，，是中線，是上一點，作射線，交于點，若，則（）A． B． C． D．8．小明想借助網格在線段AB上找一點P，使AP∶PB＝2∶3，下列作法中錯誤的是（

）A． B．C． D．9．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊的中點，點E是AB邊的中點，過點E作EF∥AD交BC于點F，過點E作EG∥BC交AD于點G，設△ABC的面積為S，則四邊形EFDG的面積為（

）A．S B．S C．S D．S10．直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點D，則線段BD的長度為（

）A． B． C． D．二、填空題11．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝105°，AC＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm，則DF＝_________時，△ABC與△DEF相似．12．如圖，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8將矩形ABCD沿直線MN翻折后，點B恰好落在邊AD上的點E處，如果AE=2AM，那么CN的長為______.13．如圖，四邊形中，對角線交于點O，，，，，如果，那么的值是___________．14．如圖，在平面直角坐標系中，與軸交于點，已知點，，，是線段上一點，連接，若與相似，則的長為______．15．如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，連結AE，將△ABE沿直線AE翻折得到△AFE，EF與AC相交于點M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，則點F到直線AD的距離為____．16．如圖，矩形ABCD沿EF折疊，點A的對稱點為點A'，點B的對稱點為點B'，A'B'與AD相交于點G，若點F，B'，D在同一條直線上，△A'EG的面積為4，△CDF的面積為36，則△GB'D的面積等于______．17．如圖，已知在矩形紙片中，將紙片折疊，使頂點與邊的點重合.若折痕分別與交于點的外接圓與直線有唯一一個公共點，則折痕的為______．18．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，、、…都是正方形，且、、…在AC邊上，、、…在AB邊上．則線段的長用含n的代數式表示為______________．（n為正整數）三、解答題19．如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中項，求證：BD⊥AC．20．如圖正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖．(1)在圖①中畫等腰△ABC，使得∠CAB＝90°；(2)在圖②中畫等腰△DEF，使△ABC∽△DEF，且相似比為：1．21．如圖，△ABC中，點D，E分別是BC，AB上的點，CE，AD交于點F，BD＝AD，BE＝EC．求證：△ABD∽△CBE；若CD＝CF，試求∠ABC的度數．22．如圖，已知點在軸的負半軸上，點在軸的正半軸上，，，點在線段上，從點出發(fā)以每秒5個單位長度的速度向點運動，設運動時間為秒，過點作軸于點．(1)當時，線段的長為________；(2)當時，求的值；(3)在軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，說明理由．23．在菱形中，，點、分別是邊、上兩點，滿足，與相交于點．（1）如圖1，連接．求證：；（2）如圖2，連接．①求證：；②若，，求線段的長（用含、的代數式表示）．24．如圖1，在等腰中，，點D為斜邊AB邊上一動點（不含端點）．作，DE，DF分別交AB，AC于點E和點F．請根據圖形解答下面問題：【問題發(fā)現】（1）如圖1，若點D為BC邊中點．請直接寫出DE，DF的數量關系_________．【類比探究】（2）如圖2，若點D為BC邊上一動點，且．猜想DF與DE的數量關系．并證明你的結論．【拓展應用】（3）如圖3，在邊長為4的等邊中，點D為BC邊上一動點，作．DE交AC邊于點E．請問在點D的運動過程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果沒有，請說明理由．參考答案1．A【分析】根據三角形中位線定理即可證得：，則△DEF∽△ABC，根據相似三角形的面積的比等于相似比的平方即可求解．解：如圖：∵DE是△ABC的中位線，∴DE=BC，即，同理，，，∴，∴△DEF∽△ABC，∴，∴S△DEF=S△ABC=×8=2（cm2）．故選：A．【點撥】本題考查了三角形的中位線定理，以及相似三角形的性質，正確證明△DEF∽△ABC是關鍵．2．C【分析】根據矩形的性質可求BD，，從而得到QC，由勾股定理即可求解；解：∵在矩形中，，，∴∵AB∥CD，∴∵∴∵∴∴∴故選：C．【點撥】本題主要考查三角形的相似、矩形的性質、勾股定理，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．3．B【分析】先根據DE∥BC，得出ADE∽ABC，進而得出，再根據DE∥BC，得到ODE∽OCB，進而得到．解：∵DE∥BC，∴ADE∽ABC，∴，又∵，∴，∵DE∥BC，∴ODE∽OCB，∴．故選：B．【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．4．C【分析】先證明，可得3EF=，延長AE交DC得延長線于點H，可得，繼而即可求解．解：∵在矩形中，∴AD∥BC，AD=BC，∴，∴，即：3EF=，延長AE交DC得延長線于點H，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠HCE=90°，∵是的中點，∴BE=CE，又∵∠AEB=∠CEH，∴，∴AE=EH，AB=CH=CD，即C是DH的中點，∵是的中點，∴HF=2，∵3EF=，∴4EF=4，∴EF=1，故選C．【點撥】本題主要考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，中位線的性質，添加輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．5．B【分析】根據題意，畫出示意圖，易得△EDC∽△FDC，進而可得，即DC2=ED?FD，代入數據可得答案．解：根據題意，作△EFC，樹高為CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠F，又∴△EDC∽△CDF，∴，即DC2=ED?FD=2×8=16，解得CD=4m（負值舍去）．故選：B．【點撥】本題考查的是相似三角形的應用，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．6．A【分析】先根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據相似三角形的性質和AE＝2ED即可得結果．解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴＝∵△ABE∽△DFE，∴＝，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴＝，∴＝．故選：A．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質進行解題．7．C【分析】作，交于點，則有，根據，，可得，，再根據是邊上的中線，得到，；根據可得，則，化簡即可得到結果．解：如圖，作，交于點，∴∴，又∵，，∴，∴，∴∵是邊上的中線，∴∴，∴，∵∴∴∴，則．故選：C．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質，熟悉相關性質是解題的關鍵．8．D【分析】利用平行可證得三角形相似，再利用相似三角形的對應邊成比例，對各選項逐一判斷．解：A、根據圖形，可知兩個三角形相似，且相似比為2∶3，故AP∶PB＝2∶3，故正確，故此選項不符合題意．B、根據圖形，可知兩個三角形相似，且相似比為2∶3，故AP：PB＝2∶3，故正確，故此選項不符合題意．C、如圖，根據圖形可知：∠CAD=90°，線段CD繞點O順時針旋轉90°與AB重合，則∠APC=旋轉角=90°=∠CAD，∠ACD=∠DCA，∴△ACD∽△DCA，∴，∵AC=，AD=2，CD=，∴AP=，∵S△BCD=，∴BP=，故AP∶PB＝2∶3，故正確，故此選項不符合題意．D、可知兩個三角形不相似，故AP：PB之比無法判斷，故錯誤，故此選項符合題意．故答案為：D．【點撥】本題考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．9．B【分析】根據等腰三角形的性質可得AD⊥BC，BDBC，然后可得四邊形EFDG是矩形，再根據三角形中位線定理可得EGBDBC，DG＝AGAD，進而可以解決問題．解：∵AB＝AC，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，BDBC，∴∠ADB=90°，∵EF∥AD，EG∥BC，∴四邊形EFDG是平行四邊形，又∠ADB=90°，∴四邊形EFDG是矩形，∵點E是AB邊的中點，∴AE=BE，∴AG=DG，∴EG是△ABD的中位線，∴EGBDBC，DG＝AGAD，∵△ABC的面積為S，∴SBC?AD，∴四邊形EFDG的面積＝FD?DGBCADS．故選：B．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形中位線定理，解決本題的關鍵是掌握三角形中位線定理．10．A【分析】分別過點A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，可得AF=4，先根據全等三角形的判定定理得出△BCE≌△CAF，故可得出CF及CE的長，在Rt△ACF中根據勾股定理求出AC的長，再由相似三角形的判定得出△CDG∽△CAF，故可得出CD的長，在Rt△BCD中根據勾股定理即可求出BD的長．解：分別過點A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足為F、E、G，∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴AF=4，BE=DG=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FCA＝90°，∠FCA+∠CAF＝90°，∴∠EBC＝∠FCA，∠BCE＝∠CAF，在△BCE與△ACF中，，∴△BCE≌△CAF，∴CF=BE=3，∴AC==5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴，即，解得：CD=，∴BD==．故選：A．【點撥】本題主要考查的是相似三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出相似三角形是解答此題的關鍵．11．或【分析】由于兩相似三角形的對應邊不能確定，故應分△ABC∽△DEF與△ABC∽△DFE兩種情況進行討論．解：∵∠A＝∠D，AB＝6cm，AC＝4cm，DE＝3cm，∴當△ABC∽△DEF時，＝，即，解得：DF＝2；當△ABC∽△DFE時，＝，即，解得：DF＝4.5．綜上所述，當DF＝2cm或4.5cm時，△ABC和△DEF相似．故答案為：2cm或4.5cm．【點撥】本題考查的是相似三角形的判定，在解答此題時要注意進行分類討論．12．【分析】如圖，過N作NF⊥AD于F，可得NF=AB，根據矩形的性質和折疊的性質可得∠MEN=∠B=90°，EN=BN，根據直角三角形兩銳角互余的性質及平角的定義可得∠AME=∠NEF，進而可證明△AEM∽△FNE，根據AE=2AM可求出EF的長，在Rt△FNE中，利用勾股定理可求出EN的長，進而可求出CN的長.解：如圖，過N作NF⊥AD于F，∵四邊形ABCD是矩形，AB=6，∴NF=AB=6，∵矩形ABCD沿直線MN翻折后，點B恰好落在邊AD上的點E處，∴EN=BN，∠MEN=∠B=90°，∴∠AEM+∠NEF=90°，∵∠AEM+∠AME=90°，∴∠AME=∠NEF，又∵∠A=∠EFN=90°，∴△AEM∽△FNE，∴，∵AE=2AM，NF=6，∴EF=3，∴BN=EN===，∵BC=8，∴CN=BC-BN=8-，故答案為：8-【點撥】本題考查矩形的性質、增大的性質及相似三角形的判定與性質，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似；熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵.13．【分析】由題意可以證得△AOD∽△BOC，再根據相似三角形的性質得到AO：OD=BO：OC，從而得到△AOB∽△DOC，最后再根據相似三角形的性質得到解答．解：在△AOD和△BOC中，，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴AO：OB=DO：OC=AD：BC=1：2，∴OB=4，DO=3，∴在△AOB和△DOC中，∠AOB=∠DOC，AO：OD=BO：OC=2：3，∴△AOB∽△DOC，∴=AO：OD=2：3，故答案為．【點撥】本題考查相似三角形的應用，熟練掌握三角形相似的判定和性質是解題關鍵．14．2或4【分析】是一個直角三角形，若與相似，必須證明是直角三角形，再用相似三角形的性質即可求出點M的坐標．解：如圖，∵A(1,4)，C(3,0)，D(0,3)，∴，，，；∴是直角三角形∵點M在x軸上，設點M的坐標是（x，0），∽∴∴=1∴當時，CM=2；當時CM=4，故答案為：2或4．【點撥】此題考查相似三角形的性質，熟悉掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．15．．【分析】先過F作MN⊥BC，根據已知條件與折疊的性質得到△AFN∽△FEM，再根據相似的性質得到，設出未知數，求解出答案即可．解：過F作MN⊥BC，∵BE=，BC=10，∴BE=6，∵翻折∴△ABE≌△AFE，∴EF=BE=6，∠AFE=∠B=90°，AF=AB=8，∴∠AFN+∠EFM=90°，∵∠AFN+∠FAN=90°，∴∠FAN=∠EFM，∴△AFN∽△FEM，∴，設AN=4x，FM=3x，FN=8-3x，EM=4x-6，∴FN=8-3x，EM=4x-6，∴，∴，經檢驗：是原方程的根，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查了矩形的性質、折疊的性質與相似三角形的判定與性質，關鍵在于作出輔助線，根據折疊的性質證明出三角形相似．16．16【分析】由矩形ABCD沿EF折疊，可得∠A′=∠A=90°，A′B′=AB，可證A′E∥DF，可得∠A′EG=∠GDB′，可證△A′EG∽△CFD，可得，可證△A′EG∽△B′DG，即可．解：∵矩形ABCD沿EF折疊，點A的對稱點為點A'，點B的對稱點為點B'，∴∠A′=∠A=∠A′B′F=∠B=∠C=90°，A′B′=AB，∵∠A′+∠A′B′F=180°，∴A′E∥DF，∴∠A′EG=∠GDB′，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴∠GDB′=∠DFC=∠A′EG，∴△A′EG∽△CFD，∴，∴即，∴，∵∠A′=∠A′B′F=90°，∠A′EG=∠GDB′，∴△A′EG∽△B′DG，，∵S△A'EG=4，∴．故答案為：16．【點撥】本題考查矩形折疊問題，平行線性質，三角形相似判定與性質，掌握矩形折疊性質，平行線性質，三角形相似判定與性質是解題關鍵．17．【分析】根據折疊的性質判斷出AG=GE，∠AGF=∠EGF，再由CD∥AB得出∠EFG=∠AGF，從而判斷出EF=AG，得出四邊形AGEF是平行四邊形，繼而結合AG=GE，判定四邊形AGEF是菱形；連接ON，得出ON是梯形ABCE的中位線，在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，繼而可得出折痕FG的長度．解：由折疊的性質可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF，∴∠EFG=∠EGF，∴EF=EG=AG，∴四邊形AGEF是平行四邊形（EF∥AG，EF=AG），又∵AG=GE，∴四邊形AGEF是菱形令△AED的外接圓與直線有唯一一個公共點為N，連接ON，如圖所示，∵△AED是直角三角形，AE是斜邊，點O是AE的中點，△AED的外接圓與BC相切于點N，∴ON⊥BC，∵點O是AE的中點，∴ON是梯形ABCE的中位線，設CE=x，則ED=2-x，2ON=CE+AB=x+2，在Rt△AED中，AE=2OE=2ON=x+2，AD2+DE2=AE2，∴12+（2-x）2=（2+x）2，得x=，，∵△FEO∽△AED，∴，解得：FO=，∴FG=2FO=．故答案為：.【點撥】此題考查了翻折變換的知識，涉及了菱形的判定、含30°角的直角三角形的性質，關鍵在于得出△FEO∽△AED，求出.18．【分析】根據題意得出△BB1C1∽△BAC，進而求出B1C1=，同理可得出：B2C2=，B3C3=，…，進而得出答案．解：由題意可得：B1C1//AC，∴△BB1C1∽△BAC，∴BC1：BC=B1C1：AC，∵CC1=B1C1，∴B1C1：2=（1?C1B1）：1，解得：B1C1=，故A1B1=，AA1=，同理可得出：B2C2=，B3C3=，…，∴線段BnCn的長用含n的代數式表示為：．故答案為：．【點撥】本題考查相似三角形的綜合應用，熟練掌握相似三角形的判定與性質及歸納的思維方法是解題關鍵．19．見分析【分析】先根據平行線的性質得到∠BAD=90°，再證明△ABC∽△DAB得到∠ABD=∠ACB，則∠ACB+∠DBC=90°，所以∠BEC=90°，從而得到結論．解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∵AB是AD，BC的比例中項，即AB2=AD?BC，∴而∠ABC=∠DAB，∴△ABC∽△DAB，∴∠ABD=∠ACB，∵∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ACB+∠DBC=90°，∴∠BEC=90°，∴BD⊥AC．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質．熟練掌握相似三角形的判定是解答本題的關鍵．20．(1)見分析(2)見分析解：(1)如圖①中，△ABC即為所求；,,,,，的等腰直角三角形，(2)如圖②中，△DEF即為所求．,,,,．△ABC∽△DEF，且相似比為：1．【點撥】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質，掌握勾股定理與相似三角形的性質是解題的關鍵．21．(1)見分析(2)【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，結合∠B＝∠B，可以得到；（2）設∠B＝x，則由（1）和已知條件可以得到關于x的方程，解方程即可得到問題解答．(1)證明：∵BD＝AD，BE＝EC∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE

∴∠BAD＝∠BCE而∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE(2)解：設∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，∴∠ADC＝又∵CD＝CF∴∠ADC＝∠DFC＝

∴

∴即【點撥】本題考查相似三角形的綜合問題，熟練掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性質、三角形內角和定理及方程思想方法的應用是解題關鍵．法的應用是解題關鍵．22．(1)(2)(3)存在，M(-8，0)，(2，0)，(3，0)，(，0)【分析】（1）由已知可得線段PQ為三角形的中位線，根據三角形中位線定理可以得到解答；（2）由已知可得△BPQ∽△BAQ，，把上面等式用含t的代數式表示出來，然后解方程即可；（3）分MA=MB，AM=AB，BM=BA三種情況討論．(1)解：由題意可得：當時，PA=PB，且PQ∥AO，∴，BQ=QO，∴PQ為三角形ABO的中位線，∴PQ=AO=,故答案為；(2)解：由題可知，PA=PQ=5t，∴PB=AB-PA=5-5t∵PQ∥AO

∴∠BPQ=∠BAO又∵BQP=∠BOA=90°∴△BPQ∽△BAO∴

解得：t=(3)解：由題意可設滿足條件的M為（x，0），則可分三種情況：如圖，MA=