【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】1不等式的概念與性質(zhì)

1第一課時(shí)不等式的概念與性質(zhì)第十六章不等式1.實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系設(shè)a、b∈R，則（1）a＞b①__________；（2）a=b②___________；（3）a＜b③________.2.不等式的性質(zhì)（1）a＞b④_______；2b＜a

a-b＜0a-b=0a-b＞0（2）a＞b，b＞c⑤_______；（3）a＞b⑥__________；（4）a＞b,c＞0⑦_(dá)_______；（5）a＞b,c＞d⑧____________；（6）a＞b＞0，c＞d＞0⑨_______；（7）a＞b＞0⑩__________________.__________________________________.3an＞bn（n∈N,且n＞1）ac＞bd

a+c＞b+d

ac＞bc

a+c＞b+ca＞c

41.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c，有下列命題：①若ac2>bc2，則a>b；②若a>b，則ac2>bc2；③若a<b<0,則a2>ab>b2；④若a>b,c<d，則a-c>b-d.其中正確的命題共有個(gè)（）A.1B.2C.3D.4當(dāng)c=0時(shí)，②不正確，其余都正確，故選C.C2.現(xiàn)給出三個(gè)不等式：①a2+1>2a；②a2+b2>2（a-b-）；③其中恒成立的不等式共有個(gè)（

）A.0B.1C.2D.35因?yàn)閍2-2a+1=（a-1）2≥0,所以①不恒成立；對(duì)于②，a2+b2-2a+2b+3=（a-1）2+（b+1）2+1>0，所以②恒成立；對(duì)于③，因?yàn)榍宜约储酆愠闪?故選C.63.若a＞1＞b＞-1，則下列不等式中恒成立的是（）4.如果a、b、c滿足a＞b＞c，且ac＜0，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是（）A.ac＜bcB.c（b-a）＞0C.cb2＜ab2D.ac（a-c）＜07DC

5.若

則α-β的取值范圍是________.

因?yàn)?/p>

所以又α<β,所以-π<α-β<0.8（-π,0）

1.比較大?。?）下列不等關(guān)系成立的是_____.A.3≥2B.32>（-4）2C.（x-3）2<（x-2）（x-4）D.x2+y2≤2（x+y-1）9A（2）若x∈R，則x2-x+1_____.A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定（3）若x∈R，則|x-1|+|x+1|_____.A.大于2B.大于或等于2C.小于或等于2D.不能確定10BA2.不等式的性質(zhì)（1）下列結(jié)論中正確的是____.A.若a>b,c>d，則a-c>b-dB.若a>3,c>3,則a-c>0C.若a>b,c>d,則a+c<b+dD.若a>b,則a-2>b-211D（2）下列結(jié)論中正確的是______.A.若a>b,則ac>bcB.若a>b,c>d,則ac>bdC.若a>b>0,c>d>0,則ac>bdD.若a>b>0,則an>bn（n∈N）12C（3）下列結(jié)論中正確的是____.A.若a>b>0,c<0,則B.若ac2>bc2,則a>b不一定成立C.若a>b,則（n∈N）D.若a>b,則an>bn（n∈N,n≥2）13A3.判斷下列命題的真假.（1）若a>b,則-a<-b____;（2）若a>b,則3a>3b_____;（3）若a,b同號(hào)，且a>b，則_____;（4）若a>b>0,則an>bn（n∈N,n≥2）___.14真真真真15（1）設(shè)x＜y＜0.試比較（x2+y2）（x-y）與（x2-y2）（x+y）的大小；（2）已知a、b、c∈R+，且a2+b2=c2.當(dāng)n∈N，n＞2時(shí)，比較cn與an+bn的大小.題型1：比較大小

（1）(x2+y2)(

x-y

)-(

x2-y2

)

(

x+y

)=(

x-y

)［x2+y2-(

x+y

)

2］=-2xy

(

x-y

).因?yàn)閤＜y＜0，所以xy＞0，x-y＜0，從而-2xy

(

x-y

)＞0.所以(

x2+y2

)(

x-y

)＞(

x2-y2

)

(

x+y

).16（2）因?yàn)閍、b、c∈R+，故an,bn，cn∈R+.因?yàn)閍2+b2=c2，所以從而0＜

＜1，0＜

＜1.因?yàn)閚∈N，且n＞2，所以所以所以an+bn＜cn.17【評(píng)注】比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，常有兩種方法可用.一是作差法，其步驟是：作差—變形—判斷差的符號(hào)（與0比較大小）；二是作商法，其步驟是：作商—變形—判斷商與1的大?。ㄟm用于兩式同號(hào)的情況）.18

在等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}中，a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3，試比較a5與b5的大小.

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，則a3=a1q2,b3=b1+2d.因?yàn)閍1=b1,a3=b3，19所以a1q2=b1+2d,從而2d=a1（q2-1）.又a1>0,a1≠a3=a1q2，所以q2≠1，所以b5-a5=（a1+4d）-a1q4=a1+2a1（q2-1）-a1q4=-a1（q2-1）2<0，所以a5>b5.20已知m∈R,a>b>1,f（x）=mxx-1，試比較f（a）與f（b）的大小.

因?yàn)樗?1因?yàn)閍>b>1,所以a-1>0,b-1>0,b-a<0.(1)當(dāng)m>0時(shí)，f(a)-f(b)<0,所以f(a)<f(b);(2)當(dāng)m=0時(shí)，f(a)-f(b)=0,所以f(a)=f(b);(3)當(dāng)m<0時(shí)，f(a)-f(b)>0,所以f(a)>f(b).綜上所述，當(dāng)m>0時(shí)，f(a)<f(b);當(dāng)m=0時(shí)，f(a)=f(b);當(dāng)m<0時(shí)，f(a)>f(b).22【評(píng)注】本題體現(xiàn)的是近年高考的熱點(diǎn)之一——用函數(shù)觀點(diǎn)解決不等式問(wèn)題.方法大致有二：一是考慮求差比較；二是利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性.但不管是哪種方法，遇到參數(shù)還需進(jìn)行分類討論.23若0<x<1,a>0且a≠1，試比較|loga(1-x)|與|loga(1+x)|的大小.

因?yàn)?<x<1,所以0<1-x<1,0<1-x2<1,1<1+x<2.①當(dāng)a>1時(shí)，|loga(1-x)|

|=-loga(1-x),|loga(1+x)|=loga(1+x),所以|loga(1+x)|-|loga(1-x)

|=loga(1-x2)<0,所以|loga(1-x)

|>|loga(1+x)|.24②當(dāng)0<a<1時(shí)，|loga(1-x)|=loga(1-x),|loga(1+x)|=-loga(1+x),所以|loga(1+x)|-|loga(1-x)|=-loga(1-x2)<0,所以|loga(1-x)|

>|loga(1+x)|.綜上所述，|loga(1-x)|

>|loga(1+x)|.25設(shè)二次函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且1≤f(-2)≤2,3≤f(1)≤4，求f(2)的取值范圍.

依題意，設(shè)f(x)

=ax2+bx(a≠0)，則f(-2)=4a-2b,f(1)=a+b,f(2)=4a+2b.設(shè)f(2)=Af(-2)+Bf(1)=(4A+B)a+(B-2A)b,26題型2：求取值范圍所以因?yàn)?≤f（-2）≤2，所以又3≤f（1）≤4，所以所以故f（2）的取值范圍是27【評(píng)注】本題是用同向不等式相加性求取值范圍問(wèn)題.一不小心就會(huì)產(chǎn)生如下錯(cuò)誤:

再代入f（2）=4a+2b，求得

錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有考慮到4a-2b與a+b中的a,b不是獨(dú)立的,而是相互制約的，以上解法無(wú)形中將所求變量的范圍改變了.正確的思路應(yīng)該是:將f（2）用4a-2b和a+b來(lái)表示,再兩邊分別乘以相應(yīng)的系數(shù)即可.28

已知a,b∈R,且-1≤a+b≤1,1≤a+2b≤3,求a+3b的取值范圍.

設(shè)a+3b=m（a+b）+n（a+2b）=（m+n）a+（m+2n）b.則m+n=1,m+2n=3,解得m=-1,n=2.所以a+3b=-（a+b）+2（a+2b）.因?yàn)?1≤a+b≤1，所以-1≤-（a+b）≤1.又1≤a+2b≤3，所以2≤2（a+2b）≤6.所以1≤a+3b≤7.故a+3b的取值范圍是［1，7］.29本節(jié)內(nèi)容是不等式的入門(mén)知識(shí)，也是以后解不等式（組）、證明不等式的依據(jù).主要從兩個(gè)方面考查，一是利用兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的事實(shí)，比較兩個(gè)（或多個(gè)）數(shù)或代數(shù)式的大小，有可能結(jié)合到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等的性質(zhì)；二是利用不等式的性質(zhì)判斷有關(guān)不等式的命題的真假，或者求變量的取值范圍.這部分內(nèi)容的考查以選擇題、填空題為主，30題目不難，但如果做題不在狀態(tài)或是對(duì)性質(zhì)記憶模糊，甚至隨意篡改性質(zhì)的前提條件，都可能將簡(jiǎn)單的問(wèn)題弄得很糟糕.1.利用不等式的性質(zhì)判斷命題的真假時(shí)，一定要保持清醒的頭腦，注意各個(gè)性質(zhì)結(jié)論成立的前提，不能隨意改變性質(zhì)的條件.312.利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的過(guò)程中，要保持變形的等價(jià)性，不要隨意擴(kuò)大或縮小變量的范圍，事先要判明變量是獨(dú)立的還是互相制約