2022屆高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習數(shù)列的概念與簡單表示法

共66頁1第六模塊數(shù)列第二十七講數(shù)列的概念與簡單表示法回歸課本共66頁21.數(shù)列的定義數(shù)列是按照一定順序排列著的一列數(shù),在函數(shù)意義下,數(shù)列是定義域為正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數(shù),即當自變量從小到大的順序依次取值時,所對應(yīng)的一列函數(shù)值,其圖象是相應(yīng)的曲線(或直線)上橫坐標為正整數(shù)的一系列孤立的點,數(shù)列的一般形式為a1,a2,…,an,…,通常簡記為{an},其中an是數(shù)列{an}的第n項,也叫做通項.共66頁32.數(shù)列的通項公式一個數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的關(guān)系,如果可以用一個式子an=f(n)來表示,我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.數(shù)列的通項公式是研究數(shù)列的最佳載體,因此確定一個數(shù)列是否有通項公式,以及如何求出這個通項公式,是解決數(shù)列問題的關(guān)鍵.求通項公式的常用方法有:觀察分析法?累差法?累商法和公式法等.共66頁43.數(shù)列的表示方法從函數(shù)的觀點看,數(shù)列的表示方法有:列表法?圖象法?解析法.4.數(shù)列的分類(1)按照項數(shù)是有限還是無限來分:有窮數(shù)列?無窮數(shù)列.(2)按照項與項之間的大小關(guān)系來分:遞增數(shù)列?遞減數(shù)列?常數(shù)列?擺動數(shù)列.(3)按照任何一項的絕對值是否都小于某一正數(shù)來分:有界數(shù)列?無界數(shù)列.共66頁55.數(shù)列an與Sn之間的關(guān)系Sn=a1+a2+a3+…+an,an=6.數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項),且從第2項起(或某一項)任意一項an與它的前一項an-1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.等差數(shù)列與等比數(shù)列是最基本的遞推數(shù)列,遞推數(shù)列的基本問題是由遞推關(guān)系求通項公式.共66頁6考點陪練共66頁71.(2010·安徽)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,則a8的值為()A.15 B.16C.49 D.64解析:a8=S8-S7=82-72=15.答案:A共66頁82.下列說法正確的是()A.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}B.數(shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列C.數(shù)列的第k項為D.數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n}共66頁9解析:根據(jù)數(shù)列的定義與集合定義的不同可知A,B不正確;D項{2n}中的n∈N*,故不正確;C中an=∴ak=答案:C共66頁103.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=,那么這個數(shù)列是( )A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.擺動數(shù)列 D.常數(shù)列共66頁11解析:解法一:∵an+1-an=,∴an+1>an,數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.共66頁12共66頁13答案:A4.設(shè)數(shù)列{an}中,a1=1,n≥2,都有a1?a2?a3?…?an=n2,則a3+a5=()共66頁14分析:從理論上說,如果已知數(shù)列的首項和遞推公式可以求出這個數(shù)列的任何一項,但當序號較大時,利用遞推公式來求是很麻煩的,從這一點來說數(shù)列的通項公式要比遞推公式更為深刻,當序號較小時可用解法二,如果由遞推公式能很快地推導(dǎo)出通項公式,還是用通項公式來求解,這樣能使得計算簡捷?準確.共66頁15解析:解法一:由已知a1?a2?a3?…?an=n2得an=,n≥2,n∈N*,將a1·a2·…·an-1=(n-1)2,n≥3,n∈N*,代入an得an=

(n≥3).當n=2時適合此式,當n=1時不適合此式.∴an=∴a3+a5=,∴選A.共66頁16解法二:當n=2時,a1?a2=4,∴a2=4.當n=3時,a1?a2?a3=9,∴a3=當n=4時,a1?a2?a3?a4=16,∴a4=當n=5時,a5=,∴a3+a5=,∴選A.答案:A共66頁175.數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,當n∈N*時,an+2等于anan+1的個位數(shù),若數(shù)列{an}的前k項和為243,則k=( )A.61 B.62C.63 D.64共66頁18解析:依題意,得a1=1,a2=2,a3=2,a4=4,a5=8,a6=2,a7=6,a8=2,a9=2,a10=4,a11=8,a12=2,a13=6,…,數(shù)列{an}除第一項外,其余的項形成以6為周期的數(shù)列,且從a2到a7這六項的和等于24.注意到243=1+24×10+2,因此k=1+6×10+1=62.故選B.

答案:B

共66頁19類型一 由前n項探索數(shù)列的通項公式解題準備:觀察法就是觀察數(shù)列的特征,找出各項共同規(guī)律,橫看“各項之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)”,縱看“各項與項數(shù)n的關(guān)系”,從而確定出數(shù)列的通項.共66頁20利用觀察法求數(shù)列的通項時,要抓住以下幾個特征:(1)分式中分子?分母的特征;(2)相鄰項的變化特征;(3)拆項后的特征;(4)各項符號特征等,并對此進行歸納?聯(lián)想.注意:一個數(shù)列的通項公式的表達形式不一定唯一.共66頁21【典例1】根據(jù)數(shù)列的前幾項,寫出數(shù)列的一個通項公式.(1)1,0,1,0,…;(2)1,1,2,2,3,3,…;(3),….共66頁22共66頁23

(3)∵奇數(shù)項為負,偶數(shù)項為正,故選用(-1)n確定符號.由觀察知分子為2n,而分母為兩個連續(xù)奇數(shù)的積即(2n-1)(2n+1).∴an=(-1)n共66頁24[反思感悟]由給出的前n項求通項公式時,常由數(shù)列的各項中的有關(guān)元素與項數(shù)之間相關(guān)變化歸納出規(guī)律,并對找出的規(guī)律加以驗證.這種問題顯然較簡單且單純,此類題型在高考題中也少有出現(xiàn),但它是“猜想—證明”的前提,在高考中占有很重要的地位.共66頁25類型二 簡單的數(shù)列遞推公式解題準備:①已知數(shù)列的遞推公式求通項,可把每相鄰兩項的關(guān)系列出來,抓住它們的特點進行適當處理,有時借助拆分或取倒數(shù)等方法構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項問題;共66頁26②對于形如an+1=an+f(n)的遞推公式求通項公式,只要f(n)可求和,便可利用累加的方法;對于形如 =g(n)的遞推公式求通項公式,只要g(n)可求積,便可利用累積的方法或迭代的方法;對于形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1)型遞推關(guān)系求通項公式時,可用迭代法或構(gòu)造等比數(shù)列法.共66頁27【典例2】根據(jù)下列條件,寫出數(shù)列的通項公式:(1)a1=2,an+1=an+n;(2)a1=1,2n-1an=an-1.[分析](1)將遞推關(guān)系寫成n-1個等式累加.(2)將遞推關(guān)系寫成n-1個等式累乘,或逐項迭代也可.共66頁28

[解](1)當n=1,2,3,…,n-1時,可得n-1個等式.an-an-1=n-1,an-1-an-2=n-2,…,a2-a1=1,將其相加,得an-a1=1+2+3+…+(n-1).∴an=a1+共66頁29共66頁30共66頁31類型三 數(shù)列的單調(diào)性解題準備:①數(shù)列的單調(diào)性是高考中經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容,有關(guān)數(shù)列的最大(小)項、數(shù)列的有界性等問題,都可以借助于數(shù)列的單調(diào)性來研究,必須牢固掌握這類問題的解決方法.這些方法主要有a作差法;b作商法;c利用數(shù)列或函數(shù)的單調(diào)性等方法.共66頁32共66頁33【典例3】已知數(shù)列{an}的通項an=(n+1)()n(n∈N+).試問該數(shù)列{an}有沒有最大項?若有,求出最大項和最大項的項數(shù);若沒有,說明理由.共66頁34

[分析]因an是n的函數(shù),難點在于an是一個一次函數(shù)(n+1)與一個指數(shù)函數(shù)()n的積.所以從一次函數(shù)或指數(shù)函數(shù)增減性看,一增一減積不確定.但n∈N+,不妨試從比較an與an+1的大小入手.共66頁35[解]∵an+1-an=(n+2)( )n+1-(n+1)·( )n=( )n· .∴當n<9時,an+1-an>0,即an+1>an;當n=9時,an+1-an=0,即an+1=an;當n>9時,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<…<a9=a10>a11>a12>…,∴數(shù)列{an}的最大項是a9或a10,其值為10·()9,其項數(shù)為9或10.

共66頁36[反思感悟]由通項公式研究數(shù)列是常用方法,此時要注意數(shù)列是一類特殊的函數(shù),要重視函數(shù)思想方法的運用和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.共66頁37類型四 利用Sn與an的關(guān)系求通項公式解題準備:①an與Sn的關(guān)系式an=Sn-Sn-1的使用條件是n≥2,求an時切勿漏掉n=1的情況;②利用an與Sn的關(guān)系可以消去Sn得到關(guān)于an與an-1的關(guān)系,也可以消去an得到Sn與Sn-1之間的關(guān)系,借助遞推關(guān)系的特點構(gòu)造等差或等比數(shù)列,前者可直接求出通項an,后者求出Sn后再利用an與Sn的關(guān)系求an即可.共66頁38共66頁39∴8an=(an+an-1+4)(an-an-1),∴(an+an-1)(an-an-1-4)=0,∵an>0,∴an+an-1>0,∴an-an-1-4=0,即an-an-1=4,∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差d=4,又a1=S1=,∴a1=2,∴an=2+4(n-1)=4n-2.共66頁40共66頁41【典例1】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-4n+1,則|an|=________.[錯解]由題意得:an=Sn-Sn-1=n2-4n+1-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5.則|an|=|2n-5|.[剖析]未驗證n=1時,a1=S1是否適合當n≥2時的解析式,適合合并,否則,分段來寫.共66頁42共66頁43錯源二 方法理解不到位共66頁44共66頁45

[剖析]本題的錯誤原因是忽視了a1+3a2+…+3n-2an-1=中n≥2,使得計算過程中出現(xiàn)了考慮不全面的錯誤.共66頁46共66頁47共66頁48名師技法·練智力求解數(shù)列遞推式通項的6種類型與方法求數(shù)列的通項公式是數(shù)列知識的一類基本題型,是進一步研究數(shù)列性質(zhì)的前提,因此是高考數(shù)列知識考查的重點內(nèi)容之一.研究近幾年的高考命題,我們可以歸納出求解這類問題的基本思想主要是把問題轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列,而轉(zhuǎn)化的常見方法有兩種:一種是通過變形把問題轉(zhuǎn)化,另一種是通過構(gòu)造把問題轉(zhuǎn)化.下面我們列舉幾種常見數(shù)列遞推式的類型,希望能給同學(xué)們提供解答這類問題的基本方法.共66頁49技法一an+1=pan+qn(其中p,q均為常數(shù),(pq(p-1)≠0))或an+1=pan+rqn(其中p,q,r均為常數(shù))共66頁50共66頁51共66頁52共66頁53共66頁54共66頁55技法二 an+1=an+f(n)把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n),再利用疊加法(逐差相加法)求解.共66頁56共66頁57技法三 an+1=f(n)an把原遞推公式轉(zhuǎn)化為再利用疊乘法(逐商相乘法)求解.共66頁58共66頁59技法四an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù),pq(p-1)≠0)先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為:an+1-t=p(an-t),其中t=,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)