【2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】《正弦定理余弦定理》

-1-第6講正弦定理、余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些三角形度量問題．基礎(chǔ)自查正弦定理、余弦定理及相關(guān)知識定理正弦定理余弦定理內(nèi)容a2＝，b2＝，c2＝．b2＋c2－2bc·cos_Ac2＋a2－2ca·cos_Ba2＋b2－2ab·cos_C-1-變形形式①a＝，b＝，c＝

；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；(其中R是△ABC外接圓的半徑)③a∶b∶c＝

；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.cosA＝；cosB＝；cosC＝，解斜三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角.①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角sinA∶sinB∶sinC2RsinA2RsinB2RsinC-1-聯(lián)動思考想一想：已知兩邊及其一邊的對角，三角形解的情況怎樣？答案：在△ABC中，已知a、b和角A，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解個數(shù)一解兩解一解一解上圖中A為銳角時，若a<bsinA，無解；A為鈍角或直角時，若a＝b，a<b，均無解．-1-聯(lián)動體驗1．(2010·湖北改編)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cosB＝

________.

解析：由正弦定理得，sinB.

∵a>b，∴B<60°，∴cosB.

答案：2．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于________．解析：由正弦定理，可得sinA＝.又a＝<b＝，所以A<B，所以A＝45°.

答案：45°-1-3．(2010·蘇州市高三教學(xué)調(diào)研考試)在△ABC中，A，B，C對應(yīng)的三邊長為a，b，c，若a2＝(b＋c)2－bc，則A的大小等于________．解析：根據(jù)余弦定理得cosA

，∴A＝.

答案：4．(2010·東臺中學(xué)高三診斷)若△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，若m⊥n，則∠C

等于________．解析：∵m⊥n，∴(a＋c)(a－c)＋(b－a)·b＝0，即a2－c2＋b2－ab＝0，cosC.∴C＝60°.

答案：60°5．△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，則△ABC的形狀為________．解析：cos(A＋B)>0，cosC<0，△ABC是鈍角三角形．答案：鈍角三角形

-1-考向一正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用-1-反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣一般地，如果已知兩角和一邊，求其他兩邊和一角或者已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角問題則考慮用正弦定理；如果已知三邊求三角或者已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角問題則考慮用余弦定理．-1--1-考向二判斷三角形的形狀【例2】(2010·宿遷模擬)在△ABC中，已知acosA＝bcosB，則△ABC的形狀為________．解析：由已知acosA＝bcosB得＝，又由正弦定理，得，所以＝，整理得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.因為A、B為三角形內(nèi)角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝，即△ABC為等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣利用正、余弦定理及其變形，把題設(shè)條件中的邊、角關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角或者邊的簡單關(guān)系式，進而進行判斷．-1--1-考向三正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用-1-反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣在解決較復(fù)雜的三角形問