人教A版選擇性必修第三冊7.2　離散型隨機變量及其分布列作業(yè)

課時作業(yè)(十)離散型隨機變量及其分布列一、選擇題1．(2021·廣西桂林高二期末)隨機變量X的分布列是X123Peq\f(1,3)ab那么a＋b＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(3,4)答案：A解析：依據(jù)離散型隨機變量的分布列的概率和為1，得a＋b＋eq\f(1,3)＝1，所以a＋b＝eq\f(2,3).2．(2021·海南瓊中中學高二期中)設隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝λk(k＝1,2,3,4)，那么λ的值為()A．10 B.eq\f(1,10)C．－10 D．－eq\f(1,10)答案：B解析：∵P(X＝k)＝λk(k＝1,2,3,4)，∴λ＋2λ＋3λ＋4λ＝1，∴λ＝eq\f(1,10).應選B.3．(2021·北京大興高二期末)隨機變量X的分布列如下表所示：X1234Pm2m那么P(X≤2)＝()C．0.3D．0.4答案：C解析：由分布列的性質可得，0.1＋m＋0.3＋2m＝1，可得m＝0.2，所以P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＝0.3.應選C.4．(2021·河北定興第三中學)(多項選擇題)假設離散型隨機變量X的分布列如下，那么ab的可能取值為()X01020Peq\f(1,2)abA.eq\f(1,18)B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,9)答案：AB解析：由于概率之和為1，所以a＋b＝eq\f(1,2)，結合根本不等式a＋b≥2eq\r(ab)可得eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，所以ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(1,16)，當且僅當a＝b時，等號成立，依據(jù)選項特點可推斷A，B符合要求．應選AB.5．(2021·山東菏澤高二期末)(多項選擇題)設隨機變量ξ的分布列為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，那么()A．15a＝1B．P(0.5<ξC．P(0.1<ξ<0.5)＝0.2D．P(ξ答案：ABC解析：∵隨機變量ξ的分布列為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(2,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(4,5)))＋P(ξ＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝eq\f(1,15)，故A正確；∴P(0.5<ξ<0.8)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3,5)))＝3×eq\f(1,15)＝0.2，故B正確；∴P(0.1<ξ<0.5)＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(2,5)))＝eq\f(1,15)＋2×eq\f(1,15)＝0.2，故C正確；∴P(ξ＝1)＝5×eq\f(1,15)＝eq\f(1,3)≠0.3，故D錯誤．應選ABC.二、填空題6．(2021·江蘇張家港高二月考)設隨機變量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又設隨機變量η＝2ξ－1，那么P(η<6)＝________.答案：0.3解析：由于隨機變量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，所以P(ξ＝i)＝eq\f(1,10)(i＝1,2,3，…，10)，所以η＝2ξ－1等可能的取1,3,5,7，…，19，那么P(η＝j)＝eq\f(1,10)(j＝1,3,5，…，19)，所以P(η<6)＝P(η＝1)＋P(η＝3)＋P(η＝5)＝eq\f(3,10).7．(2021·浙江杭州高二期中)隨機變量ξ的分布列如下表所示，假設p(ξ≤x)＝eq\f(3,4)，那么實數(shù)x的取值范圍是________.ξ－2023Peq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,4)a答案：[2,3)解析：由隨機變量ξ的分布列可知，a＝eq\f(1,4)，又由于p(ξ≤x)＝eq\f(3,4)，且p(ξ＝－2)＋p(ξ＝0)＋p(ξ＝2)＝eq\f(3,4)，所以2≤x<3，那么實數(shù)x的取值范圍是[2,3)．故答案為[2,3)．三、解答題8．隨機變量ξ的分布列為ξ－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)分別求出隨機變量η1＝－ξ＋eq\f(1,2)，η2＝ξ2－2ξ的分布列．解：由η1＝－ξ＋eq\f(1,2)，對于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η1＝eq\f(5,2)，eq\f(3,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－eq\f(3,2)，－eq\f(5,2)，相應的概率值為eq\f(1,12)，eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，eq\f(1,12)，eq\f(1,6)，eq\f(1,12).故η1的分布列為η1eq\f(5,2)eq\f(3,2)eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)－eq\f(5,2)Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)由η2＝ξ2－2ξ，對于ξ＝－2，－1,0,1,2,3，得η2＝8,3,0，－1,0,3，所以P(η2＝8)＝eq\f(1,12)，P(η2＝3)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,3)，P(η2＝0)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，P(η2＝－1)＝eq\f(1,12).故η2的分布列為η2830－1Peq\f(1,12)eq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,12)9.(2021·寧夏銀川一中高二期中)“青青草原我最狂，我是草原喜羊羊〞，經過英勇的斗爭，喜羊羊家族的四位成員與灰太狼、紅太狼進行談判，通過談判他們握手言和，預備一起拍合照(排成一排)．(1)要求喜羊羊家族的四位成員必需相鄰，有多少種排法？(寫出數(shù)字)(2)記灰太狼和紅太狼之間的喜羊羊家族的成員個數(shù)為ξ，求ξ的概率分布．解：(1)把喜羊羊家族的四位成員看成一個元素，排法為Aeq\o\al(3,3)，又由于四位成員交換挨次產生不同排列，所以共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(種)排法．(2)p(ξ＝0)＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(5,5),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,3)，p(ξ＝1)＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(1,4)A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(4,15)，p(ξ＝2)＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(2,4)A\o\al(3,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5)，p(ξ＝3)＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(