《極坐標(biāo)系》導(dǎo)學(xué)案

《極坐標(biāo)系》導(dǎo)學(xué)案《極坐標(biāo)系》導(dǎo)學(xué)案/NUMPAGES15《極坐標(biāo)系》導(dǎo)學(xué)案《極坐標(biāo)系》導(dǎo)學(xué)案第2課時(shí)極坐標(biāo)系1.通過實(shí)例了解極坐標(biāo)系的建立,會(huì)用極坐標(biāo)表示極坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn),掌握極坐標(biāo)的應(yīng)用.2.理解極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的相互轉(zhuǎn)化,掌握轉(zhuǎn)化公式,并運(yùn)用公式實(shí)現(xiàn)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的相互轉(zhuǎn)化.李先生是個(gè)外地人,他想到市教育局去,卻不知道該怎么去.于是他向路人詢問去市教育局如何走?路人說市教育局就在我們現(xiàn)在的位置東南方3公里處.請(qǐng)問路人的回答,能讓李先生找到目的地嗎?“在我們現(xiàn)在的位置東南方3公里處”是一個(gè)確定的位置嗎?問題1:極坐標(biāo)系的建立在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫作極點(diǎn);自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫作;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角的正方向(通常取方向),這樣就建立了一個(gè)平面極坐標(biāo)系,簡(jiǎn)稱為.

問題2:對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,用ρ表示點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離,用θ表示以O(shè)x為始邊,以O(shè)M為終邊的角度,其中ρ叫作,θ叫作,有序數(shù)對(duì)(ρ,θ)就叫作點(diǎn)M的,記為.

問題3:將點(diǎn)M的極坐標(biāo)(ρ,θ)化為直角坐標(biāo)(x,y)的關(guān)系式為.

問題4:將點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x,y)化為極坐標(biāo)(ρ,θ)的關(guān)系式為.

1.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(-2,π6A.作射線OP,使∠xOP=π6B.作射線OP,使∠xOP=7πC.作射線OP,使∠xOP=7πD.作射線OP,使∠xOP=-π62.若ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,則點(diǎn)M1(ρ1,θ1)與點(diǎn)M2(ρ2,θ2)的位置關(guān)系是().A.關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱B.關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線對(duì)稱D.關(guān)于過極點(diǎn)且與極軸成π43.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-2,2),那么它的極坐標(biāo)可表示為.

4.在極坐標(biāo)系中作下列各點(diǎn),并說明每組中各點(diǎn)的位置關(guān)系.(1)A(2,0)、B(2,π6)、C(2,π4)、D(2,π2)、E(2,3π2(2)A(0,π4)、B(1,π4)、C(2,5π4)、D(3,化極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)分別把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo).(1)(2,π6);(2)(3,π2);(3)(4,2π極坐標(biāo)的概念已知極坐標(biāo)系中點(diǎn)A(2,π2),B(2,3A.等邊三角形 B.頂角為鈍角的等腰三角形C.頂角為銳角的等腰三角形 D.等腰直角三角形極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)間的互化在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(2,π3)和點(diǎn)Q(4,5π6把下列各點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),并判斷所表示的點(diǎn)在第幾象限.(1)(2,4π3);(2)(2,2π在極坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(2,π3),B(2,π),C(2,5(1)判斷△ABC的形狀;(2)求△ABC的面積.極坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P(4,3π2)、Q(ρ,-π4)之間的距離為101.在極坐標(biāo)系中,若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(2,π3)、(3,-πA.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等邊三角形2.將極坐標(biāo)(6,4πA.(-33,3) B.(-33,-3) C.(-3,-33) D.(-3,33)3.在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為(3,π3)、(4,π6),則△AOB(其中O為極點(diǎn))的面積為4.在極坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)M(2,5π3),N(2,0),P(23,(1)將M、N、P三點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo);(2)判斷M、N、P三點(diǎn)是否在一條直線上.在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)A(2,π4),B(2,5考題變式(我來(lái)改編):第2課時(shí)極坐標(biāo)系知識(shí)體系梳理問題1:極軸逆時(shí)針極坐標(biāo)系問題2:極徑極角極坐標(biāo)M(ρ,θ)問題3:x=ρcosθ問題4:ρ基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.B當(dāng)ρ<0時(shí),點(diǎn)M(ρ,θ)的位置按下列規(guī)定確定:作射線OP,使∠xOP=θ,在OP的反向延長(zhǎng)線上取|OM|=|ρ|,則點(diǎn)M就是坐標(biāo)(ρ,θ)的點(diǎn),故選B.2.A因?yàn)辄c(diǎn)(ρ,θ)關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)為(-ρ,π-θ),由點(diǎn)M1(ρ1,θ1)和M2(ρ2,θ2)滿足ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,可知點(diǎn)M1與M2關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱.3.(2,3π4)(答案不唯一)直接利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式求解,即ρ=(-2)4.解:(1)所有點(diǎn)都在以極點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓上.點(diǎn)B、G關(guān)于極軸對(duì)稱,點(diǎn)D、E關(guān)于極軸對(duì)稱,點(diǎn)C、F關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱.(2)所有點(diǎn)都在傾斜角為π4重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)∵x=ρcosθ=2cosπ6=3,y=ρsinθ=2sinπ6=1.∴點(diǎn)(2,π6(2)∵x=ρcosθ=3cosπ2=0,y=ρsinθ=3sinπ∴點(diǎn)(3,π2(3)∵x=ρcosθ=4cos2π3=-2,y=ρsinθ=4sin2π3=2∴點(diǎn)(4,2π3)的直角坐標(biāo)為(-2,23(4)∵cosπ12=1+cosπ62=1+322=6+24,sinπ12=1-cosπ62=1-322=6-24,∴x=ρcosθ=4cos(-π12)=4cos【小結(jié)】嚴(yán)格按照x=ρcosθ,探究二:【解析】顯然OA=2,OB=2,∠AOB=π4,由余弦定理得AB=OA2+OB【答案】D【小結(jié)】極坐標(biāo)中的ρ和θ分別表示到極點(diǎn)的距離和極軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度.探究三:【解析】(法一)由公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,得點(diǎn)P(2,π3)和點(diǎn)Q(4,5π6)的直角坐標(biāo)分別為P(1,3)和Q(-23(法二)在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(2,π3)和點(diǎn)Q(4,5π6),故∠POQ=π2,所以|PQ|=2【答案】25【小結(jié)】如果極坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)確定,那么它們之間的距離也確定,可以把各點(diǎn)極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中計(jì)算,也可以利用極徑、極角的定義和余弦定理在三角形中計(jì)算.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)由題意知x=2cos4π3=2×(-12)=-1,y=2sin4π3=2×(-32)=-3,即點(diǎn)(2,(2)由題意知x=2cos2π3=-1,y=2sin2π3=3,即點(diǎn)(2,2π3(3)由題意知x=2cos(-π3)=1,y=2sin(-π3)=-3,即點(diǎn)(2,-π3(4)由題意知x=2cos(-2)=2cos2<0(π2應(yīng)用二:(1)畫圖可知,A、B、C三點(diǎn)都在以極點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上,且所對(duì)的圓心角均為23(2)由(1)知12|AB|=2sinπ3,∴|AB|=23,∴△ABC的面積為S=12×23×23×3應(yīng)用三:2或32根據(jù)x=ρcosθ,y=ρsinθ,得P、Q的直角坐標(biāo)分別為P(0,-4)、Q(22ρ,-22ρ).∴|PQ|=(0-22ρ基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.B由題意知∠AOB=π3-(-π6)=2.C由公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,得x=6×3.3結(jié)合圖形,△AOB的面積S=12OA·OB·sin(π3-4.解:(1)將三點(diǎn)坐標(biāo)代入公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,可知點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,-3(2)∵kMN=32-1=3,kNP=3-03-全新視角拓展(法一)利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化.點(diǎn)A(2,π4)的直角坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)B(2,5π4)的直角坐標(biāo)為(-2,-由題意得AC⊥BC,|AC|=|BC|.∴AC·BC=0,|AC|2=|BC|2,于是(x-2,y-2)·(x+2,y+2)=0,即x2+y2=4.①(x-2)2+(y-2)2=(x+2)2+(y+2)2,即y=-x.②將②代入①得x2=2,解得x=±2,∴x=2,∴點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(2,-2)或(-2,2).∴ρ=2+2=2,tanθ=-1,θ=7π4或3π4,∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(2,3π4)或(2,7π4).S△ABC=12|AC|·|BC|=1(法二)設(shè)點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<2π),∵|A