高等數(shù)學(xué)一微積分總結(jié)

二、表達(dá)方式：集合A，B，C……（大寫(xiě)字母aAaA，1A1A1A三、分類有限集空集1A、BABABBBA（空集是任何集合的子集2、交集：存在A、B兩個(gè)集合，由既在A中又在B中的元素組成的集合。AB，ABA，ABB，ФB=Ф（空集與任何集合的交集是Ф3、并集：存在A、B兩個(gè)集合，由所有在A、B中的元素組成的集合。AB，ABA叫A的補(bǔ)集，B叫全集。記作AB或CABA=Ф，ABA=BAB1、 實(shí)虛數(shù):i2=-1，i

3i33i323、區(qū) (1)閉區(qū)間a≤x≤b,x[a, (2)開(kāi)區(qū)間a<x<b,x(a,半開(kāi)區(qū) a≤x<b,x[a,a<x≤b,x(a,無(wú)限區(qū) x≤a,x(-∞,x≥b,x[b,xR,x(-∞,4x=x0為圓心，以δ>0（δ為非常小的正數(shù)）A、B兩點(diǎn)，x0-δx0x0+δ叫x0的δx0 x01

-2≤x<

x≤5解：A、Bx - - 所以AB=｛x-1<x3，AB=｛x-2已知A、B為兩非空集合，則AB=A是A=B的[(2)(1)充分條件(2)充分必要條件(3)必要條件(4)B果“AB又有“BAAB成立的充分必要條件。3已知集合M=｛0,1,2，則下列寫(xiě)法正確的是DA、｛1｝ B、1

C、 x、y，yfx的變化而變化，yx的函數(shù)（一元函數(shù)，表達(dá)式：y=f(x)xDf（x取值范圍yDR（y取值范圍）11y1xx1x2

1x1x[1,0)(0,11211x

x121

x12

3x1x[3,13y

f(x)

lg(x1)0x解 x11、單調(diào)性。對(duì)于y=f(x),xDf, y隨x的增加而增加，則y=f(x)在Df內(nèi)單調(diào)增yxy=f(x)Df2y=f(x),xDf,xDfA≤f(x)≤By=f(x)Df內(nèi)有界，A叫下界，B叫上界。3、奇偶性。對(duì)于y=f(x),xDf,且Df為對(duì)稱區(qū)間, f(-x)=-f(x)y=f(x)為奇函數(shù)。y=f(x)為非奇非偶函數(shù)。4（三角函數(shù)的周期性y=f(x),xDf,ifT>0f(x+T)=f(x),y=f(x)是周期函數(shù)，T1y

f(x)

3x3x

的奇偶性

f

3x13x13x 11 2y

1x2的奇偶性(xR)f(x)lnx(

1x2f(x)f1yxa，a2a的取值而定。a取以下值：yyxyx2x1yx2 yxxy3xaaa

（a,b為正整數(shù)xaxaxbxaxb(xa)b1yax(a0且a2、x3x=0時(shí)，y=1，則圖象一定過(guò)點(diǎn)4、幾何特性。單調(diào) 單調(diào) 5

1ylogax(a0且a2、x>0，y

(0,

3x=1時(shí)，y=0，則圖象一定過(guò)點(diǎn)（0，1）x=a時(shí)，y=14、幾何特性。單調(diào) 單調(diào)

56

(0,

a=10時(shí)，y=log10x=lgx(常用對(duì)數(shù)

a=e時(shí)，y=logex=lnx(自然對(duì)數(shù)，e≈2.718)x

logaxlogalogaxlogaylogaalogaxsinxcosxtanxcotxxxxk(90o2--yy無(wú)無(wú)有有無(wú)無(wú)奇偶奇奇ππ064320122232113222120033131313122--用：22322常secxcscx

1

sin2xcos2x方 1tan2xsec2 1cot2xcsc2

sin2x1costanxsin

sin2x2sinxcos角 cos2xcos2xsin2式2cos2x

式 式

22x2

22cotx

y=|sinx|,

T--xx 單調(diào)增,單調(diào)減,單調(diào)增,單調(diào)減, 22-π2y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]yx的復(fù)合函數(shù)，u1f1)x

x

,求 例2已知f(x+1)=x(x-1),求1tx

t=x+1,x=t- 1f(t)tt

1

f(t)(t1)(t1t23tf(x)

1

f(x)x23x3f(x-1)=x2+x+1,f

1x

4f(x)的定義域?yàn)閇0,4]f(x2)解：令t=x-1,則 定義域f(t)(t1)2(t1)

解：令tx2y

ft23t 0t40x2f

x

)

x

)2

x

2x5f(x+2)=x2-2x+3,f[解法①：令t=x+2,則x=t-2 解法②：由f(2)可知f(x+2)中x=0 ∴f(2)=02-2×0+3=3則f(2)=22- 則由f[f(2)]=f(3)又可知所以f[f(2)]=f(3)=32- ∴f[f(2)]=f(3)=12-y=f(xx=F(y)y=F(x),y=F(x)y=f(x)f-1(x).1y=x對(duì)稱。2y=axy=logax,yaxlogaylogaaxlogayxlogaalogayy=sinxy=arcsinx(≤xy

ex1

yye

exyexyexyex(1y

x

1

ln

1

x

11三、分段函數(shù)（關(guān)鍵在分段點(diǎn)1.5價(jià)格P，需求量D，產(chǎn)量Q，總收益R，總成本C，總利潤(rùn)DRD

RRRP10D，求R(P),2解：P10DD202PRPD(10D)D1D2 ∴R(P)=-

1D221a1,a2,a3an

a1首項(xiàng)，an通項(xiàng)2、數(shù)列的極限：對(duì)于ann→(趨向于)∞時(shí)，ifan→A,A叫ann

an1、對(duì)于y=f(x),當(dāng)x→∞時(shí) f(x)→A,則A叫f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限，

f(x)

f(x)A

f(x)

f(x)A例：判斷l(xiāng)imarctanx 2當(dāng)x→-當(dāng)x→+

arctanx2arctanx 所以limarctanx2、對(duì)于y=f(x),當(dāng)x→xo時(shí), f(x)→B,則B叫做f(x)當(dāng)x→xo時(shí)的極限，

f(x)

f(x)B

xx0

f(x)

xx0

f(x)B1f(x)

xx1，判斷

f(xx1

x

lim(x1)∴

f(xx2判斷x

x

x x

xlimxxx

x00

x00xx∴xx

x1

xx0

f(x)

xx0

g(x)

limf(x)g(x)A

xx0

f(x)g(x)A

xx0xx0

Kf(x)

(K是常數(shù)

limf(x)mxx0f(x) lim (Bxx0()g(x) 2

B=0A≠0(1)準(zhǔn)則：在xo的鄰域存在f(x),g(x),w(x)，且if

g(x)

w(xA,x

f(x)A

sinxx(2)單調(diào)有界函數(shù)必有極限lim11x

xsin

x3sin3x

xsin 1

x0sinsin3xlim x0sin5x

5

lim(12)x

cosx

sinx

sinx

1

x0cos

x

1 1

2nsin令tarcsinxxsin原式 x0sin

1 1 x0 1

lim2n

sin 2nx

x x

1)

x

xx

x

)

1 x)x

1)

1

x ee

(11 x

1、當(dāng)x→xo時(shí) f(x)在xo有意義，則極限等于f(x)在xo無(wú)意義，則對(duì)f(x)進(jìn)行恒等變換，將f(x)變換為在xo有意義

1

(P0例1

x2x

例2

xx

4x4xx1xx1x22x

11

(x2)(x

4x

x1(x3)(x

x16

x

x

x

x1x

x0x(1x11

164x164x1例4lim1cos

xx x

x

x)( xx x xx x xx x

(每項(xiàng)除以最高次數(shù)項(xiàng)xxx1

1 11 1x25x33x22x

n2nn2n2例6

4x

2x2

5

2

(n(n25n n22)(n25n n22)n25n n204

42

5nn25nn25n n21151nn2

(2A0B

nAxnAxn1 :

n

nxBxmBxm1

n四、分段函數(shù)求極限(x→xo為例1xo2xo1

f(x)

xx1，求

f(x),

f(x),

fx xx

f(x)lim(x1)f(x)lim(1x)(3)x→1時(shí)，1

f(x)lim(1x)f(x)

f(x)lim(x1)2y

f(x)

xx

f(x),

f

f(x)

f(x)

y=f(x),x→xo(x→∞) f(x)→0,則稱f(x)是當(dāng)x→xo(x→∞)時(shí)的無(wú)窮小量。x→0sin1xx→∞sin1xx

f

1三角函數(shù)的角度→0時(shí)，用來(lái)求極限。

sin

x

xsin1

sin

sinx

x

x1

x x

f(xA,xof(x)-A=ω(x)(無(wú)窮小量)f(x)與Ax→xo(x→∞)時(shí)，f(x)→0,g(x)→0,

f(x)

.xx0(x)

A0則f(x)比g(x)高階則f(x)比g(x)低階1當(dāng)x→01sinxcosx與x21sinxcos 1limsinxcosx1 2 112當(dāng)x→0時(shí)，比較ln(1+x)與x11解

1ln(1x)limln(1x)

1)xlimlnelne

x0

xy=f(x)xoxxo+Δx時(shí)，y=f(xo+Δx) ifΔx→0,則Δy→0,

y0,y=f(x)xo

f(x)

f(x0,y=f(x)xoy=f(x)xo12xo331y

f(x)

(1)ln(x1)0x解 (2)x10x(3)3x0x

2y

f(x)x

xx1y=f(x)x=1x解：(1)x=1(2)

f(x)1x

f(x)x1

f(x)

f(x)