2020年度自考04184線性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))講義

2020年度自考04184線性代數(shù)（經(jīng)管

類(lèi)）講義

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自考高數(shù)線性代數(shù)課堂筆記

第一章行列式

線性代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容是：研究線性方程組

的解的存在條件、解的結(jié)構(gòu)以及解的求法。所用

的基本工具是矩陣，而行列式是研究矩陣的很有

效的工具之一。行列式作為一種數(shù)學(xué)工具不但在

本課程中極其重要，而且在其它數(shù)學(xué)學(xué)科、乃至

在其它許多學(xué)科（例如計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管

理學(xué)等）都是必不可少的。

1.1行列式的定義

（一）一階、二階、三階行列式的定義

:符號(hào)■叫一階行列式，它是一

“、規(guī)尢as

注意：在線性代數(shù)中，符號(hào)」不是絕對(duì)值。

例如|5|=5,且卜5|=-5；

ab\

（2）定義：符號(hào)4』叫二階行列式，

ab

它也是一個(gè)數(shù)，其大小規(guī)定為：C因

此二階行列式的值等于兩個(gè)對(duì)角線上的數(shù)的

積之差。（主對(duì)角線減次對(duì)角線的乘積）

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=lx4-2x3=-2

(3)符號(hào)內(nèi)為叫三階行列式，它也是

%4q

a2b2c2

一個(gè)數(shù)，其大小規(guī)定為務(wù)G

=a機(jī)c+a2b3c1+a7bf2-a也G-。也J一出自Q

=lx5x9+4x8x34-7x2x6-7x5x3-4x2x9-lx6x8=0

三階行列式的計(jì)算比較復(fù)雜，為了幫助大家

掌握三階行列式的計(jì)算公式，我們能夠采用下面

的對(duì)角線法記憶

JGJ)

=a也q+01bls+以a&G-以?瓦q-

方法是：在已給行列式右邊添加已給行列式

的第一列、第二列。我們把行列式左上角到右下

角的對(duì)角線叫主對(duì)角線，把右上角到左下角的對(duì)

角線叫次對(duì)角線，這時(shí)，三階行列式的值等于主

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對(duì)角線的三個(gè)數(shù)的積與和主對(duì)角線平行的線上

的三個(gè)數(shù)的積之和減去次對(duì)角線三個(gè)數(shù)的積與

次對(duì)角線的平行線上數(shù)的積之和。

例如：

(1)

=1x5x9+2x6x74-3x4x8-3x5x7-1x6x8-2x4x9=0

(2)

=外義瓦XC3+4乂。2xO+qxOxO-qx%xO-,xc?xO-瓦xOxq

二白也Q

(3)

ut00儲(chǔ)07-0

小k0

<\

小，0

=axxb2xc3+0x0xa34-0xa2-0xi2xa3一以】xOx與一Oxa?xc3

—a182c?

(2)和(3)叫三角形行列式，其中(2)

叫上三角形行列式，(3)叫下三角形行列式，由

(2)(3)可見(jiàn)，在三階行列式中，三角形行列

式的值為主對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之積，其余五項(xiàng)都是

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0,例如

213

031=2x3x(-2)=-12

00-2

300

1-20=3x(-2)x4=-24

234

200

030=2x3x(—1)=—6

00-1

2a

例1a為何值時(shí)，34

［答疑編號(hào)10010101：針對(duì)該題提問(wèn)］

2a

=8-3a

解因?yàn)?4

2a

7時(shí)=0

因此8-3a=0,34'

x-l42

-2xx>0

例2當(dāng)x取何值421時(shí),

［答疑編號(hào)10010102：針對(duì)該題提問(wèn)］

解：

X-I42X-4tI

-XXX77X

442

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=(x-l)x-1+4-x-4-1-2-(-2)-2-2x4

_(x_1)?x?2-4(-2)1

=x2-x+16x-8-8x-2—+2x+8

=-X2+9X

=x(9-x)>0

=(x-l)xl+4x-4+2-(-2)2-2x-4

-(x-l)x2-4(-2)l

=-x+16x-8-8x-2/+2x+8

=-x2+9x

=x(9-x)>0

解得0vxv9

因此當(dāng)0vxv9時(shí)，所給行列式大于0。

(二)n階行列式

an%…a]x

烏n=的:1a:22■"a2:n，

符號(hào):a*iani???%*

它由n行、n列元素(共M4元素)組成，

稱(chēng)之為n階行列式。其中，每一個(gè)數(shù)%稱(chēng)為行列

式的一個(gè)元素，它的前一個(gè)下標(biāo)i稱(chēng)為行標(biāo)，它

表示這個(gè)數(shù)即在第i行上；后一個(gè)下標(biāo)j稱(chēng)為列

標(biāo)，它表示這個(gè)數(shù)即在第j列上。因此即在行列式

的第i行和第j列的交叉位置上。為敘述方便起

見(jiàn)，我們用(i,j)表示這個(gè)位置。n階行列式&一般

也簡(jiǎn)記作

n階行列式2/L也是一個(gè)數(shù)，至于它的值的

計(jì)算方法需要引入下面兩個(gè)概念。

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(1)在n階行列式2中，劃去它的第i行和

第j列，余下的數(shù)按照原來(lái)相對(duì)順序組成的一個(gè)

(ml)階行列式叫元素%的余子式，記作陶

例如，在三階行列式

以11ai2&

口3=以21%a23

a31%電3

中，%的余子式均表示將三階行列式戲！J去第

1行和第1列后，余下的數(shù)按照相對(duì)位置組成的

二階行列式，因此

相似地，外的余子式M表示將三階行列式或U

去第二行和第三列后，余下的數(shù)組成的二階行列

式。因此

a31a32

132

03=478

例1若569,求：

(1)也

［答疑編號(hào)10010103：針對(duì)該題提問(wèn)］

(2)g

［答疑編號(hào)10010104：針對(duì)該題提問(wèn)］

(3)監(jiān)3

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［答疑編號(hào)10010105：針對(duì)該題提問(wèn)］

(4)g

［答疑編號(hào)10010106：針對(duì)該題提問(wèn)］

48

==36-40=-4

解(1)59

32

21

(2)69

47

/、、==24—35=-11

(3)56

12

(4)%=4廠8-8=°

(2)符號(hào)4叫元素%的代數(shù)余子式

定義：4=(-1產(chǎn)姓.(系數(shù)其實(shí)是個(gè)正負(fù)符號(hào))

例2求例1中2的代數(shù)余子式

(1)&

［答疑編號(hào)10010107：針對(duì)該題提問(wèn)］

(2)&

［答疑編號(hào)10010108：針對(duì)該題提問(wèn)］

(3)4

［答疑編號(hào)10010109：針對(duì)該題提問(wèn)］

(4)&

［答疑編號(hào)10010110：針對(duì)該題提問(wèn)］

解：(1).,峪2=-4

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:.4=(-1產(chǎn)

=(-O'

=(-1)(-4)=4

(2)?.此1=15

Ai=(-1嚴(yán)Mi=-此1=-15

(3)；必=-11

4?==Mi?=—11

(4)；%=Q

&=(-1產(chǎn)'%2=-M32=0

（如果符號(hào)是奇數(shù)，等于相反數(shù)；如果是偶數(shù),

等于原數(shù)）

、、

以”11以s12aS

口3=221叼2以23

例3若。31%%3

vf"算L1M1+。2出1+&31&（以上兩組數(shù)相等）

［答疑編號(hào)10010111：針對(duì)該題提問(wèn)］

解：

■Mi2Ml+%i4i

=%(-1嚴(yán)%]+以鼠-1嚴(yán)％i+%](T嚴(yán)監(jiān)1

=%iMi-+%Mi

=?11（白22以33一023%）一々21（%的3—儀13%2）

+々31（知以23一，3%）

=以1必22033+以12白23%1+，3以21?32一以11以23%2

一%叼1%3一

由于

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=&1/22?33++，3以21732

一以13a22&1一%《23%2一知“21電3

與例3的結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)

?12以13

2="21a22223="1M1+々2141+%41

為1%a33

這一結(jié)果說(shuō)明：三階行列式a等于它的第一

列的元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的積的和，這一結(jié)

果能夠推廣到n階行列式作為定義。

定義：n階行列式

anai2…a\n

以力■■,a、%

2=：-：=，/1+

41/2…%

n

1=1

即規(guī)定n階行列式&的值為它的第一列的元

素與相應(yīng)代數(shù)余子式的積的和，上面結(jié)果中因?yàn)?/p>

4=峪1,41=-此1,

&=機(jī)1，一.4=（一1嚴(yán)此1

因此有

.=必1-叼1必1+生1峪1T卜監(jiān)1

特別情形

D?—?11財(cái)n—以21舷21+%］舷31

2=，1河11-舷21+電1瓦31-即M41

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例4計(jì)算下列行列式

ana12?13以14

D_0a23%

00^33434

(1)000%

［答疑編號(hào)10010112：針對(duì)該題提問(wèn)］

anan

0a32

口4=

00

00

=+。231+。31工31+。4141

=au4+0x4i+0x4i+0x&i

=anMn

=a“a22a33a44

由本例可見(jiàn)四階上三角形行列式的值也等

于它的主對(duì)角線各數(shù)之積=佝修必如

知ai2ai3以14ai5

0。22^25，4出5

&=00%4%5

000%。45

(2)0000a55

［答疑編號(hào)10010113：針對(duì)該題提問(wèn)］

=anAn+%4i+%1&+4141+?5Ml

=,]4]+0+0+0+0

=%]+0+0+0+0

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儀22以23N24以25

0e3a34a35

0

°?44?45

000a55

二?1#2%力以44。55

可見(jiàn)五階上三角形行列式的值仍等于它的

主對(duì)角線各數(shù)之積的避2A3包心

一般地可推得

……Cu

即任意n階上三角形行列式的值等于它的

主對(duì)角線各數(shù)之積如知F

同理有

以n00…0

a220…0

.=ana22"ajst

41%2%3…%及

1.2行列式按行（列）展開(kāi)

在1.1節(jié)講n階行列式的展開(kāi)時(shí)，是把2按

其第一列展開(kāi)而逐步把行列式的階數(shù)降低以后，

再求出其值。實(shí)際上，行列式能夠按其任意一行

或按其任意一列展開(kāi)來(lái)求出它的值。

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現(xiàn)在給出下面的重要定理，其證明從略。

定理121(行列式展開(kāi)定理)n階行列式

以kL等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)

的代數(shù)余子式的乘積之和，即

D=ail41+q2+…+(i=l,2,???,n)

(1.8)

或八為4+。2/&+…+%4(j=l,2,...,n)

(1.9)

其中，4是元素%在D中的代數(shù)余子式。

定理L2.1(行列式展開(kāi)定理)n階行列式

人助等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)

的代數(shù)余子式的乘積之和，即

++…+%4(i=l,2,...,n)

(1.8)

或…+%4(j=l,2,...,n)

(1.9)

其中，4是元素%在》中的代數(shù)余子式。

(1.8)式稱(chēng)為D按第i行的展開(kāi)式，(1.9)

式稱(chēng)為D按第j列的展開(kāi)式，這里i,j=l,2,...

上述展開(kāi)定理也能夠表示成

D=(-1嚴(yán)%必+(-1嚴(yán)如跖2+…+(-D"&心

(i=l,2,...,n)

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D=(―1產(chǎn)%Mu+(-1嚴(yán)％M/+…+(T產(chǎn)%陷?

(j=l,2,.??,n)

這兩個(gè)展開(kāi)式中的每一項(xiàng)都由三部分組成：

元素時(shí)和它前面的符號(hào)㈠產(chǎn)以及它后面的余子式

必，三者缺一不可！特別容易忘掉的是把元素%

（特別是％7）抄寫(xiě)下來(lái)。

根據(jù)定理121知道，凡是含零行（行中元

素全為零）或零列（列中元素全為零）的行列式,

其值必為零。

特別情形

（1）

2

=141+“2141+。31/31

—々12"12+?22"^22+^32^^2

二如4？+々23工23+以3343

="1M1~^^1242+以134?

二《2141+^22-422+02343

=“3141+%42+/A?

(2)

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=414+%41+%14+。41Al

二以12512+^22^^22+%242+々4?42

=?1343+以23*^23+%343+?4343

=^14^14+。制4+%444+以4444

=4]]4]1+，242+4]3413+以1444

二々2141+以n422+以23當(dāng)3+以系41

=&1&+。32&+%343+以8&

=。4141+4a4a+々434？+々4444

00

00

以33°

例5計(jì)算?41?42々43即

［答疑編號(hào)10010201：針對(duì)該題提問(wèn)］

解：由于第一行或第四列所含零最多，故可

按第一行展開(kāi)（解題技巧）

。="1141+為4？+以以4?+以14工14

'2=?］?=,4=0

Z）=0］］腸11+0+0+0

%0°

a

=n%%30

以42以43444

=%1%2733以44

可見(jiàn)四階下三角形行列式的值也等于它的

主對(duì)角線各數(shù)之積。3處

例5的結(jié)果可推廣為

**

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我們稱(chēng)這種行列式為下三角行列式（可任意

取值的元素在主對(duì)角線的下面）。

121-1

0030

D.=

42003

例6計(jì)算1121

［答疑編號(hào)10010202：針對(duì)該題提問(wèn)］

解：由于第2行含0最多，因此應(yīng)按第二行

展開(kāi)

=42141+^22-^22+。23+^24-^24.

。21="22=°24=°

二Z)4=0+0+。23"^23+0=—a23M25

12-1

=-3203

111

=-3{++。23"^23}

=-3]—如腸?1+0—。23M石)

=-3{-2x3-3x(-1))

=9

o10000

002000

000300

口

000040

000005

例7計(jì)算600000

［答疑編號(hào)10010203：針對(duì)該題提問(wèn)］

解：將&按第6行展開(kāi)得

口6~+%42+以6343+%4+%4S5+/646

=一&Mi

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10000

02000

=—600300

00040

00005

=-6xlx2x3x4x5

=-61

例8計(jì)算

的a3%

6,%

D="44

qo00

(1)4o00

[答疑編號(hào)10010204：針對(duì)該題提問(wèn)]

解：按第4行展開(kāi)

D—以4141+0+0+0

=-a41M41

%%a4

=—d]b]bq=0

000

ax00a4

U_0占a40

0c2c30

(2)&。0/

［答疑編號(hào)10010205：針對(duì)該題提問(wèn)］

解：將D按第一行展開(kāi)

D=/Mi+0+0+&MJ414

=。11弧1一4M14

占200

a

=ic30一。40c2c3

004400

=--a4dl（瓦匕3—與。2）_L.

=31或-44）（姐一3）（重新分組后得出）

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1.3行列式的性質(zhì)與計(jì)算

因?yàn)閚階行列式是n!項(xiàng)求和，而且每一項(xiàng)

都是n個(gè)數(shù)的乘積，當(dāng)n比較大時(shí)，計(jì)算量會(huì)非

常大，例如，10!=3628800o因此對(duì)于階數(shù)較大

的行列式很難直接用定義去求它的值，這時(shí)利用

行列式的性質(zhì)能夠有效地解決行列式的求值問(wèn)

題。下面我們來(lái)研究行列式的性質(zhì)，并利用行列

式的性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。

1.3.1行列式的性質(zhì)

將行列式D的第一行改為第一列，第二行

改為第二列……第n行改為第n歹!J,仍得到一個(gè)

n階行列式，這個(gè)新的行列式稱(chēng)為D的轉(zhuǎn)置行列

式，記為或D，。即如果

anan…aix

口_a22…a2x

a油…%

以na2\""an\

_%a22…%

貝（Ia2K

性質(zhì)1行列式和它的轉(zhuǎn)置

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行列式相等，即口=口丁或

Rlai2…%

a21a22…a2n

根據(jù)這個(gè)性質(zhì)可知，在任意一個(gè)行列式中，

行與列是處于平等地位的。凡是對(duì)“行”成立的性

質(zhì)，對(duì)“列”也成立；反之，凡是對(duì)“列”成立的性

質(zhì)，對(duì)“行”也成立。因此只需研究行列式有關(guān)行

的性質(zhì)，其所有結(jié)論對(duì)列也是自然成立的。

（運(yùn)用最多）性質(zhì)2用數(shù)k乘行列式D中某

一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kDo

這也就是說(shuō)，行列式能夠按某一行和某一按列提出

公因數(shù)：

她I她2???他;

證將左邊的行列式2按其第i行展開(kāi)以后,

再提出公因數(shù)k,即得右邊的值：

4=,帆4=上4=目%[=kD

注魯如鼠行列式有多行或多列有公因數(shù),

必須按行或按列逐次提出公因數(shù)。

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255

6410

例1計(jì)算行列式:3615

［答疑編號(hào)10010206：針對(duì)該題提問(wèn)］

255255251

6410=2x3x325=2x3x5321

解3615125121

=30(4+6+5-2-4-15)

=30(-6)=-180

在例1的計(jì)算過(guò)程中，我們先提出第二行的

公因數(shù)2和第三行的公因數(shù)3,得到第一個(gè)等號(hào)

右邊的式子，然后提出這個(gè)行列式中第三列的公

因數(shù)5,把行列式中各元素的絕對(duì)值化小以后，

再求出原行列式的值。

-abacae

bd-cdde

例2bfcj

［答疑編號(hào)10010207：針對(duì)該題提問(wèn)］

-abacce-111

bd-cdde=adfb-ce=abcdef1-11

-efbc-&11-1

因?yàn)?/p>

=(-1)4-14-1—(—1)—(—1)—(—1)

=4

因此原式=4abcdef

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這里是把上式第一個(gè)等號(hào)左邊的行列式的

第一、二、三行分別提出了公因子a,d,f,第二個(gè)

等號(hào)左邊的行列式的第一、二、三列分別提出了

公因子b,c,e,化簡(jiǎn)后再求出其值。

0ab

-a0c

例3計(jì)算行列式：--。

在行列式D的每一行中都提出公因數(shù)（-1）

并用行列式性質(zhì)1能夠得到

［答疑編號(hào)10010208：針對(duì)該題提問(wèn)］

0ab0-a-b

D=-a0c=(-1)3a0-c

-b-c0bc0

=-7/=-D

因?yàn)樾辛惺紻是一個(gè)數(shù)，因此由D=?D,可

知行列式D=0o

用這種方法能夠證明:任意一個(gè)奇數(shù)階反對(duì)

稱(chēng)行列式必為零。所謂反對(duì)稱(chēng)行列式指的是，其

中主對(duì)角線上的元素全為o,而以主對(duì)角線為軸:

兩邊處于對(duì)稱(chēng)位置上的元素異號(hào)。即若八kL是反

對(duì)稱(chēng)行列式，則它滿(mǎn)足條件為=-針,/=1,2，，閥

（運(yùn)用最多）性質(zhì)3互換行列式的任意兩行

（列），行列式的值改變符號(hào)。即對(duì)于如下兩

個(gè)行列式

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aaaa

n以12…%nn…in

------

aaa

%i2ma》aajn

D=---A=--

勺2…?！?%…知

??■"

4tl4a%及以及14t2%及

有口=上1

根據(jù)這個(gè)性質(zhì)能夠得到下面的重要推論：

推論如果行列式中有兩行（列）相同，則

此行列式的值等于零。

因?yàn)榛Q行列式D中的兩個(gè)相同的行（歹！J）,

其結(jié)果仍是D,但由性質(zhì)3可知其結(jié)果為?D,因

此口=4）,因此D=0。

性質(zhì)4如果行列式中某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元

素成比例，則此行列式的值等于零。

證設(shè)行列式D的第i行與第j行的對(duì)應(yīng)元

素成比例，不妨設(shè)第j行元素是第i行元素乘以

k得到的，則

ailai2

D=：：

小嫡2

3%

由于將行列式D中第j行的比例系數(shù)k提到

行列式的外面來(lái)以后，余下的行列式有兩行對(duì)應(yīng)

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元素相同，因此該行列式的值為零，從而原行列

式的值等于零。行列式中某兩列元素對(duì)應(yīng)成比例

的情形能夠類(lèi)似地證明。

1237

21x3

"'）=2345=0

例4驗(yàn)算X=3是否是方程4266的

根。

［答疑編號(hào)10010209：針對(duì)該題提問(wèn)］

1237

2133

/⑶=2345=°

解：因?yàn)?266（第二行與第四

行成倍數(shù)）

???x=3是方程f（X）=0的根。

性質(zhì)5行列式能夠按行（列）拆開(kāi)，即

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這就是右邊兩個(gè)行列式之和。

（運(yùn)用最多）性質(zhì)6把行列式D的某一行（列）

的所有元素都乘以同一數(shù)k以后加到另一行（列）

的對(duì)應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D。

即：

例5證明:

1100

1k10

D==0

00k2

002k

的充要條件是k=l或k=±2

［答疑編號(hào)10010301：針對(duì)該題提問(wèn)］

證因?yàn)?/p>

h1oo

1k10

D=

00k2

002k②+（ax①（第一行的數(shù)乘與（-1）加

到第二行上去）

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1100

0k-110_k-110

=

00k20k2=Ik2

002k02kJ2k=?_1)/T)

因此，D=0的充要條件是k=l或k=±2o

此題中，為了敘述方便，我們引入了新的記

號(hào)，將每一步的行變換寫(xiě)在等號(hào)上面(若有列變

換則寫(xiě)在等號(hào)下面，本題沒(méi)有列變換)，即第一

步中的②+(?1)x①表示將第一行的“倍加到第

二行上，第二步是第一列展開(kāi)。

根據(jù)行列式的展開(kāi)定理與行列式的性質(zhì)，我

們有下面的定理:

D=

定理1.3.1n階行列式hl的任意一

行(列)各元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余

子式的乘積之和等于零，即

沏4+如42+…+a/辰=0(iwk),

(1.10)

ajjA.k+1-=。(5。左),

(1.11)

1.3.2行列式的計(jì)算

行列式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方

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法。

（1）利用行列式的性質(zhì)，把原行列式化為

容易求值的行列式，常見(jiàn)的方法是把原行列式化

為上三角（或下三角）行列式再求值。此時(shí)要注

意的是，在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列

式的前面乘上（-1）,在按行或按列提取公因子k

時(shí)，必須在新的行列式前面乘上k。

（2）把原行列式按選定的某一行或某一列

展開(kāi)，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，一

般是利用性質(zhì)6在某一行或某一列中產(chǎn)生很多

個(gè)“0”元素，再按包含0最多的行或列展開(kāi)。

2310

4-2-1-1

-2121

例6計(jì)算行列式。11。

［答疑編號(hào)10010302：針對(duì)該題提問(wèn)］

解由于上三角行列式的值等于其主對(duì)角

線上元素的乘積，因此我們只要設(shè)法利用行列式

的性質(zhì)將行列式化為上三角行列式，即可求出行

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2310

0110

0431

②一④0-8—3-1

2310

0110

③+(-4)X200-11

④坨X②005-1!

20

00

00-11

④+5X③0004

我們?cè)谟?jì)算例6中的行列式時(shí)，是利用行列

式的性質(zhì)先將它化成上三角行列式后，再求出它

的值，事實(shí)上在計(jì)算行列式的值時(shí)，未必都要化

成上三角或下三角行列式，若將行列式的性質(zhì)與

展開(kāi)定理結(jié)合起來(lái)使用，往往能夠更快地求出結(jié)

果。

1021

2-110

口4=

1203

例7計(jì)算行列式：。321

［答疑編號(hào)10010303：針對(duì)該題提問(wèn)］

解觀察到行列式的第一行第一列位置的

元素an=l,利用這個(gè)（1,1）位置的元素1把

行列式中第一列的其它元素全都化為0,然后按

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第一列展開(kāi)，可將這個(gè)四階行列式降為三階行列

式來(lái)計(jì)算，具體步驟如下:

10211021

2-110

Dq=

1203②+(-2)X①02-22

0321③+(-1)X①0321

按第一列展開(kāi)，得

-1-3-2132

2=2-221-11

321=(-1)x2x321

132

②+(-1)X①-2x0-4-1

③+(-3)X①0-7-5

-4-1

=-2x=-26

-7-5

2141

3-121

d4=

5232

例8計(jì)算行列式7025（把

最簡(jiǎn)單的調(diào)到第一列或是第一旬）

［答疑編號(hào)10010304：針對(duì)該題提問(wèn)］

214

3-12

a=523

702

QHix①

③+(-2)x①

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5312

-100312

礪而7375按第二行展開(kāi)375=81

在本例中，記號(hào)①”②寫(xiě)在等號(hào)下面，表示

交換行列式的第一列和第二列，②+5x①寫(xiě)在等

號(hào)下面，表示將行列式的第一列乘以5后加到第

二列。

3111

1311

1131

例9計(jì)算行列式：?一3（例子很特

殊）

［答疑編號(hào)10010305：針對(duì)該題提問(wèn)］

解這個(gè)行列式有特殊的形狀，其特點(diǎn)是它

的每一行元素之和為6,我們能夠采用簡(jiǎn)易方法

求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第

一列的公因數(shù)6,再將后三行都減去第一行：

3111611111111111

1311631113110200

=6=6=48

1131613111310020

1113611311130002

(32)?

a2(a+1)2(a+2)2(a+3)2

b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2

c2(c+1)2(c+2)a(c+3)2

例10計(jì)算行列式：d2(d+iy(d+2)20+3產(chǎn)

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a2-b2=（a+b）（a-b）

［答疑編號(hào)10010306：針對(duì)該題提問(wèn)］

(a+Ta2(a+1)22a+36a+9

6+3產(chǎn)b2(b+1)32b+36b+9

ca(c+1)32c+36c+9

③+(T)X②

(d+獷@+(-1)X①1d2(d+1)22d+36d+9

a2(a+1)22a+33(2a+3)

b2(b+1)22b+33(2b+3)

c2(c+1)22c+33(2c+3)

d2(d+1)22d+33(2d+3)

例11計(jì)算n階行列式

abo--o0

0b00

&=

000b

b00--0a

［答疑編號(hào)10010307：針對(duì)該題提問(wèn)］

解將行列式按第一列展開(kāi)，得

Dn=知4］+（）+???+o+z>4i（簡(jiǎn)化的過(guò)程就是消階,

次方也應(yīng)減少，為（NU）等

ab…00b000

0a???00a6…00

=a::::::::

00???ab00b0

00---0a(?-i)+i(-l)"+100--ab

*-1+(-1方/-1=，+(-1)2

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例12計(jì)算范德蒙德（VanderMonde）行

111

匕=五x2x3

列式:

［答疑編號(hào)10010308：針對(duì)該題提問(wèn)］（第一

行乘（?X1）加到第二行上；第二行乘（?X1）加

到第三行上）

11

盯一升弓F

-

弓（弓-%1）X3（X3^1）與（々一五）/（弓-々）

口2一西）（勺一占）

=n(xj-石)

KM隹3J

aa2as

bb2b!

2S

例13計(jì)算cCC

［答疑編號(hào)10010309：針對(duì)該題提問(wèn)］

claa1a

bb2bJ1b

22

CC1cabc(b-a)(c-a)(c-b)(這是個(gè)定

律）

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xaaaa

axaaa

aaxaa

aaaxa

例14計(jì)算aaaax（解題規(guī)律:

每行或是每列中的和是一樣的，故每行或是每列

都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把這

個(gè)數(shù)當(dāng)公因數(shù)提取，形成有一行或是列全為“1”

的行列式，然后再化簡(jiǎn)）

［答疑編號(hào)10010310：針對(duì)該題提問(wèn)］

xaaaax+4ax+4ox+4ax+4ax+4a

axaaaaXaaa

0X2)

aaxaxaa

aa0X3)J

aaaxaOH3)aaaxa

aaaaxdaaax

1111111111

axaaa0x-a000

?+(~a)①

=(x+4a)aaxa00x-a00

(3X(-a)①

aaaxa④+(-a)①000x-a0

aaaaX⑤+(-a)①0000x-a

=(x+4a)(x-a)4

1.4克拉默法則

由定理1.2.1和定理1.3.1合并有

2，i=k;

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^^?1/4,+?2/4,十.一+々即4=<0，j=k

（一）二元一次方程組（方程1、2左右同

乘以一個(gè)數(shù)，上下對(duì)減）

,%汽+%汽泡①

df21X1+a?x2=bz（2）

由a22*①-al2*②得

（白1/22一/2。21）再=以224一41282

由a”②唱21①得

311以12一%?21）々=，力2一%可

心再二“

則有1為叫A是常數(shù)項(xiàng)

???當(dāng)Dr0時(shí)，二元一

次方程組有唯一解

無(wú)_4x_4

】一方‘“一方

（二）三元一次方程組

X+aX+a=

°llli221!X3b1①

(3X+aX+aX=b

2112222SS2②

_<231x1+a32x2+a3x3j-bj③

ananai3

a21a22a23=D

令a31a32a33叫系數(shù)行列式

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aaaaa

瓦1213n瓦aBll12瓦

aaa

b?2223=A2ib?a#=2a21a22瓦=A

b3a32a33a31^3a33a31a32^3

??

由D中的Au①+A21②+A31③得

（?1/1+以2141+。3141）/=4?&+-41+Hi

即/=4

由D中的A12①+A22②+A32③得

（?12412+?224a+。32/32）工2=4A2+占24?+^4?

即“XLD2

由D中的A13①+A23②+A33③得

（知4+%43+?334）弓=44+與$3+用$3

即0X=D3

???當(dāng)DRO時(shí)，三元一

次方程組有唯一解

X1一_萬(wàn)口\氏X-_萬(wàn)5-X-萬(wàn)

一般地，有下面結(jié)果

定理（克拉默法則）

在n個(gè)方程的n元

一次方程組

…+%xjh

aix+a?x+--+a,x=b

*2122az

."Xi+a7x?+…+/網(wǎng)泡

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（1）

中，若它的系數(shù)行

列式

41a?2…%#0

則n元一次方程組

有唯一解。

推論：在n個(gè)方程的n元一次

齊次方程組

auA+4Xz+…+%x『0

a+ax+-+<ai,x,=0

<21X12222）

."A+a立x?+…+%孔=0（2）

中

（1）若系數(shù)行列式Dr0,0方

程組只有零解

再=0,^2=0,??,,々=0

（2）若系數(shù)行列式D=O

。則方程組（2）除有零解外，

還有非零解（不證）

例在三元一次齊次方程組

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x^Xj+x^O

X1+2X2-3XS=0

2x.+3x+ax=0

14c2d

中，a為何值時(shí)只有零解，a為何值時(shí)有非

0解。

［答疑編號(hào)10010401：針對(duì)該題提問(wèn)］

111

D=12-3

解：23a=2a-6+3-4-（-9）-a=a+2

???（1）a，2時(shí),D#0,只有零解

（2）a=-2時(shí)，D=0,有非零解。

本章考核內(nèi)容小結(jié)

（一）知道一階，二階，三階，n階行列式

的定義

知道余子式，代數(shù)余子式的定義

（二）知道行列式按一行（列）的展開(kāi)公式

2=6141+《24?+…+以加4

2=+%出■,%&

（三）熟記行列式的性質(zhì)，會(huì)用展開(kāi)公式或

將行列式化為三角形的方法計(jì)算行列式

重點(diǎn)是三階行列式的計(jì)算和各行（列）元素

之和相同的行列式的計(jì)算

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(四)知道克拉默法則的條件和結(jié)論

第二章矩陣

矩陣是線性代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本概念

和數(shù)學(xué)工具，是研究和求解線性方程組的一個(gè)十

分有效的工具；矩陣在數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)、工

程技術(shù)中，以及經(jīng)濟(jì)研究和經(jīng)濟(jì)工作中處理線性

經(jīng)濟(jì)模型時(shí)，也都是一個(gè)十分重要的工具。本章

討論矩陣的加、減法，數(shù)乘，乘法，矩陣的轉(zhuǎn)置

運(yùn)算，矩陣的求逆，矩陣的初等變換，矩陣的秩

和矩陣的分塊運(yùn)算等問(wèn)題。最后初步討論矩陣與

線性方程組的問(wèn)題。

2.1矩陣的概念

定義2.1.1由mxn個(gè)數(shù)aij(i=l,2,

m；j=l,2,n)排成一個(gè)m行n列的數(shù)表

<a

n@2??