留數(shù)的計算方法

摘要：本文介紹了常見的幾類的留數(shù)的計算方法.并通過實例加以闡析.關(guān)鍵詞：留數(shù);極點;零點TheCalculationoftheResidueAbstract:Thispaperpresentsseveralcommonlysolvingmethodsofresidue.Basedonexamples,thesesolvingmethodsarestatedandanalyzed.KeyWords:Residue;Poles;Zero-point引言由留數(shù)定理得知，計算函數(shù)沿的積分，可歸結(jié)為計算圍線內(nèi)各孤立奇點處的留數(shù)之和．而留數(shù)又是該奇點處的羅朗級數(shù)的負(fù)一次冪的系數(shù)，因此我們只關(guān)心該奇點處羅朗級數(shù)中的負(fù)一次冪系數(shù)，也就是說，不必完全求出羅朗級數(shù)就可以完全確定該點的留數(shù).下面介紹求留數(shù)的幾種常用方法，使用時要根據(jù)具體條件，選擇一個較方便的方法來進(jìn)行.1.有限遠(yuǎn)點留數(shù)的計算方法留數(shù)定理把計算閉曲線上的積分值的問題轉(zhuǎn)化為計算各個孤立奇點上的留數(shù)的問題，即計算在每一個孤立奇點處的羅朗展式中負(fù)冪一次項的系數(shù).在一般情況下，求羅朗展式也是比較麻煩的，因此，根據(jù)孤立奇點的不同類型，分別建立留數(shù)計算的一些簡便方法是十分必要的.1.1若為的可去奇點則在內(nèi)的羅朗展開式中不含負(fù)冪項，從而，故當(dāng)為的可去奇點時，(1.1)1.2若為的一階極點(1)第一種情形：若為的一階極點，則在內(nèi)的羅朗展開式為

顯然，故當(dāng)為的一階極點時，（1.2）(2)第二種情形：若為的一階極點，且，則.

(1.3)1.3若為的階極點則.（1.4）一般來講,公式(1.4)適合計算級數(shù)較低的函數(shù)的極點的留數(shù).如果極點的級數(shù)較高時,計算可能比較復(fù)雜,此時可根據(jù)具體情況改用其他方法計算留數(shù).1.4當(dāng)為的本性奇點時幾乎沒有什么簡捷方法，因此對于本性奇點處的留數(shù)，就只能利用羅朗展開式的方法或計算積分的方法來求．1.5有限遠(yuǎn)點留數(shù)計算典型實例例1.5.1求．解容易知道是函數(shù)的一階極點，所以.本題也可用上述方法設(shè)，取，，顯然，滿足方法1.2中(2)的條件，所以.例1.5.2求函數(shù)在處的留數(shù).解由于是分母的一級零點,且分子在時不為零,因此,是的一級極點.由公式(1.2)可以得到.由于是分母的二級零點,且分子在時不為零,因此,是的二級極點.由公式(1.4)得=.例1.5.3求函數(shù)在處的留數(shù).解因為以為一級零點,而,因此以為一級極點.由公式(1.3)得.例1.5.4求函數(shù)在處的留數(shù).解是的本性奇點,因為,

所以相乘后級數(shù)的系數(shù)為于是2.無限遠(yuǎn)點處的留數(shù)計算方法2.1無窮遠(yuǎn)點留數(shù)定義或留數(shù)和定理定義2.1.1[3]設(shè)點為函數(shù)的一個孤立奇點,即在內(nèi)解析,則稱積分值為在點的留數(shù),記作.其中,C為圓周,的方向是順時針的.設(shè)在內(nèi)的洛朗展式為上式兩端同乘,沿逐項積分,并根據(jù)定義1，有.

(2.1)即在點的留數(shù)等于它在領(lǐng)域的洛朗展式中負(fù)一次冪的系數(shù)的相反數(shù).這里需要指出的是,當(dāng)為的有限可去奇點時,必然有;但是,如果是的可去奇點時,則不一定有.如,在是的可去奇點;但.例2.1.1求函數(shù)在點處的留數(shù).解函數(shù)以及為一階極點，而為本性奇點又所以．關(guān)于函數(shù)在有限孤立奇點和無窮遠(yuǎn)點留數(shù)之間的關(guān)系,有如下定理.定理2.1.1若，則.

(2.2)證明由條件，故可設(shè)在的去心鄰域的洛朗級數(shù)因此．公式(2.2)在計算留數(shù)時是非常有用的.如果已知函數(shù)在所有有限孤立奇點的留數(shù)之和,由式(2.2)即可知道函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點留數(shù);反之如果知道了函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù),則函數(shù)在所有有限孤立奇點的留數(shù)之和便可以求出.當(dāng)函數(shù)的有限孤立奇點較多時,其留數(shù)之和計算比較復(fù)雜時,通過求函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)來求其在所有有限孤立奇點的歷史之和是非常方便的.另外,我們還可以先計算出比較容易計算的函數(shù)的部分孤立奇點的留數(shù),然后用公式(2.2)求出比較難計算的另一部分孤立奇點的留數(shù)之和.結(jié)束語留數(shù)定理的應(yīng)用為一部分積分的計算提供了便利，特別是對某些復(fù)雜的積分，它大大縮短求解過程.因此，利用留數(shù)計算定積分對理解留數(shù)理論和掌握一些特殊積分的計算有很大幫助，在平時的學(xué)習(xí)生活中留數(shù)理論或許能成為求積分與實際應(yīng)用的有利工具.參考文獻(xiàn)[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].