第3講 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

***2***22第講

等數(shù)其

項(xiàng)【主納自查】一自主歸納1.等數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起一和它前一項(xiàng)____于同一個(gè)常數(shù)么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列，常用字表示2.等數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù){}首項(xiàng)為，差為，么它的通項(xiàng)公式________________.n3.等中項(xiàng)如果________，么叫a與的等差中項(xiàng).4.等數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：＝a＋，(nmN).n(2)若{}等差數(shù)列，且k＋l＝＋，(，l，m∈N)，+anl若m++…+mn+n+…+n，+a+…+a112m2(3)若{}等差數(shù)列，公差為，則{}是差數(shù)列，公差_n2n(4)若{}{}等差數(shù)列，{＋}是等差數(shù)nnn(5)若{}等差數(shù)列，公差為d，則a，a，ankkm2等差數(shù).5.等數(shù)列的前n項(xiàng)和式

，…，mN)公差_的設(shè)等差數(shù)列{}公為，其前n項(xiàng)和＝或S＝nn6.等數(shù)列的前n項(xiàng)和式與函的關(guān)系S＝＋－n.n27.等數(shù)列的最值

∴數(shù)列{a}等差數(shù)列＝，(A、B為數(shù)nn在等差數(shù)列{}，ad，則存在最___值；若<0，，則存最____nn18等數(shù)列的判定(1)定義法：a－＝(；nn

(2)等差中項(xiàng)法a＝a＋nn9.等數(shù)列與等差數(shù)列各項(xiàng)和的關(guān)性質(zhì)(1)a，，a，m2m

，仍等差數(shù)列，公差為.(2)數(shù)列，－，－，也是等差數(shù)列.m2mmmm(3)S

＝n－2nn二、自查驗(yàn)第

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nd*nnd*n在等差{}，a，，則an

（）A.5D.14在間插入7數(shù)，使這9個(gè)構(gòu)成等差數(shù)列，則正中間的數(shù)_______,入的這7個(gè)數(shù)的和等于___________..在等差列

{}

中，

a4

,則

{}

的前5項(xiàng)

=（）A.7

B.15

C.20

Da在等差列a｝，設(shè)公差為，若S＝，1等（105

）A

11B．C．24

D．4設(shè)等差{}前項(xiàng)為S，，則S等()n1520A.90B.100【型題考點(diǎn)一等差數(shù)的基本量

C.110

120【律方法(1)差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式，共涉及五個(gè)量a，a，dS，1n其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)公在解題中起到變量代換作用，而a和d是差數(shù)列的兩1個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方【例】在列{}，若a＝2且對任意的∈N有a＝＋a，數(shù)列{}n1nn項(xiàng)的和為)AB已知在差數(shù){}，a＝，＝，前項(xiàng)S等于()n2A．380

BD．400【式訓(xùn)練1】已{}等數(shù)列，a，=-512，=-1022,求公差d.nn已知等數(shù){}+，求a的值n5第

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*3*3等差數(shù){}前n項(xiàng)記為S．知a=30，=50．nn(1)求通項(xiàng)；n(2)若=242，n．n考點(diǎn)二

等差數(shù)的性質(zhì)【規(guī)律方法用質(zhì)①

d

app

②若k＋l＝＋nk∈)則a+a=a+ln【例】已在等差數(shù)列{},++a=1,則+=_____________.n6103在等差{},知a+則該數(shù)列前項(xiàng)=（）nAB88C．D．176S已知等數(shù){}前n項(xiàng)為S，滿足－＝1，則數(shù){}公是()n2n

BC．．設(shè)數(shù)列{}{}是等差數(shù)列，若+b，+b=21，+b。nn1135已知等數(shù){}前n項(xiàng)為S，S＝，＝，則n30【變式訓(xùn)練2（全國Ⅱ設(shè)S是差數(shù)列{}前項(xiàng)若＋＋＝3n35則S等)5A5B．7C9D11設(shè)等差{}前項(xiàng)為S,若S=36,則a+等于)n3678634536D.27已知是等差數(shù){}前和，若=-2010，nn20042010

，則=()2011第

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B.2010C.0D.0等差數(shù){}共有項(xiàng)且求和n考點(diǎn)三

等差數(shù)有關(guān)最值的算【例】1.設(shè)等數(shù)列{}前項(xiàng)為S，a則取小值時(shí)Nnnn等于()A6B．7C．D等差數(shù){a}中，a＜=,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最小？n912【變式訓(xùn)練3若等差數(shù)列{}足a++>0，a+<0，則當(dāng)n=_____時(shí)，{}前n8710項(xiàng)和最大?？键c(diǎn)四等差數(shù)的判定【規(guī)律方法】證明或判斷一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，通常有兩種方法：(1)定義法：a－＝dn(2)等差中項(xiàng)法：＝＋.本例而言，所用方法為定義法nn【例】已數(shù)列{}通公式為-1，請證明數(shù)列{}等差數(shù).nn設(shè){}等數(shù)列，S為列{}前n項(xiàng)，已知，S，T為數(shù){nn7n的前n項(xiàng)，求T．n

n

}【式訓(xùn)練4】已數(shù){}通公式為a-2，請證明數(shù)列{a}等數(shù)列.nnn第

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22已知正數(shù){}前n項(xiàng)滿nn

ann

求證:{}等數(shù),求ann已知數(shù){}前項(xiàng)和為S，滿足a?=0（n）=nn-1

12

．（1求證{

1

}等差數(shù)列；（2求a的達(dá)式．n【應(yīng)用體】（2015高新課標(biāo)1，文）已知S，則）若8410

{}n

是公差為的差數(shù)列，為{}前項(xiàng)，nn（A

（B2

（C）

（D）12．在等差數(shù){}，＋＋a＋a＋a)，則該數(shù)列前13的和是()n35713AB26．52D156《因德紙草書》是世界最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有這樣的一道題目：把1個(gè)面包分給人，每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的較小的兩份之和則最小的1份)1011B.636．在等差數(shù)列{}，a＝2，其前和為，－＝2，則的值n1n10等于)第

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2121A011B2．D－2．（2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ）設(shè)差數(shù){}前和為S，若S＝－2，S＝0，nm1

m1

＝3則＝)AB．4C5D．6【習(xí)鞏】A組

夯實(shí)基一選題設(shè)數(shù)列{}等數(shù)列，其前項(xiàng)為S，a＝2且＝，則S等nn68A.31B.32C.33D.34

()數(shù)列{}等差數(shù)列a＝，a＝1為列{}前項(xiàng)，則S－2等)n102nn20A.40B.200設(shè)為差數(shù)列{}前n項(xiàng)，若a＝1公差＝2，－＝24則k等于)nn2A.8

B.7C.6D.5二填題為差數(shù)列{}前n和S＝，＝1，則＝________.nn6設(shè)為差數(shù)列{}前n項(xiàng)，若S＝3，S＝24則＝________.nn等差數(shù){}前項(xiàng)和為S，－＝5，＝________.n34（2014泰模擬數(shù)列{}公差不為0的等差數(shù)列且a+=則n8

S5a5

等于_－a已知兩數(shù)列，a，a，a，y與x，b，，都等差數(shù)列，且x≠y，則的為13－21三解題等差數(shù){

n

}，

aa6357

（Ⅰ）求{a}通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)n

ba]n

，求數(shù)列

n

的前10項(xiàng)，其中[x]示不超過x

的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.B

能力提一選題第

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＋2nn9n3＋2nn9n31已知數(shù){}a＝，＝，若差列則a等n511n

()A.0

C.

在各項(xiàng)不為零的等差數(shù){}，－＋＝0n≥2)，則nnnn

2n

－于()－2C.1設(shè)數(shù)列{}{}是等差數(shù)列，且a＝10＝＋＝100，那么數(shù){＋}第nnnn項(xiàng)的值是A.85

B.90C.95

()二填題4.(2011·北《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共升下面節(jié)容積共4升則第5節(jié)容積升等數(shù)列{}通公式是a＝n＋其前n項(xiàng)和為S，則數(shù)列項(xiàng)為nS2－3設(shè)等差{}}前n項(xiàng)分別為對意自然數(shù)n都＝nn－＋57＋的為＋b84有兩個(gè)差數(shù)列2,6,10，，…，200由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù){}通公式＝n三解題．設(shè)等差數(shù){}前