固體物理第一章第一節(jié)模型及基態(tài)性質(zhì)

固體物理第一章第一節(jié)模型及基態(tài)性質(zhì)第一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五自由電子氣(自由電子費米氣體)：自由的、無相互作用的

、遵從泡利原理的電子氣。一、索末菲模型§1.1模型及基態(tài)性質(zhì)1忽略金屬中電子和離子實之間的相互作用—

自由電子假設(freeelectronapproximation)2忽略金屬中電子和電子之間的相互作用—

獨立電子假設(independentelectronapproximation)第二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五3價電子速度服從費米—狄拉克分布—自由電子費米氣體

（freeelectronFermigas)

4不考慮電子和金屬離子之間的碰撞

(Nocollision)由索末菲的假定,金屬晶體盡管是復雜的多體系統(tǒng),但是對于其中的價電子來說,每一個價電子都有一個對應的波函數(shù),該波函數(shù)可由量子力學中單電子的定態(tài)薛定諤方程得到.下面我們首先利用量子力學原理討論溫度為零時單電子的本征態(tài)和本征能量,并由此討論電子氣的基態(tài)和基態(tài)能量.第三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五二、單電子本征態(tài)和本征能量建立單電子的運動方程---薛定諤方程處理該問題的思路：選擇一個研究對象---簡單金屬固體利用索末菲模型---單電子問題求解薛定諤方程---本征態(tài)和本征能量第四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五由自由電子氣體模型，N個原子和N個電子的多體問題轉化為單電子問題。自由電子數(shù)目為：N為計算方便,設金屬是邊長為L的立方體，內(nèi)有N個原子，一個原子提供1個價電子。則金屬的體積:V=L3按照量子力學假設，單電子的狀態(tài)用波函數(shù)描述,且滿足薛定諤方程。第五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五其中：V(r)為電子在金屬中的勢能，為電子的本征能量對邊長為L的立方體，在自由電子氣體模型下可設勢阱的深度是無限的。取坐標軸沿著立方體的三個邊，則粒子勢能可表示為：1.薛定諤方程及其解第六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五在自由電子模型下，由于忽略了電子和離子實、電子和電子之間的相互作用，所以金屬內(nèi)部的相互作用勢能可取為零。因而薛定諤方程變?yōu)椋?--電子的本征能量

----電子的波函數(shù)(是電子位矢的函數(shù))第七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五

C為歸一化常數(shù)由正交歸一化條件：這和電子在自由空間運動的方程一樣，方程有平面波解：第八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五

所以，波函數(shù)可寫為：

為波矢，其方向為平面波的傳播方向的大小與電子的德布羅意波長的關系為：第九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五把波函數(shù)得到電子的本征能量：2.電子的動量代入薛定諤方程將動量算符作用于電子的波函數(shù)得：第十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五所以也是動量算符的本征態(tài)

3.電子的速度確定的動量電子處在態(tài)時，電子有第十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五相應的能量:邊界條件的選取，既要考慮電子的實際運動情況（表面和內(nèi)部）；又要考慮數(shù)學上可解。4.波矢的取值波矢的取值應由邊界條件來確定即電子的能量和動量都有經(jīng)典對應，但是,經(jīng)典中的平面波矢可取任意實數(shù)，對于電子來說，波矢應取什么值呢？第十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五常用邊界條件人們廣泛使用的是周期性邊界條件（periodicboundarycondition),又稱為波恩-卡門（Born-vonKarman)邊條件周期性邊界條件駐波邊界條件亦即：顯然，對于一維第十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五一維情形下，相當于首尾相接成環(huán)，從而既有有限尺寸，又消除了邊界的存在。

三維情形，可想象成L3的立方體在三個方向平移，填滿了整個空間，從而當一個電子運動到表面時并不被反射回來，而是進入相對表面的對應點。波函數(shù)為行波，表示當一個電子運動到表面時并不被反射回來，而是離開金屬，同時必有一個同態(tài)電子從相對表面的對應點進入金屬中來。周期性邊條件恰好滿足上述行波的特點，表明了選取該邊條件的合理性第十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五將周期性邊界條件代入電子的波函數(shù)得：Wherethequantitynx,ny,nzareanyinteger第十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五以波矢的三個分量為坐標軸的空間稱為波矢空間或空間。5.波矢空間(-space)和空間的態(tài)密度所以，周期性邊條件的選取，導致了波矢取值的量子化，從而，單電子的本征能量也取分立值，形成能級。nx,ny,nz取值為整數(shù)，意味著波矢取值是量子化的。第十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五金屬中自由電子波矢：nx,ny,nz取值為任意整數(shù)由于波矢取值是量子化的，它是描述金屬中單電子態(tài)的適當量子數(shù)，所以，在空間中許可的值是用分立的點來表示的。每個點表示一個允許的單電子態(tài)。所以，代表點（單電子態(tài)）在空間是均勻分布的。第十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五由波矢的取值特點，可以看出：1)在波矢空間每個(波矢)狀態(tài)代表點占有的

體積為：(2)波矢空間狀態(tài)密度(單位體積中的狀態(tài)代表點數(shù)):第十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五三、基態(tài)和基態(tài)能量前面得到了索末菲模型下單電子的本征態(tài)和本征能量，那么，如何得到系統(tǒng)的基態(tài)和基態(tài)能量呢？1.N

個電子的基態(tài)、費米球、費米面電子的分布滿足：能量最小原理和泡利不相容原理我們已知在波矢空間狀態(tài)密度：第十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五考慮到每個波矢狀態(tài)代表點可容納自旋相反的兩個電子，則單位相體積可容納的電子數(shù)為：我們已知自由電子費米氣體的單電子能級的能量(本征能）N電子的基態(tài)(T=0K)，可從能量最低的=0

態(tài)開始，從低到高，依次填充而得到,每個態(tài)兩個電子。第二十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五在空間中，具有相同能量的代表點所構成的面稱為等能面，顯然，由上式可知，等能面為球面。(一定）由于N很大，在空間中，N個電子的占據(jù)區(qū)最后形成一個球，即所謂的費米球（Fermisphere)。第二十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五費米球相對應的半徑稱為費米波矢（Fermiwavevector).用kF來表示。在k空間中，把N個電子的占據(jù)區(qū)和非占據(jù)區(qū)分開的界面叫做費米面(Feimisurface)基態(tài)時(T=0k)，電子填充的最高能級,稱為費米能級F基態(tài)時(T=0k)，N個電子填滿整個費米球，所以：第二十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五所以，費米波矢kF為:n為電子密度從而，相關的電子的費米能量F、費米動量

pF、費米速度F、費密溫度TF等都可以表示為電子密度n的函數(shù),這也就是前面我們所提到的自由電子氣體模型可用電子密度n來描述，而且，n是僅有的一個獨立參量的原因。第二十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五對于給定的金屬,價電子密度是已知的.由此,我們可以求得具體的費米波矢、費米能量、費米速度、費米溫度等.計算結果顯示費米波矢一般在108cm-1量級,費米能量為1.5～15eV、費米速度在108cm/s量級、費米溫度在105K量級.第二十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五由此，單位體積自由電子氣體的基態(tài)能量為：考慮到電子數(shù)密度很大,因而上述求和可過渡到積分.2.基態(tài)能量自由電子氣體的基態(tài)能量E，可由費密球內(nèi)所有單電子能級的能量相加得到。因子2源于泡利原理第二十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五變?yōu)榉e分得：代入將得：第二十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五所以，單位體積自由電子氣體的基態(tài)能為：考慮到：得到：和第二十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五由此可得每個電子的平均能量為：上述求解是在空間進行的，涉及到矢量積分，在一些實際問題中，比較麻煩，為此，人們常把對的積分化為對能量的積分，從而引入能態(tài)密度。第二十八頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五3.能態(tài)密度(1)定義:若在能量E~E+dE范圍內(nèi)存在N個單電子態(tài)，則能態(tài)密度N(E)定義為：

能量E附近單位能量間隔內(nèi)，包含自旋的單電子態(tài)數(shù)，稱為能態(tài)密度第二十九頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五教材中引入的是單位體積的能態(tài)密度，即單位體積樣品中，單位能量間隔內(nèi)，包含自旋的單電子態(tài)數(shù)，用g()表示。顯然，能量

~+d

范圍內(nèi)存在的單電子態(tài)數(shù)為：對于費米球內(nèi)的自由電子來說，在k空間中

～

+d

的等能面球殼，分別對應k～

k+dk.第三十頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五下面計算自由電子氣體模型下單位體積的能態(tài)密度。思路：利用在k空間中波矢密度公式，考慮泡利原理，求得能量間隔在d內(nèi)的單電子態(tài)數(shù)目dN即可。k空間中，k~k+dk對應的體積：我們已知在波矢空間狀態(tài)密度：第三十一頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五所以，能量間隔在d內(nèi)的單電子態(tài)數(shù)目dN

為：

由自由電子的本征能量公式：第三十二頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五所以：又：所以，單位體積的能態(tài)密度：與電子本征能量的平方根成正比.第三十三頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五能態(tài)密度與系統(tǒng)的維度有關，上述結果僅是三維自由電子氣的結果，如果是一維自由電子氣系統(tǒng)，則等能面變?yōu)閮蓚€等能點；二維自由電子氣系統(tǒng)，則等能面變?yōu)榈饶芫€，相應的能態(tài)密度為:一維自由電子的能態(tài)密度：與電子本征能量的平方根成反比.二維自由電子的能態(tài)密度：第三十四頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五從統(tǒng)計物理的角度出發(fā),低能激發(fā)態(tài)被熱運動激發(fā)的概率比高能激發(fā)態(tài)大得多.如果低能激發(fā)態(tài)的能態(tài)密度大,體系的熱漲落就強,相應的有序度降低或消失,不易出現(xiàn)有序相.也就是說,低能激發(fā)態(tài)的能態(tài)密度的大小影響著體系的有序度和相變.三維自由電子體系,在低能態(tài)的能態(tài)密度趨于零,因而低溫下所引起的熱漲落極小,體系可具有長程序;對一維自由電子體系來說，在低能態(tài)的能態(tài)密度很大,而且隨能量的降低而趨于無窮,因而低溫下所引起的熱漲落極大，導致一維體系不具長程序.第三十五頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五利用單位體積的能態(tài)密度，同樣可求得自由電子氣在基態(tài)時的總能量E(費米球內(nèi)所有單電子能級和）和基態(tài)時每個電子的平均能量?；鶓B(tài)能量：

二維自由電子體系的能態(tài)密度是常數(shù),介于一維和三維中間,體系可具有準長程序,而且極易出現(xiàn)特殊相變,導致新的物理現(xiàn)象.如二維電子氣系統(tǒng)中的量子霍爾效應、分數(shù)統(tǒng)計等現(xiàn)象.第三十六頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五這和前面的計算結果一致。類似的基態(tài)時每個電子的平均能量為：（同學們課下自己推算）（SeeP8)由此可以看出即使在絕對零度時電子仍有相當大的平均能量，這與經(jīng)典的結果是截然不同的。按照經(jīng)典的自由電子氣體（Drude)的模型，電子在T=0時的平均能量為零。第三十七頁，共四十一頁，編輯于2023年，星期五在統(tǒng)計物理中，把體系與經(jīng)典行為的偏離，稱為簡并性(degeneracy).因此，在T=0K時，金屬自由電子氣是完全簡并的。系統(tǒng)簡并性的判據(jù)是：

因而,只要溫度比費米溫度低很多,電子氣就是簡并的.由于費米能量在幾個電子伏特,而室溫下的熱擾動能大約為0.026電子伏特,所以室溫下電子氣也是高度簡并的.需要指出的是這里電子氣簡并的概念與量子力學中的簡并毫無關系,量子力學中的簡并通常指不同狀態(tài)對應相同能量的情形.第三十八頁，共四十一頁，編