復(fù)變積分第五章

復(fù)變積分第五章第一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六§5.1映射與保角映射的概念1映射的概念2兩曲線的夾角3導(dǎo)數(shù)的幾何意義4保角映射的概念5關(guān)于保角映射的一般理論第二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.1.1映射的概念復(fù)變函數(shù)反映了兩對(duì)變量x,y和u,v之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以可以看成兩個(gè)復(fù)平面中點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系.設(shè)是復(fù)平面點(diǎn)集D上的復(fù)變函數(shù),即z平面中點(diǎn)集D為定義域,其值域G是w平面中點(diǎn)集,記為G=f(D),這時(shí)稱w=f(z)為從D到G的映射.對(duì)于稱為映射w=f(z)下點(diǎn)z0在w

第三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六平面上的像,而稱z0為映射w=f(z)下點(diǎn)w0在z平面上的原像.同時(shí)稱G為映射w=f(z)下D在w平面上的像,稱D為映射w=f(z)下G在z平面上的原像.如果w=f(z)把D中的不同點(diǎn)映射成G中的不同點(diǎn),即如果都是D中的點(diǎn),那么有則稱w=f(z)是從D到G的雙方單值映射或一對(duì)一的映射.第四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.1.2兩曲線的夾角當(dāng)t增大時(shí),點(diǎn)

z移動(dòng)的方向?yàn)檎?設(shè)z平面內(nèi)的有向光滑曲線yxC..在曲線C上取兩點(diǎn):作割線P0P,規(guī)定割線的正向?qū)?yīng)于t增大的方向.于是割線P0P與向量同向.第五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六割線C在P0處切線.C..yx當(dāng)P時(shí),沿C因?yàn)镃是光滑曲線,所以于是向量是曲線C的切向量,與C相切于點(diǎn)規(guī)定的方向?yàn)镃上點(diǎn)z0處切線的正向.第六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六C.yx(1)C在點(diǎn)z0處切線正向與x軸正向之間的夾角是(2)設(shè)z平面內(nèi)的兩條有向光.滑曲線和相交于z0(t=t0)點(diǎn).規(guī)定z0處曲線C1和C2正向之間的夾角為兩條曲線在z0處切線正向之間的夾角.第七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義所以C.yx設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,且在D內(nèi)(1)

的幾何意義設(shè)是D內(nèi)過(guò)的有向光滑曲線,t增大的方向?yàn)檎?于是w=f(z)將z平面上有向?qū)τ谝驗(yàn)镃光滑,第八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六光滑曲線t增大的方向C.yxvu.光滑曲線C映射成w平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)的有向?yàn)檎?且是曲線G在w0處的切向量.第九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六因?yàn)樗郧€G在w0處切線正向與u軸正向之間的夾角曲線C在z0處切線正向與x軸正向之間的夾角如果將x軸與u軸重合,將y軸與v軸重合,即將z平面與w平面重疊,那么曲線C在z0處的切線轉(zhuǎn)動(dòng)之后與曲線G在w0處的切線方向一致.在這個(gè)意義上,就是曲線C經(jīng)過(guò)w=f(z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動(dòng)角.顯然轉(zhuǎn)動(dòng)角與C無(wú)關(guān).第十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六如果是過(guò)z0點(diǎn)的D內(nèi)兩條有向光滑曲線，則在映射w=f(z)下,C1和C2在w平面上的像分別為并且因此第十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六..所以G1和G2在w0處的夾角C1和C2在z0處的夾角過(guò)z0兩條光滑曲線C1、C2在z0處夾角的大小與方向和在映射w=f(z)下的像G1、G2在w0處夾角的大小與方向相同,即時(shí),映射w=f(z)具有保角性.第十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六

Cvuyx....(2)的幾何意義當(dāng)時(shí),是映射w=f(z)在z0處的伸縮率.它與C無(wú)關(guān),即映射w=f(z)具有伸縮率不變性.第十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.1.4保角映射的概念定義5.1設(shè)w=f(z)在點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)有定義.如果w=f(z)在z0處具有保角性和伸縮率不變性,則稱映射w=f(z)在z0處是保角映射.如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)都是保角映射,則稱w=f(z)是區(qū)域D

上的保角映射.定理5.1若w=f(z)在z0處解析,且則w=f(z)在z0處是保角映射.若w=f(z)在區(qū)域D解析,且在D內(nèi)則w=f(z)是區(qū)域D上的保角映射.第十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5.1w=z2在z0處是保角映射,但在z=0處不具有保角性.解因?yàn)樗援?dāng)z0時(shí),因此在z0處,w=z2是保角映射.當(dāng)z=0時(shí),在z平面內(nèi)取過(guò)z=0點(diǎn)的兩條射線為(z)(w)(正實(shí)軸)和不保角第十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.1.5關(guān)于保角映射的一般理論實(shí)際上,逆定理也成立.因此映射w=f(z)是區(qū)域D上的保角映射的充分必要條件是f(z)在D內(nèi)解析,并且并且可以證明如果f(z)是區(qū)域D上不恒為常數(shù)的解析函數(shù),則點(diǎn)集G=f(D)是w平面上的區(qū)域,即解析函數(shù)把區(qū)域映射成區(qū)域.第十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六基本問(wèn)題:

(1)給定兩個(gè)區(qū)域D和G,是否存在雙方單值的保角映射,把D映射成G?(存在性問(wèn)題)(2)如果存在這樣的映射,如何求出?(實(shí)現(xiàn)性問(wèn)題)關(guān)于存在性問(wèn)題，有下面的Riemann定理.定理5.2如果D和G分別是z平面和w平面平面上邊界多于一個(gè)點(diǎn)的單連通區(qū)域,則存在雙方單值的保角映射w=f(z),把D映射成G.第十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六Riemann定理中的保角映射f(z)不一定惟一.但如果再加一些條件,如(其中),則存在惟一的保角映射w=f(z),使得注邊界不多于一個(gè)點(diǎn)的情形:(1)擴(kuò)充復(fù)平面(沒(méi)有邊界點(diǎn));(2)擴(kuò)充復(fù)平面除去一個(gè)點(diǎn),例如無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(只有一個(gè)邊界點(diǎn)).第十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六關(guān)于實(shí)現(xiàn)性問(wèn)題,可利用下面的邊界對(duì)應(yīng)原理.定理5.3設(shè)D是z平面內(nèi)由一條分段光滑Jordan曲線C圍成的區(qū)域,f(z)是D及其邊界C上的解析函數(shù)，并把C雙方單值地映射成w平面上的光滑曲線G.如果C的正向映射成G的正向,則在映射w=f(z)下,C

的內(nèi)部區(qū)域D映射成G正向的左側(cè)(若G也是Jordan曲線,則映射成G

的內(nèi)部)區(qū)域;如果C的正向映射成G的負(fù)向,則C的內(nèi)部區(qū)域映射成G

的右側(cè)(若G也是Jordan曲線,則映射成G

的外部)區(qū)域.第十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六D對(duì)于C不是Jordan曲線的情況也可得出類似的邊界對(duì)應(yīng)原理結(jié)論,并且在邊界的個(gè)別點(diǎn)不滿足雙方單值的情況也成立,但在這些點(diǎn)不能保證保角性.例5.2求區(qū)域在映射w=f(z)=z2下的像G=f(D).解顯然,w=z2在D內(nèi)處處可導(dǎo)，且因此f(z)是上保角映射.由Oxy(z)第二十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六D可知,D的邊界COxy(z)Ouv(w)在w平面上的像為因D的內(nèi)點(diǎn)映射成w平面上的點(diǎn)G2i的內(nèi)點(diǎn).又因?yàn)楣蕎=z2.z0.4i根據(jù),應(yīng)該是G的第二十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六§5.2分式線性映射1分式線性映射的概念2幾種簡(jiǎn)單的分式線性映射3分式線性映射的基本性質(zhì)4唯一確定分式線性映射的條件5分式線性映射的典型例子第二十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.2.1分式線性映射的概念稱為分式線性映射.那么映射的值域是w平面上的一點(diǎn).(是復(fù)常數(shù),)注1因?yàn)樗员ＷC了映射是保角映射.否則即w常數(shù),

注2由可得第二十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六即分式線性映射的逆映射也是分式線性映射.注3兩個(gè)分式線性映射復(fù)合仍是分式線性映射第二十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六注4分式線性映射如果c=0,則由知于是其中如果c

0,則其中所以一般的分式線性映射是由下列簡(jiǎn)單的分式線性映射復(fù)合而成:第二十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.2.2幾種簡(jiǎn)單的分式線性映射1.平移映射(為方便起見(jiàn),令w平面與z平面重合)這是擴(kuò)充z平面到擴(kuò)充w平面的雙方單值映射.在此映射下,z沿著復(fù)數(shù)移距離|b|,得到像w.b所表示的向量方向平第二十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.旋轉(zhuǎn)映射(a是實(shí)數(shù)).它把點(diǎn)z以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)a角(a>0時(shí)按逆時(shí)針,a<0時(shí)按順時(shí)針)得到點(diǎn)w.3.相似映射

這是模變化為r倍(r>1時(shí)放大,0<r<1時(shí)縮小),而輻角不變的映射.z對(duì)設(shè)于是所以是旋轉(zhuǎn)映射和相似映射的復(fù)合.第二十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六4.反演變換此映射可分解為和的復(fù)合映射....設(shè)于是所以w1和z的幅角相同,并且故w1是z關(guān)于單位圓周的w與關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.反演映射是擴(kuò)充復(fù)平面到擴(kuò)充復(fù)平面的雙方單值映射.第二十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.2.3分式線性映射的性質(zhì)(1)一一對(duì)應(yīng)分式線性映射是平移、旋轉(zhuǎn)、相似、反演映射的復(fù)合映射，這些都是從擴(kuò)充復(fù)平面到擴(kuò)充復(fù)平面的雙方單值映射.因此,作為這些映射的復(fù)合映射,也是從擴(kuò)充復(fù)平面到擴(kuò)充復(fù)平面的雙方單值映射.(2)保角性對(duì)于分式線性映射當(dāng)時(shí),已知分式線性映射是保角映射.而當(dāng)?shù)诙彭?yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六時(shí),分式線性映射把映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).下面引入曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)交角的概念.設(shè)C1和C2是z平面上過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的曲線,如果C1和C2在反演映射下的像分別為G1和G2,則G1與G2在原點(diǎn)w=0處的交角稱為C1和C2在z=處的交角.當(dāng)c=0時(shí),分式線性映射變?yōu)榇藭r(shí)z=對(duì)應(yīng)于w=.令則第三十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六當(dāng)時(shí),因此，在處保角,故w在z=處保角.

當(dāng)時(shí),在分式線性映射下,對(duì)應(yīng)于w=,同時(shí)z=對(duì)應(yīng)于令則當(dāng)時(shí),第三十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六因此,在處,分式線性映射是保角映射.令則當(dāng)時(shí),故w在處是保角映射,即分式線性映射在z=處是保角映射.

總之,分式線性映射是擴(kuò)充復(fù)平面間的保角映射.第三十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)保圓性保圓性是指在擴(kuò)充復(fù)平面上將圓周映射為圓周的性質(zhì).特別地,將直線看作半徑為無(wú)窮大的圓周.顯然,在平移、旋轉(zhuǎn)、相似映射下保圓性成立.因此,如果能證明反演映射具有保圓性,則分式線性映射就具有保圓性.在直角坐標(biāo)系下,圓和直線方程可統(tǒng)一表示成其中當(dāng)a=0,b與c不全為零時(shí),方程表示直線,而a0,

第三十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六時(shí),方程表示圓,這里的a,b,c,d都是實(shí)常數(shù).

設(shè)在反演映射下,將其代入到圓和直線的統(tǒng)一方程中,整理可得于是第三十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六這是圓或直線在反演映射下的像的方程.當(dāng)d=0,b

與c不全為零時(shí),表示直線，時(shí),表示圓.所以反演映射具有保圓性,從而分式線性映射具有保圓性.(4)保對(duì)稱性設(shè)C是z平面上的圓(包括直線),z1和z2是關(guān)于C的對(duì)稱點(diǎn),在分式線性映射下,w1,w2和G分別是z1,z2和C在w平面上的像,則w1和w2是關(guān)于G的對(duì)稱點(diǎn).第三十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六為分式線性映射的逆映射仍是分式線性映射,具有保要條件是通過(guò)z1和z2的任何圓與圓C直交.下面說(shuō)明分式線性映射的保對(duì)稱性.任取w平面上過(guò)w1和w2的圓周(包括直線).因圓性,所以的原像是z平面上過(guò)z1和z2的的圓周.根據(jù)引理,與C直交.再由分式線性映射的保角性,與C的像與G直交.從而根據(jù)引理,w1和w2關(guān)于圓周G對(duì)稱.不同兩點(diǎn)z1和z2關(guān)于圓周C對(duì)稱的充分必第三十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.2.4惟一決定分式線性映射的條件含有a,b,c,d四個(gè)常數(shù)，其中有三個(gè)是獨(dú)立的常數(shù),因此,給定三個(gè)條件就能惟一確定分式線性映射.(1)分式線性映射的確定分式線性映射設(shè)是擴(kuò)充z平面上三個(gè)互不相同的點(diǎn)，第三十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六是擴(kuò)充w平面上三個(gè)互不相同的點(diǎn),則存在惟一的一個(gè)分式線性映射,將點(diǎn)依次映射成事實(shí)上,如果和都是有限點(diǎn),設(shè)將依次映射成則第三十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六于是第三十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六從中可惟一地解出w,得到分式線性映射.如果和中含有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)用模充分大的有限數(shù)代替,得出形如的分式線性映射,然后讓該點(diǎn)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),即得要證明的結(jié)論.例如,若z3=,則用代替z3,得到分式線性映射，第四十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六令則于是如則理解為1.如則理解為1.第四十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六問(wèn)題圓域內(nèi)部被映射成什么區(qū)域?(2)分式線性映射對(duì)圓域的映射結(jié)論:

在分式線性映射下,C的內(nèi)部不是映射成像G的內(nèi)部就是映射成像G的外部.如果C或G中有直線,則按直線的某一側(cè)來(lái)理解.方法1

在圓周C內(nèi)任取一點(diǎn)z0,如果z0的像w0在G內(nèi)部,則C的內(nèi)部映射成G的內(nèi)部;如果z0的像w0在G外部,則C的內(nèi)部映射G的外部.第四十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六......方法2在C上取三個(gè)點(diǎn)如果環(huán)繞方向與它們的像在G上的環(huán)繞方向相同,則C的內(nèi)部映射成G的內(nèi)部;如果環(huán)繞方向相反,則C的內(nèi)部映射成G的外部..........第四十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六.5.2.5分式線性映射的典型例子例5.3求把上半平面映射成上半平面的分式線性映射.解在x軸上取三點(diǎn)使得它們依次對(duì)應(yīng)于u軸上三點(diǎn)...第四十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六于是所求的分式線性映射為化簡(jiǎn)可得注如果選取其他三對(duì)不同點(diǎn),也能求出滿足要求,但形式不同的的分式線性映射.并且與的環(huán)繞方向相同.w=az+b(a>0,b為實(shí)數(shù)),即相似和平移映射也滿足要求.但它們是平凡的,沒(méi)有實(shí)際意義.第四十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六......例5.4求把上半平面映射成單位圓內(nèi)部的分式線性映射.解在x軸上取三點(diǎn)使得它們依次對(duì)應(yīng)于u軸上三點(diǎn)(方法一)第四十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六于是所求的分式線性映射為化簡(jiǎn)可得并且與的環(huán)繞方向相同.注同樣,如果選取其他三對(duì)不同點(diǎn),也能求出滿足要求,但形式不同的的分式線性映射.第四十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六方法二解實(shí)軸映射成單位圓周.設(shè)上半平面中的點(diǎn)...a關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)映射成w=0關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)z=.

z=a映射成圓心w=0,由保對(duì)稱性和,第四十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六上半平面映為單位圓內(nèi)部的分式線性映射一般形式說(shuō)明則所求映射為其中k是待定常數(shù).由于映射成上的點(diǎn),所以

設(shè)(q為實(shí)數(shù)),則取時(shí),取時(shí),(與方法一相同)第四十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5.5求把上半平面映射成圓域內(nèi)部的分式線性映射,使解由例5.4中的解法二可知，映射把上半平面映射成單位圓內(nèi)部1再作相似映射與平移映射，得(q

為實(shí)數(shù))第五十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六這樣,映射成且因?yàn)樵儆梢阎獥l件可見(jiàn)即所以要求的分式線性映射是第五十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六...例5.6求把單位圓內(nèi)部映射成單位圓內(nèi)部的分式線性映射.解在內(nèi)取一點(diǎn)z1=a0,設(shè)z1的像為w1=0.因?yàn)閦1=a關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)是而條件第五十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六...要求分式線性映射把映射成所以根據(jù)分式線性映射的保對(duì)稱性,映射成w1=0關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)這樣的分式線性映射為第五十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六其中是復(fù)常數(shù).容易驗(yàn)證,當(dāng)時(shí),因?yàn)橛成涑伤援?dāng)時(shí),設(shè)(q

為實(shí)數(shù)),則所求的分式線性映射為(q

為實(shí)數(shù)).注旋轉(zhuǎn)映射(q為實(shí)數(shù))也滿足要求.但它是平凡的,沒(méi)有實(shí)際意義.第五十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5.7求一個(gè)分式線性映射,把由兩圓周所圍成的偏心圓環(huán)域D映射成中心在w=0的同心圓環(huán)域G,且使其外半徑為1.yx(z)ODuv(w)OG第五十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六解設(shè)所求分式線性映射把z平面內(nèi)兩點(diǎn)z1和z2

分別映射成w平面內(nèi)的w1=0和w2=.由于w1和w2同同時(shí)關(guān)于同心圓環(huán)域G的兩個(gè)邊界圓周對(duì)稱,由分式線性映射的保對(duì)稱性,z1和z2應(yīng)同時(shí)關(guān)于圓周C1和C2對(duì)稱.因此,z1和z2應(yīng)在C1和C2的圓心連線上，即在實(shí)軸上,設(shè)根據(jù)對(duì)稱性解方程得(或).下面只考慮的情形.第五十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六由可知圓周C2映射成外邊界這時(shí)于是所求的分式線性映射的形式為(k為復(fù)常數(shù)).因?yàn)閦=0在和的內(nèi)部,在C2取則于是由此可得即(q

為實(shí)數(shù)).第五十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六§5.3幾個(gè)初等函數(shù)所構(gòu)成的映射1冪函數(shù)構(gòu)成的映射2指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)構(gòu)成的映射第五十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.3.1冪函數(shù)構(gòu)成的映射為了討論方便,在本節(jié)中設(shè)的取值范圍為冪函數(shù)在全平面解析，且如果則故該映射在點(diǎn)處處保角.下面討論點(diǎn).設(shè)則在映射下,根式取為主值,整數(shù)第五十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六的射線映射成w平面上的射線特別地,把正實(shí)軸映射成正實(shí)軸因此故在z=0點(diǎn)不具有保角性.))由此可見(jiàn),映射把z平面上以原點(diǎn)為起點(diǎn)映射將角形區(qū)域映射成角形區(qū)域第六十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六O特殊情況:)上岸沿正實(shí)軸割開的w平面下岸角形區(qū)域角形區(qū)域映射成正實(shí)軸的上岸映射成正實(shí)軸的下岸第六十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六角形區(qū)域上半平面)同時(shí),把z平面上的圓周映射成w

平面上的圓周在區(qū)域內(nèi),是雙方單值的保角映射.第六十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六用類似的方法可以討論它也是把角形區(qū)域映射成角形區(qū)域的映射,不同點(diǎn)只是角形區(qū)域的頂角變成原來(lái)頂角的實(shí)際上它是的逆映射.))若將角形區(qū)域映射成角形區(qū)域,一般應(yīng)用冪函數(shù).第六十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5.8求把角形區(qū)域映射成單位圓內(nèi)部的雙方單值保角映射.解因此所求映射為)?第六十四頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六例5.9求把在單位圓的內(nèi)部,從原點(diǎn)沿正實(shí)軸的半徑上有割痕的區(qū)域(即在單位圓內(nèi)去掉)映射成單位圓內(nèi)部的雙方單值保角映射.O(z)O(w)?第六十五頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六O(z)O(z1)O(z2)O(z3)O(z4)O(w)解第六十六頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六5.3.2指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

構(gòu)成的映射

指數(shù)函數(shù)在全平面解析,且處處不為零.因此,它是全平面上的保角映射.設(shè)則OOx0(1)第六十七頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六OO(2)(3)設(shè)雙方單值

OO帶形區(qū)域角形區(qū)域第六十八頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六OOOO特殊情形雙方單值

雙方單值

帶形區(qū)域平面從原點(diǎn)沿正實(shí)軸有割痕區(qū)域上半平面第六十九頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六若將帶形區(qū)域映射成角形區(qū)域,一般應(yīng)用指數(shù)函數(shù).例5.10求把帶形區(qū)域映射成單位圓內(nèi)部的雙方單值保角映射.O?解O因此所求映射為第七十頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六區(qū)域上指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)主值在復(fù)平面除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的區(qū)域D內(nèi),因此,D是D上的保角映射.對(duì)數(shù)函數(shù)可以把角形區(qū)域映射成帶形區(qū)域.第七十一頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六OOO平面從原點(diǎn)沿負(fù)實(shí)軸有裂痕區(qū)域雙方單值

O雙方單值

帶形區(qū)域上半平面第七十二頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六§5.4保角映射舉例例5.11求把和的公共部分映射成上半平面的雙方單值保角映射.OO?解圓和交于兩點(diǎn)第七十三頁(yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六并且交角等于因此，映射把與分別映射成平面上的原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),而將所給區(qū)域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形區(qū)域,且頂角等于當(dāng)z=0時(shí),應(yīng)在角形區(qū)域的平分線上,所以負(fù)實(shí)軸為該角形區(qū)域的角平分線.于是該角形區(qū)域?yàn)榈谄呤捻?yè)，共八十九頁(yè)，編輯于2023年，星期六OOOO第七十五頁(yè)，共八