基數(shù)與實(shí)數(shù)理論

基數(shù)與實(shí)數(shù)理論第一頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五集合

集合論自十九世紀(jì)八十年代由德國(guó)數(shù)學(xué)家Cantor創(chuàng)立以來(lái)，已發(fā)展成一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，其基本概念與方法已滲入到二十世紀(jì)的各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域。集合論是研究集合的各種性質(zhì)，它的初期工作與數(shù)學(xué)分析的深入研究密切相關(guān)。第二頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五理發(fā)師悖論

1900年H.Poincare：現(xiàn)在，我們能夠說(shuō)完全嚴(yán)格性已達(dá)到了。1903年Russell提出“理發(fā)師悖論”。一個(gè)鄉(xiāng)村理發(fā)師，自夸無(wú)人可比，他宣稱(chēng)自己當(dāng)然不給自己刮臉的人刮臉，但卻給所有自己不刮臉的刮臉。有一天，他發(fā)生了疑問(wèn)：他是不是應(yīng)該給自己刮臉?第三頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五集合的公理系統(tǒng)--ZFC系統(tǒng)自Russell悖論后，許多數(shù)學(xué)家為擺脫這一危機(jī)而努力工作。途徑為:對(duì)Cantor的集合論加以改造，引進(jìn)新的理論體系。Zermelo在1908年提出七條公理Fraenkel加入代換公理AxiomofChoice(選擇公理)。第四頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五ZFC系統(tǒng)1917年法國(guó)數(shù)學(xué)家米里馬諾夫提出了一個(gè)悖論，vonNeumann又引入了正則公理，至此的公理系統(tǒng)最終建立起來(lái)。第五頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五附:自然數(shù)的Peano公理設(shè)是一非空集合，且1)在內(nèi)存在一個(gè)特定元素，記為0;2)存在到自身的一個(gè)映射使下面三條公理滿足:a)對(duì)任意

b)是一個(gè)單射第六頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Peano公理

C)(歸納公理)如果的一個(gè)子集S

具備如下條件:I)Ii)若,則,

那么,必有此時(shí),稱(chēng)是一個(gè)自然數(shù)系,內(nèi)的元素稱(chēng)為自然數(shù).第七頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五集合的基數(shù)(勢(shì))映射(雙射

對(duì)等兩個(gè)集合A和B，若存在雙射則稱(chēng)A與B對(duì)等，記第八頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五1、若A與對(duì)等，則稱(chēng)A為有限集，其基數(shù)為n，否則，稱(chēng)之為無(wú)限集。對(duì)等第九頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五命題

設(shè)A和B為同基數(shù)的有限集，若為單射，則必為滿射。反之，若為滿射，則必為單射。對(duì)等第十頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)想有一群鴿子，和等數(shù)的鴿籠，則上命題知：如果每一鴿子一一進(jìn)籠，則鴿籠必?zé)o空者；反之，如鴿籠皆無(wú)空者，則必然每一籠子中僅有一只鴿子。

鴿籠原理第十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、若A與正整數(shù)集對(duì)等，則稱(chēng)A為可數(shù)集，否則為不可數(shù)集（在無(wú)限集中討論）。

可數(shù)、不可數(shù)第十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理Th1.有理數(shù)集Q是可數(shù)(無(wú)限)集。Th2.可數(shù)多個(gè)可數(shù)集的并集是可數(shù)的。Th3.實(shí)數(shù)集R是不可數(shù)集。第十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Cantor-Bernstein定理Th4.(Cantor-Bernstein)

若集合A與集合B的某真子集對(duì)等，B與A的某個(gè)真子集對(duì)等，則A~B。第十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理Th6.

集合A為無(wú)限集A與其一真子集對(duì)等。Th5.設(shè)A是無(wú)限集，B是可數(shù)集，則與A對(duì)等。

第十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五部分與整體無(wú)窮大的世界里，部分可能等于整體。

“整體多于部分”這一法則被破壞，表明無(wú)限集合具有本質(zhì)上異于有限集合的特性。從有限過(guò)渡到無(wú)限，完全符合辯證的規(guī)律——性質(zhì)的質(zhì)變。第十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Hilbert旅館設(shè)想一旅店內(nèi)有限個(gè)房間，而所有的房間都已客滿。這時(shí)來(lái)了位房客，“對(duì)不起”，旅店主說(shuō)，“所有的房間都住滿了?，F(xiàn)設(shè)想另一家旅店內(nèi)設(shè)有(可數(shù))無(wú)限個(gè)房間，所有房間都住滿了。這時(shí)候也有一新客來(lái)住，想訂房間。旅店主說(shuō)：“非常對(duì)不起?！钡谑唔?yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Hilbert旅館

正好這時(shí)候，聰明的旅店主的女兒說(shuō)：“這好辦（不成問(wèn)題）?！鞭k法:她把一號(hào)房間的旅客移至二號(hào)房間，二號(hào)房間的旅客移至三號(hào)房間，等等。這一來(lái)，新客就住進(jìn)了已被騰空的一號(hào)房間。第十八頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Hilbert旅館又來(lái)了(可數(shù))無(wú)窮多位要求訂房間的客人，旅店的女兒采用如下辦法:一號(hào)房間的旅客移到二號(hào)房間，二號(hào)房間的旅客移到四號(hào)房間，三號(hào)房間的旅客移到六號(hào)房間，等等?，F(xiàn)在，所有單號(hào)房間都騰空出來(lái)了。從而新來(lái)的無(wú)窮多位客人可住進(jìn)去了。第十九頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Hilbert旅館這(可數(shù))無(wú)窮多位旅客想每個(gè)人可數(shù)無(wú)數(shù)間房來(lái)安排他們的親戚朋友。女兒想了很久，終于想出了辦法。后來(lái)，女兒進(jìn)入大學(xué)數(shù)學(xué)系。有一天，Cantor教授上課，他問(wèn)：“要是區(qū)間上每一點(diǎn)要占一個(gè)房間，是不是還能安排？”她絞盡腦汁，也無(wú)法安排。不可數(shù)第二十頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五無(wú)最大基數(shù)定理Th7.若A是非空集合，則A與其冪集（由A的一切子集所構(gòu)成的集合）不對(duì)等。第二十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五基數(shù)，，在（N的基數(shù)）與c（R的基數(shù)）之間是否還存在其它基數(shù)？

連續(xù)統(tǒng)假設(shè)：與c之間不存在別的基數(shù)。

第二十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五連續(xù)統(tǒng)假設(shè)

1900年Hilbert在他的著名演講中列舉了23個(gè)未解決的問(wèn)題，第一個(gè)便是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。

Godel在1940年指出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與ZFC的相容性；1963年Cohen證明它的獨(dú)立性。第二十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Godel第一不完全性定理1931年Godel指出：任一足以包含自然數(shù)算術(shù)的形式系統(tǒng)，如果是相容的，則它一定存在有不可判定命題。即存在某一命題A，使A與A的否定在該系統(tǒng)中皆不可證。第二十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Godel第二不完全性定理1931年Godel指出：如果一個(gè)足以包含自然數(shù)算術(shù)的公理系統(tǒng)是相容的，那么這種相容性在該系統(tǒng)內(nèi)是不可證明的.第二十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五不等式1、三角形不等式:

第二十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、第二十七頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

Young不等式3.Young不等式：

(p，q為相伴數(shù)),

第二十八頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Holder不等式4.Holder不等式:p,q為相伴數(shù),第二十九頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Holder不等式積分型Holder不等式:p,q為相伴數(shù),第三十頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Minkowshi不等式5.Minkowshi不等式:

第三十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Minkowshi不等式積分型Minkowshi不等式:

第三十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五直線上的點(diǎn)集實(shí)數(shù)理論十九世紀(jì)后半葉嚴(yán)格解決：什么是實(shí)數(shù)？

1、Cantor,Meray,Weierstrass;2、Dedekind理論第三十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五實(shí)數(shù)理論定義

設(shè)都是有理數(shù)。假設(shè)對(duì)任意的正有理數(shù)，存在自然數(shù)，使得當(dāng)時(shí)不等式成立，就稱(chēng)是基本有理數(shù)列。

第三十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五實(shí)數(shù)理論設(shè)和是兩個(gè)基本有理數(shù)列，若對(duì)任一正有理數(shù)，有自然數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，不等式成立，就稱(chēng)基本有理數(shù)列和相等，記。第三十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五實(shí)數(shù)

稱(chēng)基本有理數(shù)列是一個(gè)實(shí)數(shù)，規(guī)定相等的基本有理數(shù)列是同一實(shí)數(shù)。第三十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五引理引理1

兩個(gè)基本有理數(shù)列和，那么也都是基本有理數(shù)列；第三十七頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五引理引理2

若基本有理數(shù)列滿足則

第三十八頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五實(shí)數(shù)域定義

設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，稱(chēng)實(shí)數(shù)為“加”（和），記。稱(chēng)為乘（積），記（引理說(shuō)明合理性）第三十九頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五實(shí)數(shù)域定理實(shí)數(shù)全體按上述的加法及乘法成為一個(gè)域。（——Abel群;——Abel群;乘法與加法之間的分配律）。第四十頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五開(kāi)集鄰域：稱(chēng)為的鄰域。內(nèi)點(diǎn)：存在的一個(gè)鄰域則稱(chēng)集的內(nèi)點(diǎn)。開(kāi)集：集合的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)。第四十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五聚點(diǎn)聚點(diǎn)：的任意的鄰域中都含有中異于的一個(gè)點(diǎn)，則稱(chēng)為的聚點(diǎn)。

a的任意的鄰域中都含有A中無(wú)限多個(gè)點(diǎn)第四十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五閉包、閉集閉包：設(shè)表示的一切聚點(diǎn)所成之集，則的閉包定義為閉集：如果的余集是開(kāi)集，則稱(chēng)為閉集。定理：為閉集的充分條件是第四十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Cantor三分集

將均分為三段，刪去中間的開(kāi)區(qū)間，剩下兩個(gè)閉區(qū)間和，又把這兩個(gè)部分都均分成三段，刪去中間的開(kāi)區(qū)間和。如此下去……第四十四頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Cantor三分集自然有些點(diǎn)是永遠(yuǎn)刪不去的(被刪去的開(kāi)區(qū)間的端點(diǎn))，所有這些永遠(yuǎn)刪不去的點(diǎn)所成的集稱(chēng)為Cantor集。第四十五頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Cantor三分集

Cantor三分集在現(xiàn)代分析中是一個(gè)十分典型而有用的集合。它是一個(gè)最經(jīng)典的自相似集，在分形幾何中具有重要地位。然而，經(jīng)典的分析卻把它看成是“病態(tài)”的集合，而將它排除在研究和討論的問(wèn)題之外。第四十六頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Cantor三分集事實(shí)上,Cantor三分集有許多重要性質(zhì)：它是一個(gè)不可數(shù)的、無(wú)孤立點(diǎn)的、無(wú)內(nèi)點(diǎn)的閉集，因此是一個(gè)完備疏集。其Lebesgue測(cè)度為0，Hausdorff測(cè)度為1，Hausdorff維數(shù)為。第四十七頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五曲線Jordan給出“平面曲線”的如下定義：一條平面曲線是平面上那些坐標(biāo)和由方程所給出的點(diǎn)的總體。其中是閉區(qū)間上的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，這樣的曲線為連續(xù)曲線。第四十八頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五Peano曲線Peano曲線：適當(dāng)選擇地連續(xù)函數(shù)和時(shí)連續(xù)曲線可填滿一個(gè)正方形。第四十九頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

實(shí)數(shù)理論正是由于極限運(yùn)算而出現(xiàn)的。例如一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)列，如果有上界，是否一定有極限。從幾何的直觀上這個(gè)問(wèn)題似乎是顯而易見(jiàn)的，但若要求給出嚴(yán)格的邏輯證明卻又發(fā)生困難。這樣必須要有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理第五十頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五論，給極限論以堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

Cantor提出的這種用一列數(shù)來(lái)規(guī)定一個(gè)數(shù)的思想不僅為實(shí)數(shù)建立了嚴(yán)格的理論，而且這個(gè)方法已被泛函分析和其它學(xué)科推廣了。第五十一頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五極限理論定義設(shè)是一實(shí)數(shù)列，如果有實(shí)數(shù)，適合如下條件：對(duì)于任何正實(shí)數(shù)，有自然數(shù)，得當(dāng)時(shí)，成立那么稱(chēng)實(shí)數(shù)列收斂于極限，記

第五十二頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五上確界若是的一個(gè)上界，且對(duì)的任一上界，均有，則稱(chēng)為的上確界，記。這等價(jià)于是它的最小上界是的一個(gè)上界;比小的任何數(shù)都不是的上界。第五十三頁(yè)，共五十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五定理確界存在定理有上（下）