2021年新教材高中數(shù)學第六章6.2.2向量的減法運算學案新人教A版必修第二冊37

6．2.2向量的減法運算[目標]1.知道相反向量的定義；2.記住向量減法法則及其幾何意義；3.能夠用向量減法法則及意義求兩向量的差．[重點]向量減法法則及其幾何意義．[難點]向量減法法則及其幾何意義的應用．要點整合夯基礎知識點一相反向量[填一填](1)我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.[答一答]1．(1)相反向量就是方向相反的向量嗎？(2)若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b嗎？提示：(1)不是．相反向量是方向相反且長度相等的向量．(2)若|a|＝|b|，則a，b不一定共線，有可能a≠b且a≠－b.知識點二向量的減法及其幾何意義[填一填]1．向量減法的定義求兩個向量差的運算叫做向量的減法．我們定義，a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．2．向量減法的幾何意義(1)三角形法則如圖，已知a、b，在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up15(→))＝a－b，即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．(2)平行四邊形法則如圖①，設向量eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，eq\o(AC,\s\up15(→))＝a，則eq\o(AD,\s\up15(→))＝－b，由向量減法的定義，知eq\o(AE,\s\up15(→))＝a＋(－b)＝a－b.又b＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝a，所以eq\o(BC,\s\up15(→))＝a－b.如圖②，理解向量加、減法的平行四邊形法則：在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up15(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up15(→))＝a－b.[答一答]2．在代數(shù)運算中的移項法則，在向量中是否仍然成立？提示：含有向量的等式稱為向量等式，在向量等式的兩邊都加上或減去同一個向量，仍得到向量等式．移項法則對向量等式也是適用的．3．類似于向量和的三角形不等式，向量差是否也存在三角形不等式呢？提示：向量差也存在三角形不等式．對于任意a，b，不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|成立，并且當a，b同向且|a|≥|b|，|a|－|b|＝|a－b|.當a，b共線且反向時，|a－b|＝|a|＋|b|.典例講練破題型類型一向量減法的幾何意義[例1]如下圖，已知向量a、b、c，求作向量a＋c－b.[分析]先作差向量c－b，再把它平移，使其起點與a的終點重合，然后利用三角形法則可得向量a＋(c－b)．[解]如圖，在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝c，連接BC，則eq\o(BC,\s\up15(→))＝c－b，過點A作AD綉B(tài)C，則eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→)).∴eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝a＋c－b.求作幾個已知向量的和與差，一般先將這幾個向量的起點平移到同一點O，然后兩兩組合，作出它們的和或差，依次累進就可得出所求作的向量.其中作圖的先后次序可任意確定，作圖過程不是唯一的.[變式訓練1]如圖，設O為四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點，若eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，eq\o(OD,\s\up15(→))＝c，則eq\o(OB,\s\up15(→))＝a－b＋c.解析：由于eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(DB,\s\up15(→))－eq\o(DO,\s\up15(→))，而eq\o(DB,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))＝a－b，eq\o(DO,\s\up15(→))＝－eq\o(OD,\s\up15(→))＝－c，所以eq\o(OB,\s\up15(→))＝a－b＋c.類型二向量減法的運算[例2]化簡：(1)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(MO,\s\up15(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(DC,\s\up15(→)).[分析]解答本題可先去括號，再利用相反向量及加法交換律、結合律化簡．[解](1)解法一：原式＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OM,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→)))＋(eq\o(OM,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→)))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→)).解法二：原式＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(MO,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋(eq\o(MB,\s\up15(→))－eq\o(MO,\s\up15(→)))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋(eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up15(→)).(2)解法一：原式＝eq\o(DB,\s\up15(→))－eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→)).解法二：原式＝eq\o(AB,\s\up15(→))－(eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→)).滿足下列兩種形式時可以化簡：1首尾相接且為和；2起點相同且為差.,做題時要注意觀察是否有這兩種形式.同時要注意逆向應用，統(tǒng)一向量起點方法的應用.[變式訓練2]化簡：(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→)))－(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→)))．解：(eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→)))－(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝0.類型三向量加減法的綜合運用[例3]已知O為四邊形ABCD所在平面外的一點，且向量eq\o(OA,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(OD,\s\up15(→))滿足eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))，則四邊形ABCD的形狀為________．[分析]向量a＋b，a－b的幾何意義在證明、運算中具有重要的應用．對于平行四邊形、菱形、矩形、正方形對角線具有的性質要熟悉并會應用．基本思路是：先對向量條件化簡、轉化，再找(作)圖形(三角形或平行四邊形)，確定圖形的形狀，利用圖形的幾何性質求解．[解析]∵eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))，∴eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→))，∴eq\o(DA,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→)).∴|eq\o(DA,\s\up15(→))|＝|eq\o(CB,\s\up15(→))|，且DA∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．[答案]平行四邊形1利用向量證明線段平行且相等從而證明四邊形為平行四邊形，只需證明對應有向線段所表示的向量相等即可.2根據(jù)圖形靈活應用向量的運算法則，找到向量之間的關系是解決此類問題的關鍵.[變式訓練3]已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜邊AB的中點，eq\o(CM,\s\up15(→))＝a，eq\o(CA,\s\up15(→))＝b.求證：(1)|a－b|＝|a|.(2)|a＋(a－b)|＝|b|.證明：在等腰直角三角形ABC中，由M是斜邊AB的中點，得|eq\o(CM,\s\up15(→))|＝|eq\o(AM,\s\up15(→))|，|eq\o(CA,\s\up15(→))|＝|eq\o(CB,\s\up15(→))|.(1)在△ACM中，eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\o(CM,\s\up15(→))－eq\o(CA,\s\up15(→))＝a－b.于是由|eq\o(AM,\s\up15(→))|＝|eq\o(CM,\s\up15(→))|，得|a－b|＝|a|.(2)在△MCB中，eq\o(MB,\s\up15(→))＝eq\o(AM,\s\up15(→))＝a－b，所以eq\o(CB,\s\up15(→))＝eq\o(MB,\s\up15(→))－eq\o(MC,\s\up15(→))＝a－b＋a＝a＋(a－b)．從而由|eq\o(CB,\s\up15(→))|＝|eq\o(CA,\s\up15(→))|，得|a＋(a－b)|＝|b|.課堂達標練經典1．若非零向量a，b互為相反向量，則下列說法錯誤的是(C)A．a∥b B．|a|＝|b|C．|a|≠|b| D．b＝－a解析：∵長度相等，方向相反的向量叫做相反向量，∴選項C錯誤．2．如圖所示，已知六邊形ABCDEF是一個正六邊形，O是它的中心，其中eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝c，則eq\o(EF,\s\up15(→))等于(D)A．a＋bB．b－aC．c－bD．b－c解析：由題圖知eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→))＝b－c.3．在△ABC中，D是BC的中點，設eq\o(AB,\s\up15(→))＝c，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，eq\o(BD,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝d，則d－a＝c，d＋a＝b.解析：d－a＝eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DB,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＝c，d＋a＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＝b.4．四邊形ABCD是邊長為1的正方形，則|eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))|＝eq\r(2).解析：|eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))|＝|eq\o(DB,\s\up15(→))|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).5．如圖，已知eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝c，eq\o(OD,\s\up15(→))＝d，eq\o(OF,\s\up15(→))＝f，試用a，b，c，d，f表示以下向量：(1)eq\o(AC,\s\up15(→))；(2)eq\o(AD,\s\up15(→))；(3)eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))；(4)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CF,\s\up15(→))；(5)eq\o(BF,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→)).解：(1)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝c－a.(2)eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝d－a.(3)eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))＝d－b.(4)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(CF,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OF,\s\up15(→))－eq\o(OC,\s\up15(→))＝b－a＋f－c.(5)eq\o(BF,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(OF,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))－(eq\o(OD,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→)))＝eq\o(OF,\s\up15(→))－eq\o(OD,\s\up15(→))＝f－d.——本課須掌握的三大問題1．向量減法的實質是向量加法的逆運算．利用相反向量的定義，－eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(BA,\s\up15(→))就可以把減法轉化為加法．即：減去一個向量等于加上這個向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法則作向量減法時，要注意“差向量連接兩向量的終點，箭頭指向被減數(shù)”．解題時要結合圖形，準確判斷，防止混淆．3．以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB、AD分別表示向量eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，則兩條對角線表示的向量為eq\o(AC,\s\up15(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up15(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up15(→))＝a－b，這一結論在以后應用非常廣泛，應該加強理解并記?。畬W科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂|a±b|與|a|，|b|的關系開講啦(1)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，當a與b方向相反且|a|≥|b|時，|a|－|b|＝|a＋b|；當a與b方向相同時，|a＋b|＝|a|＋|b|.(2)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，當a與b方向相同且|a|≥|b|時，|a|－|b|＝|a－b|；當a與b方向相反時，|a－b|＝|a|＋|b|.[典例]已知|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝6，|eq\o(CD,\s\up15(→))|＝9，求|eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))|的取值范圍．[分析]本