人教A版選擇性必修第一冊(cè)第二章第13課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用作業(yè)

第13課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用1．y＝|x|的圖象和圓x2＋y2＝4所圍成的較小的面積是(D)A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(3π,2)D．π解析：數(shù)形結(jié)合，所求面積是圓x2＋y2＝4面積的eq\f(1,4).2．點(diǎn)A(－1，1)和圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光線從A經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程是(B)A．6eq\r(2)－2B．8C．4eq\r(6)D．10解析：點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(－1，－1)，A′與圓心(5，7)的距離為eq\r(〔5＋1〕2＋〔7＋1〕2)＝10.所以所求最短路程為10－2＝8.3．圓(x－1)2＋(y＋2)2＝8上到直線x＋y＋1＝0的距離等于eq\r(2)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(D)A．1B．2C．3D．4解析：由題意，圓心坐標(biāo)為(1，－2)，半徑為2eq\r(2)，所以圓心到直線x＋y＋1＝0的距離為d＝eq\f(|1－2＋1|,\r(2))＝0，所以圓(x－1)2＋(y＋2)2＝8上到直線x＋y＋1＝0的距離等于eq\r(2)的點(diǎn)共有4個(gè)．應(yīng)選D.4．M＝{(x，y)|y＝eq\r(9－x2)，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，假設(shè)M∩N≠?，那么實(shí)數(shù)b的取值范圍是(－3，3eq\r(2)].解析：數(shù)形結(jié)合法，留意y＝eq\r(9－x2)，y≠0等價(jià)于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的圖形是圓x2＋y2＝9在x軸之上的局部(如下圖)．結(jié)合圖形不難求得，當(dāng)－3<b≤3eq\r(2)時(shí)，直線y＝x＋b與半圓x2＋y2＝9(y>0)有公共點(diǎn)．5．據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)：在A城正東方300km的海面B處有一臺(tái)風(fēng)中心，正以每小時(shí)40km的速度向西北方向移動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心250km以內(nèi)的地區(qū)將受其影響．求：從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)約多少小時(shí)，臺(tái)風(fēng)將影響A城？持續(xù)時(shí)間約為多少小時(shí)？(結(jié)果精確到0.1h)解析：以B為原點(diǎn)，正東方向所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，那么臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)軌跡是y＝－x，受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域邊界的曲線方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.依題意有(－300－a)2＋a2≤2502，解得－150－25eq\r(14)≤a≤－150＋25eq\r(14)，所以t1＝eq\f(\r(2)|a1|,40)＝eq\f(\r(2)|－150＋25\r(14)|,40)≈2.0，Δt＝eq\f(\r(2)|a2－a1|,40)＝eq\f(\r(2)×50\r(14),40)≈6.6，所以從現(xiàn)在起經(jīng)過(guò)約2.0h，臺(tái)風(fēng)將影響A城，持續(xù)時(shí)間約為6.6h.6．(多項(xiàng)選擇)在同始終角坐標(biāo)系中，直線y＝ax＋a2與圓(x＋a)2＋y2＝a2的位置不行能為(ABD)A.B.C.D.解析：由題意，可得a2>0，直線y＝ax＋a2明顯過(guò)點(diǎn)(0，a2)，故ABD均不行能．7．假設(shè)C為半圓直徑AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|AB|＝|BC|＝2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作半圓的切線，切點(diǎn)為Q，假設(shè)|PC|＝eq\r(3)|PQ|，那么△PAC面積的最大值為eq\r(33).解析：由題意，以AB所在的直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系．由于|AB|＝|BC|＝2，所以C(3，0)，設(shè)P(x，y)，由于過(guò)點(diǎn)P作半圓的切線PQ，且|PC|＝eq\r(3)|PQ|，所以eq\r(〔x－3〕2＋y2)＝eq\r(3)·eq\r(x2＋y2－1)，整理，得x2＋y2＋3x－6＝0，所以點(diǎn)P的軌跡方程是以(－eq\f(3,2)，0)為圓心，以r＝eq\f(1,2)eq\r(9＋24)＝eq\f(\r(33),2)為半徑的圓，所以當(dāng)點(diǎn)P在直線x＝－eq\f(3,2)上時(shí)，△PAC的面積最大，最大值為S△PAC＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(33),2)＝eq\r(33).8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為20米，圓O的半徑為1米，圓心是正方形的中心，點(diǎn)P，Q分別在線段AD，CB上，假設(shè)線段PQ與圓O有公共點(diǎn)，那么稱點(diǎn)Q在點(diǎn)P的“盲區(qū)〞中．點(diǎn)P以1.5米/秒的速度從A動(dòng)身向D移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q以1米/秒的速度從C動(dòng)身向B移動(dòng)，那么在點(diǎn)P從A移動(dòng)到D的過(guò)程中，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的盲區(qū)中的時(shí)長(zhǎng)約為多少秒(精確到0.1)?解析：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，可設(shè)點(diǎn)P(－10，－10＋1.5t)，Q(10，10－t)，可得出直線PQ的方程為y－10＋t＝eq\f(20－2.5t,20)(x－10)，圓O的方程為x2＋y2＝1，由直線PQ與圓O有公共點(diǎn)，可得eq\f(|\f(2.5t－20,2)－t＋10|,\r(1＋〔\f(20－2.5t,20)〕2))≤1，化為3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤eq\f(8\r(7)－8,3)，而eq\f(8\r(7)－8,3)≈4.4，因此，點(diǎn)Q在點(diǎn)P的盲區(qū)中的時(shí)長(zhǎng)約為4.4秒．9．如圖，一艘海監(jiān)船O上配有雷達(dá)，其監(jiān)測(cè)范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東40km的A處動(dòng)身，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.問(wèn)：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到？假設(shè)能，持續(xù)時(shí)間多長(zhǎng)？(要求用坐標(biāo)法)解析：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤軸建立平面直角坐標(biāo)系，那么A(40，0)，B(0，30)，圓O的方程為x2＋y2＝252.直線AB的方程為eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.設(shè)O到AB的距離為d，那么d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到．設(shè)監(jiān)測(cè)時(shí)間為t，那么t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)．故外籍輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到，持續(xù)時(shí)間是0.5h.10．(多項(xiàng)選擇)瑞士聞名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始終線上．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，|AB|＝|AC|＝4，點(diǎn)B(－1，3)，點(diǎn)C(4，－2)，且其歐拉線與圓M：(x－3)2＋y2＝r2相切，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是(AD)A．圓M上點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的最小距離為2eq\r(2)B．圓M上點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的最大距離為3eq\r(2)C．圓M上到直線BC的距離為eq\f(1,2)的點(diǎn)有且僅有2個(gè)D．假設(shè)點(diǎn)(x，y)在圓M上，那么x＋eq\r(3)y的最小值是3－2eq\r(2)解析：由|AB|＝|AC|可得△ABC的外心、重心、垂心均在線段BC的垂直平分線上，即△ABC的歐拉線即為線段BC的垂直平分線．由點(diǎn)B(－1，3)，點(diǎn)C(4，－2)可得線段BC的中點(diǎn)為(eq\f(3,2)，eq\f(1,2))，且直線BC的斜率kBC＝eq\f(3＋2,－1－4)＝－1，所以線段BC的垂直平分線的斜率k＝1，所以線段BC的垂直平分線的方程為y－eq\f(1,2)＝x－eq\f(3,2)，即x－y－1＝0.又圓M：(x－3)2＋y2＝r2的圓心為(3，0)，半徑為r，所以點(diǎn)(3，0)到直線x－y－1＝0的距離為eq\f(|3－1|,\r(2))＝eq\r(2)＝r，所以圓M：(x－3)2＋y2＝2.對(duì)于A，B，圓M的圓心(3，0)到直線x－y＋3＝0的距離d＝eq\f(|3＋3|,\r(2))＝3eq\r(2)，所以圓上的點(diǎn)到直線x－y＋3＝0的最小距離為3eq\r(2)－eq\r(2)＝2eq\r(2)，最大距離為3eq\r(2)＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線BC的方程為y－3＝－(x＋1)，即x＋y－2＝0，圓心M(3，0)到直線BC的距離為eq\f(|3＋0－2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，而eq\f(\r(2),2)＞eq\f(1,2)，所以圓M上到直線BC的距離為eq\f(1,2)的點(diǎn)有4個(gè)