高等數(shù)學(xué)第六版(同濟(jì)版)第六章復(fù)習(xí)資料

nnnb定nnnb引入前面學(xué)習(xí)了定積分的理論這一章要應(yīng)用這些理論來(lái)分析和解決一些實(shí)際問題中出現(xiàn)的量.定積分計(jì)算這些量，必須把它們表示成定積分，先介紹將所求量表示成定積分的方法——元素法.定積分的元素法我們先用定積分的引例——曲邊梯形的面積，引出元素以及元素法的概念：一、元素及元素法1素：由連續(xù)曲線f(x(f(x)0)與直線以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為：f(diiiiiiii

a

x)由微分知識(shí)得

)，稱iif()x面積元素或面積微元,記()x2元素法：用元素法將所求量表示成定積分的方法，稱為元素法由此可知，曲邊梯形的面積是將面積微元累加得到的下面我們通過曲邊梯形的面積來(lái)總結(jié)出實(shí)際問題中所求的量能用定積分表示的條件：二、用元素法將所求量能表示成定積分的條件：設(shè)所求量U)1．與變量x的所在區(qū)[b]有;2．對(duì)于區(qū)[,]具有可加性；3．U的部分量有近似值，即f(ii

.i三、用元素法將所求量能表示成定積分的步驟：1．由實(shí)情況選一變量如為積分變量，確定該其變化區(qū)[a,]2．[a,]n個(gè)小區(qū)間，取其中一個(gè)小區(qū)[,xx]，計(jì)算其上的部分U的近似值：f(x)x，的所求量的一個(gè)元素3．以dUf()x被積表達(dá)式，在[ab]上作定積分，即得所求量的定積分表達(dá)式：

b

(x)x.a注：元素的幾何形狀常取為條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等.內(nèi)容小結(jié)：本節(jié)介紹了元素法以及用元素法將所求量表示成定積分的方法與步.定積分在幾何上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1

b13.1直角坐情:曲線x)(直線x()軸所圍成的曲邊梯形面積b13.為A

b

x)dx，因?yàn)槊娣e元素()x.a)2參數(shù)方程情形：若曲線f(x)(f()x[a]的參數(shù)方程，且滿足y)(1).

,

(2).

(t)[

[

上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且y)連續(xù)，則由曲線yf()所圍成的曲邊圖形的面積：)dxt)dt.a3極坐標(biāo)情形：設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為

，[

上連續(xù)，則由曲線射

以1圍成圖形的面積為A2

(d由于[上變動(dòng)時(shí)，極徑也隨之變動(dòng)，故不能直接利用扇形面積公式

12

R

來(lái)計(jì)算.推導(dǎo)：①.取極為積分變量

②.[

上任取一小區(qū)

，其上的曲邊扇形面積的近似值：dA

12

.③.以

12

為被積表達(dá)式，[作定積分，得曲邊扇形的面積公式：

12

(

.例1計(jì)算兩條拋物線

2

x、y

2

在第一象限所圍所圍圖形的面積.解：首先確定圖形的范圍，得交(0,、(1,取為積分變量，由于面積元A

dx，所以所求面積為A

10

2

1dx2x33302

2213428aa012π2213428aa012π.(332注：A

1

d

1

2

d

1

2

d0例2計(jì)算拋物線y

0

0x與直線x所圍圖形的面積x解：得交(2,(8,y若取x為積分變量，則有A

20

2xd

82

[xxd

423

32

83xx2

.2若取為積分變量，則有yyx例3求橢圓所圍圖形的積.b2

6

3

.2解：由于橢圓關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)軸對(duì)稱，設(shè)橢圓在第一象限所圍成的面積為，則所求面積為4Ax.10costπ)，0時(shí)t，x時(shí)t0，dxt，于是ysint2A

40

bsintt)dt

0

ab

2

tdt

0

1cos2t2

dtab例4計(jì)算阿基米德螺a0)對(duì)變

所圍圖形面積.解：由題可知，積分變

，于是所求面積為12a2020例5計(jì)算心形(1cos

(a0)所圍圖的面積.解：心形線所圍成的圖形關(guān)于極軸對(duì)稱設(shè)極軸上半部分圖形的面積為A，則心形線所圍成的圖形面積.取極積分變量于是3

bbdbbd

0

12

a2(1

2

d

a

2

0

cos

2cos

2

.022二、體積1．旋轉(zhuǎn)的體積：(1).旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體，該直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.注圓柱體圓臺(tái)球體等都是旋轉(zhuǎn)體它們都可以看做是由連續(xù)曲線y()與直、xb以x軸圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的立體.(2).旋轉(zhuǎn)體的體積：①．由曲線yf()與直線x、x以軸所圍成的曲邊梯形繞x軸轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積)]x()a推導(dǎo)：x為積分變量[b]，在[]上任取一小區(qū)[x

x]，其上的窄曲邊梯形繞軸轉(zhuǎn)而成的薄層的體積近似等于以fx)底面半徑、以x高的扁圓柱體的體積，即體積元素dV

[(x)]2

x，

[f()]

x為被積表達(dá)式，在[]上作定積分即得所求旋轉(zhuǎn)體的體積：V)]().a②．由曲線xy)與線c、以及軸所圍成的曲邊梯形繞y旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

c

d(c)例6連接坐標(biāo)原O(h,r)的直線、直線xx軸圍成一個(gè)直角三角形，將它繞軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半r、高的圓錐體，求其體積.r解：O(0,0)及(r)直線方程為：y.h取為積分變量xh]，則所求旋轉(zhuǎn)體的體積

x

r

2

h.例7計(jì)算由橢圓

x2所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積22解：該旋轉(zhuǎn)橢球體可看做是由半橢圓與軸所圍成的x軸4

a22222a22222旋轉(zhuǎn)而成的立體，半橢圓方程為：aa

2

2

.取x為分變量x[a]則所求立體體積為V

22

(a

2

2

4)3

ab

.例8計(jì)算由擺線a(tsint)，t)相應(yīng)0的一拱，直線y所圍成的圖形分別繞軸、y旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：記擺線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積，取為積分變量，x]，則xVx

20

2

(xdt)0

2

acostdt

33cos

2

cos

3

dt0

3

20

3cos)dt

3

20

t

3sin0

2

)d(sint)a3.記擺線繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V，取y積分變量，[0,]，則V2)y()yy210

a

2(tsin)2

atdt

a

2

t)

2

atdt2

0

0

a

2(tsint)2

atdt

a

2(sin

asintdt

a

2

(t)

2

atdt2

2

0(t2sinttsintsin3t)dt0

a

3

2

2

sintdt

3

2

cos2dt

a

3

2

2

dt)0

00

3

.2．平行面面積為已知的立體的體積：設(shè)一非旋轉(zhuǎn)體的立體介于過點(diǎn)、xb垂直于x軸的兩個(gè)平面之，該立體過x軸上的且垂直軸的截面面積為Ax)則該立體的體積為

b

).a推導(dǎo)：若Ax)為續(xù)函數(shù)且已知，取為積分變量，[,],[b]任取一小區(qū)間5

b2[,xx]其上的薄層的體積近似等于底面積為Ax)高d的扁圓柱體的體積即得體b2積元素：(d以Ax)dx為被積表達(dá)式，[a]作定積分，得所求立體的體積公式V.a例9一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓的中心，并與底面交成

，計(jì)算著平面截圓柱體所得立體的體積.解：取該平面與圓柱體的底面的交線為軸，底面上過圓中心垂直于x軸的直線為y，則底面圓方程為：xy22，該立體中過x上的點(diǎn)x垂直于軸的截面是一個(gè)直角角形，兩直角邊分別為和ytan

1即2和R，從而截面面積為()(R)tan2

，于是所求體積為

12

(R

)

dx

R0

(R

2

x

2

2)x2

tan

.例4.求以半徑為的圓為底、以平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積.解：取底面圓所在的平面為xoy平面，圓為原點(diǎn)，并使x軸與正劈錐體的頂平行，底面圓方程為：

2

y

2

R

2

，過x軸上的點(diǎn)x(x[b])作垂直x軸的平面截正劈錐體得等腰三角形，截面面積為(xyR

，于是，所求正劈錐體的體積為V

R

h

2

2

dh

R

2

2

d02cos22hd00

h2

.三、平面曲線的弧長(zhǎng)引入：我們知道，用劉徽的割圓術(shù)可以定義圓的周長(zhǎng)，即利用圓的內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)當(dāng)邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)的極限來(lái)確定，現(xiàn)在將劉徽的割圓術(shù)加以推廣，來(lái)定義平面曲線的弧長(zhǎng)，從而應(yīng)用定積分來(lái)計(jì)算平面曲線的弧長(zhǎng)1平面曲線弧長(zhǎng)的相關(guān)概念(1).平面曲線弧長(zhǎng)曲線弧A上任取分點(diǎn)AMMM,MMM012ii6

n

,MB，n

b依次連接相鄰分點(diǎn)得到該曲線弧的一內(nèi)接折線，記b

max{|M|}若當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)ii1限增加且每一個(gè)小弧MM都縮向一點(diǎn)，ii

時(shí)，折線的長(zhǎng)ni

M的極限存在，則稱此極限值為線弧的弧長(zhǎng)，并稱該ii曲線弧是可求長(zhǎng)的，記作slimM.ii(2).光滑曲線：若曲線上每一點(diǎn)處都存在切線，且切線隨切點(diǎn)的移動(dòng)而連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，則稱該曲線為光滑曲線.(3).定理：光滑曲線可求長(zhǎng).2光滑曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算(1).直角坐標(biāo)情形：設(shè)曲線弧的直角坐標(biāo)方程為yf()ax，若f)[a]具有一階連續(xù)函數(shù)，則曲線弧長(zhǎng)為sf

2

(xdxa推導(dǎo)：取x為積分變量，曲線(x)上的相應(yīng)[]上任意小區(qū)間[xx]的一段弧的長(zhǎng)度近似等于曲線在(,(x))處切線上相應(yīng)的一段的長(zhǎng)度，又切線上相應(yīng)小段的長(zhǎng)度為(d)d)1f))2，從而有弧長(zhǎng)元d))

2

以x))

2

x為被積表達(dá)式[a]上作定積分得弧長(zhǎng)公式：

b

1f

2

(xd.a)(2).參數(shù)方程情形：設(shè)曲線弧的參數(shù)方程為y)

t及t)[

具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲線弧長(zhǎng)為s

2

(t)

2

(t)dt.推導(dǎo)取參t為積分變量曲線上相應(yīng)[

任意小區(qū)[ttt]的一段弧的長(zhǎng)度的近似值即為弧長(zhǎng)元素ds(d)dy(t)(td，以((td為被積表達(dá)式，[上作定積分，得弧長(zhǎng)公式s()()dt(3).參數(shù)方程情形：設(shè)曲線弧的極坐標(biāo)方程為，[上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲線弧長(zhǎng)為：s

(

2

(d

推導(dǎo)：由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系得，曲線的以極角為y7

bb1333bb1333參數(shù)的參數(shù)方程，弧長(zhǎng)元素為ds[

((d，于是曲線弧長(zhǎng)為：

((

2例.計(jì)算曲線yx3

32

上相應(yīng)于xab的一段弧的長(zhǎng)度.解

a

1'

2

(x)d

a