第76講帶電粒子在有界磁場中的運動（原卷版）

第76講帶電粒子在有界磁場中的運動1．（四川）如圖所示：正方形絕緣光滑水平臺面WXYZ邊長l＝1.8m，距地面h＝0.8m。平行板電容器的極板CD間距d＝0.1m且垂直放置于臺面，C板位于邊界WX上，D板與邊界WZ相交處有一小孔。電容器外的臺面區(qū)域內有磁感應強度B＝1T、方向豎直向上的勻強磁場。電荷量q＝5×10﹣13C的微粒靜止于W處，在CD間加上恒定電壓U＝2.5V，板間微粒經電場加速后由D板所開小孔進入磁場（微粒始終不與極板接觸），然后由XY邊界離開臺面。在微粒離開臺面瞬時，靜止于X正下方水平地面上A點的滑塊獲得一水平速度，在微粒落地時恰好與之相遇。假定微粒在真空中運動、極板間電場視為勻強電場，滑塊視為質點，滑塊與地面間的動摩擦因數μ＝0.2，取g＝10m/s2（1）求微粒在極板間所受電場力的大小并說明兩板的極性；（2）求由XY邊界離開臺面的微粒的質量范圍；（3）若微粒質量mo＝1×10﹣13kg，求滑塊開始運動時所獲得的速度。一.知識回顧有界勻強磁場是指只在局部空間存在著勻強磁場，帶電粒子從磁場區(qū)域外垂直磁場方向射入磁場，在磁場區(qū)域內做一段勻速圓周運動，也就是通過一段圓弧軌跡，然后離開磁場區(qū)域。帶電粒子在磁場中運動的圓弧軌跡取決于粒子進入磁場的速度大小、方向和磁場的磁感應強度及磁場的區(qū)域邊界。常見磁場區(qū)域邊界可分為如下幾種情形：情形一：直線邊界直線邊界磁場又分單邊直線邊界和雙邊平行直線邊界。單邊直線邊界如圖甲、乙、丙所示，粒子進出磁場具有對稱性；雙邊平行直線邊界如圖丁、戊所示，粒子進出磁場存在臨界條件。解決這類問題的“三部曲”：畫軌跡、找圓心、定半徑。如果粒子從同一直線邊界射入和射出，那么粒子進入磁場時速度與邊界的夾角和射出磁場時速度與邊界的夾角相等。情形二：矩形邊界矩形邊界磁場是指分布在矩形范圍內的有界磁場，帶電粒子的軌跡只是一部分圓弧。垂直于某邊射入，從某一頂點射出是常見的臨界情況。解決該類問題的關鍵是把握臨界情況，如圖所示。常見的有如下幾種情況：(設粒子從ad邊中點e垂直射入)(1)兩個臨界半徑①從d點射出：r1＝eq\f(ad,4)。②從c點射出：req\o\al(2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r2－\f(ad,2)))2＋ab2。(2)三種情況①r≤r1，粒子從ed段射出。②r1<r≤r2，粒子從cd段射出。③r>r2，粒子從cf段射出(不會到達f點)。情形三：圓形邊界圓形邊界磁場是指分布在圓形區(qū)域內的有界磁場，帶電粒子在圓形邊界的勻強磁場中的軌跡也是一段不完整的圓弧。由于此類問題涉及兩個圓：粒子運動軌跡的圓與磁場區(qū)域的圓，能很好地考查學生的綜合分析能力，所以是近年來高考的熱點。帶電粒子在圓形邊界磁場中運動的四個結論：(1)徑向進出：當粒子運動方向與磁場方向垂直時，沿圓形磁場半徑方向射入的帶電粒子，必沿徑向射出圓形磁場區(qū)域，即粒子出射速度的反向延長線必過磁場圓的圓心，如圖1所示。(2)等角進出：入射速度方向與過入射點的磁場圓半徑的夾角等于出射速度方向與過出射點的磁場圓半徑的夾角，如圖2所示。徑向進出是等角進出的一種特殊情況(θ＝0°)。(3)點入平出：若帶電粒子從圓形勻強磁場區(qū)域圓周上一點沿垂直于磁場方向進入磁場，當帶電粒子做圓周運動的半徑與圓形磁場區(qū)域的半徑相同時，所有帶電粒子都以平行于磁場區(qū)域圓周上入射點處的切線方向射出磁場，如圖3所示。(4)平入點出：若帶電粒子以相互平行的速度射入磁場，且?guī)щ娏Ｗ釉诖艌鲋凶鰣A周運動的半徑和圓形磁場區(qū)域半徑相同，則這些帶電粒子將會從磁場區(qū)域圓周上同一點射出，且磁場區(qū)域圓周上該點的切線與帶電粒子射入磁場時的速度方向平行，如圖4所示。情形四：四分之一平面邊界四分之一平面邊界磁場是指分布在平面直角坐標系中某一象限范圍的有界磁場，帶電粒子的軌跡只是一部分圓弧，粒子軌跡與坐標軸相切或垂直是常見的臨界情況。解決該類問題的關鍵是明確粒子射入(射出)磁場的位置坐標，及速度方向與坐標軸的夾角關系，然后分析粒子做圓周運動的軌跡、圓心，尋找?guī)缀侮P系求解問題。情形五：三角形邊界三角形邊界磁場是指分布在三角形區(qū)域內的有界磁場，粒子的軌跡也是一段圓弧，由于三角形有等邊三角形、等腰三角形、直角三角形等不同類型，所以會有不同的臨界情景。解答該類問題主要把握以下兩點：(1)射入磁場的方式①從某頂點射入。②從某條邊上某點(如中點)垂直(或成某一角度)射入。(2)射出點的判斷其臨界條件是判斷軌跡可能與哪條邊相切，進而判定出射點的可能位置。二.例題精析題型一：直線邊界例1．如圖所示，在豎直線EOF右側足夠大的區(qū)域內存在著磁感應強度大小為B方向垂直紙面向里的勻強磁場。質量相同、電荷量分別為+q和﹣q的帶電粒子，從O點以相同的速度，先后射入磁場，已知v的方向與OF成θ＝30°，兩帶電粒子在磁場中僅受洛倫茲力作用，則不正確的是（）A．兩帶電粒子回到EOF豎直線時與O點的距離相等B．兩帶電粒子在磁場中的運動時間相等C．兩帶電粒子回到EOF豎直線時的速度相同D．從射入到射出磁場的過程中，兩粒子所受洛倫茲力的沖量相同題型二：圓邊界（多選）例2．如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內充滿磁感應強度為B的勻強磁場，MN是一豎直放置的感光板。從圓形磁場最高點P以速度v垂直磁場正對著圓心O射入帶正電的粒子，且粒子所帶電荷量為q、質量為m，不考慮粒子重力，關于粒子的運動，以下說法正確的是（）A．粒子在磁場中通過的弧長越長時間也越長B．出磁場的粒子其出射方向的反向延長線也一定過圓心OC．出磁場的粒子一定能垂直打在MN上D．只要速度滿足v=qBRm，入射的粒子出射后一定垂直打在題型三：三角形邊界例3．如圖所示，邊長為L的等邊三角形ABC內、外分布著兩方向相反的勻強磁場，三角形內磁場方向垂直紙面向外，兩磁場的磁感應強度大小均為B，頂點A處有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分線發(fā)射不同速率的粒子，粒子質量均為m、電荷量均為+q，不計粒子重力及粒子間的相互作用力，則發(fā)射速度v0為哪一值時粒子能通過B點（）A．2qBLmB．3qBL2mC．2qBL3m題型四：四邊形邊界（多選）例4．如圖，邊長為l的正方形abcd內存在勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面（abcd所在平面）向外。ab邊中點有一電子發(fā)射源O，可向磁場內沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子，已知電子的比荷為k，則從a、d兩點射出的電子的速度大小分別為（）A．從a點射出的電子的速度大小為1B．從a點射出的電子的速度大小為1C．從d點射出的電子的速度大小為5D．從d點射出的電子的速度大小為5三.舉一反三，鞏固練習（多選）如圖所示，abcd為一正方形邊界的勻強磁場區(qū)域，磁場邊界邊長為L，三個粒子以相同的速度從a點沿對角線方向射入，粒子1從b點射出，粒子2從c點射出，粒子3從cd邊垂直射出，不考慮粒子的重力和粒子間的相互作用。根據以上信息，可以確定（）A．粒子1帶負電，粒子2不帶電，粒子3帶正電B．粒子1和粒子3的比荷之比為2：1C．粒子1和粒子2在磁場中的運動時間之比為π：4D．粒子3的射出位置與d點相距L如圖所示，在0≤x≤b、0≤y≤a的長方形區(qū)域中有一磁感應強度大小B的勻強磁場，磁場的方向垂直于xOy平面向外。O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內的第一象限內。已知粒子在磁場中做圓周運動的周期為T，最先從磁場上邊界中飛出的粒子經歷的時間為T12，最后從磁場中飛出的粒子經歷的時間為TA．粒子圓周運動的半徑r＝aB．長方形區(qū)域的邊長滿足關系baC．長方形區(qū)域的邊長滿足關系baD．粒子射入磁場的速度大小v=如圖所示，在邊長為a的正方形ABCD區(qū)域（包含邊界）內有一勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里。E點是AB邊上的一點，且AE之間的距離為a4．將一電子從E點沿EB方向射出，若初速度為v1，其運動軌跡將與BC邊相切：若初速度為v2，其運動軌跡將與CD邊相切。則v1與v2A．2：1B．3：2C．3：1D．4：3如圖所示，在邊長為L的正方形區(qū)域abcd內有垂直紙面向里的勻強磁場，有一個質量為m，帶電量大小為q的離子，從ad邊的中點O處以速度v垂直ad邊界向右射入磁場區(qū)域，并從b點離開磁場。則（）A．離子在O、b兩處的速度相同B．離子在磁場中運動的時間為πmC．若增大磁感應強度B，則離子在磁場中的運動時間增大D．若磁感應強度B＜4mv5qL，則該離子將從空間存在方向垂直于紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，圖中的正方形abed為其邊界。一束速率不同的帶正電粒子從左邊界ad中點P垂直射入磁場，速度方向與ad邊夾角θ＝30°，已知程子質量為m，電荷量為q，粒子間的相互作用和粒子重力不計，則（）A．粒子在磁場中運動的最長時間間為4πmB．從bc邊射出的粒子在磁場中的運動時間都相等C．入射速度越大的程子。在磁場中的運動時間越長D．運動時間相的粒子，在磁場中的運動軌連可能不同如圖所示，橫截面為正方形abcd的有界勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里．一束電子以大小不同、方向垂直ad邊界的速度飛入該磁場．對于從不同邊界射出的電子，下列判斷錯誤的是（）A．從ad邊射出的電子在磁場中運動的時間都相等B．從c點離開的電子在磁場中運動時間最長C．電子在磁場中運動的速度偏轉角最大為πD．從bc邊射出的電子的速度一定大于從ad邊射出的電子的速度利用電場與磁場控制帶電粒子的運動，在現代科學實驗和技術設備中有著廣泛的應用．如圖所示，一粒子源不斷釋放質量為m，帶電量為+q的帶電粒子，其初速度為v0，經過可調的加速電壓U(0≤U≤3mv022q)加速后，以一定速度垂直平面MNN1M1射入邊長為2L的正方體區(qū)域MNPQ﹣M1N1P1Q1．可調整粒子源及加速電場位置，使帶電粒子在長方形MHIJ區(qū)域（MH=3L2，MJ＝L（1）若僅在正方體區(qū)域中加上沿x軸正方向的勻強電場，要讓所有粒子都到達平面NPP1N1，求所加勻強電場電場強度的最小值E0；（2）若僅在正方體區(qū)域中加上沿x軸正方向的勻強磁場，要讓所有粒子都到達平面M1N1P1Q1（含邊界），求所加勻強磁場的磁感應強度的大小滿足的條件；（3）同時加上沿x軸正方向的電場和磁場，且加速電壓為零時，從M點射入的粒子恰好打在底面M1N1P1Q1的中心，求所加的B、E的大??；（4）同時加上沿x軸正方向的電場和磁場，且電場強度為E1=4mv02π2如圖所示：正方形絕緣光滑水平臺面WXYZ邊長l＝1.6m，距地面高h=59m．平行板電容器的極板CD間距d＝0.2m且垂直放置于臺面，C板位于邊界WX上，D板與邊界WZ相交處有一小孔。電容器外的臺面區(qū)域內有磁感應強度B＝1T、方向豎直向上的勻強磁場。質量m＝1×10﹣13kg，電荷量q＝5×10﹣13C的微粒靜止于W處，在CD間加上恒定電壓U，板間微粒經電場加速后由D板所開小孔進入磁場（微粒始終不與極板接觸），然后由XY邊界離開臺面。在微粒離開臺面瞬時，靜止于X正下方水平地面上A點的滑塊獲得一水平速度，在微粒落地時恰好與之相遇，假定微粒在真空中運動，滑塊視為質點，滑塊與地面間的動摩擦因數μ＝0.2，取g＝10m/s（1）為使微粒由XY邊界離開臺面，CD間所加電壓U的范