圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教材結(jié)構(gòu)分析

《圓的方程》安排在高中數(shù)學(xué)必修二第四章第一節(jié).圓作為常見的簡單幾何圖形，在實際生活和生產(chǎn)實踐中有著廣泛的應(yīng)用.圓的方程屬于解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識，是研究二次曲線的開始，對后續(xù)直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無論在知識上還是方法上都有著積極的意義，所以本節(jié)內(nèi)容在整個解析幾何中起著承前啟后的作用.教學(xué)目標(biāo)知識與技能1.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.會由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的半徑和圓心坐標(biāo)，能根據(jù)條件寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3.利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單的實際問題.教學(xué)目標(biāo)

過程與方法1.進一步培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)方法研究幾何問題的能力；2.加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解以及對待定系數(shù)法的運用；3.通過圓的方程在實際中的應(yīng)用，增強學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識.教學(xué)目標(biāo)

情感、態(tài)度與價值觀1.培養(yǎng)學(xué)生主動探究知識、合作交流的意識；2.通過圓的方程在實際中的應(yīng)用，體驗數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光審視現(xiàn)實生活問題的意識。教學(xué)重點與難點

重點:

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及其應(yīng)用.

難點：

1.會根據(jù)不同的已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2.選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系解決與圓有關(guān)的實際問題.教學(xué)過程與設(shè)計創(chuàng)設(shè)情境，啟迪思維深入探究，獲得新知應(yīng)用舉例，鞏固提高反饋訓(xùn)練，形成方法小結(jié)反思，拓展引申創(chuàng)設(shè)情境，啟迪思維

問題一：最著名的古橋要數(shù)我國河北趙縣建于1500年前的單拱石橋——趙州橋，它的設(shè)計思想和建造工藝師世界石拱橋的卓越典范，對直接后代的橋梁建筑有著十分深遠(yuǎn)的影響。它全長64.40米，最大圓拱跨徑37.4米，拱高7.2米。這座橋建得科學(xué)合理精巧新奇，造型優(yōu)美，通體為巨大花崗巖石塊組成，很像天上的長虹，如此雄偉秀逸的圓拱形的建筑，是著名匠師李春建造的。它的建造應(yīng)該說是中國古代數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)融合的結(jié)晶，體現(xiàn)了中國古代勞動人民的智慧和力量。在贊嘆之余，我們能否確定出圓拱所屬圓的大小和中心呢？什么叫做圓？深入探究獲得新知圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）是圓。定點就是圓心，定長就是半徑

哪幾個要素定圓？圓心定位半徑定形深入探究，獲得新知問題二:

1．你能得到圓心在原點，半徑為r的圓的方程？2．如果圓心在C(a,b)，半徑為r時又如何呢？OA(-r,0)P(x,y)B(r,0)YX取圓上任意一點P(x,y)，則：OP=r即：于是這就是圓心在原點、半徑為r的圓的方程如果一個圓的圓心不在原點，而在點C（ɑ，b）上，且半徑為r，求此圓的方程。X0根椐兩點間的距離公式得：即：現(xiàn)在讓我們來看看這個問題：YX0Y應(yīng)用舉例，鞏固提高直接應(yīng)用內(nèi)化新知問題三：寫出圓心為，半徑長等于5的圓的方程，并判斷點，是否在這個圓上．

解：圓心是，半徑長等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：

把的坐標(biāo)代入方程左右兩邊相等，點的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點在這個圓上；

把點的坐標(biāo)代入此方程，左右兩邊不相等，點Ｍ２的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點Ｍ２不在這個圓上．

怎樣判斷點在圓內(nèi)呢？還是在圓外呢？點與圓的位置關(guān)系A(chǔ)xyoM1M3M2

從上題知道，判斷一個點在不在某個圓上，只需將這個點的坐標(biāo)代入這個圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在這個圓上，反之如果不成立則不在這個圓上．

如果設(shè)點M到圓心的距離為d,則可以看到：點在圓上d=r

；點在圓外d>r；點在圓內(nèi)d<r．

問題四：

的三個頂點的坐標(biāo)分別A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圓的方程．待定系數(shù)法解法一解：設(shè)所求圓的方程是(1)

因為A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程（1）．于是所求圓的方程為靈活應(yīng)用提升能力應(yīng)用舉例，鞏固提高確定圓的方程的方法和步驟1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個參變數(shù)，必須具備三個獨立的條件；才能定出一個圓的方程，當(dāng)已知曲線為圓時，一般采用待定系數(shù)法求圓的方程。2．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟為：（1）根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

(x－a)2+(y－b)2=r2；（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、r的方程組；（3）解此方程組，求出a、b、r的值；（4）將所得的a、b、r的值代回所設(shè)的圓的方程中，就得到所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.“設(shè)”、“列”、“求”圓心：兩條弦的中垂線的交點半徑：圓心到圓上一點xyOA(5,1)B(7,-3)C(2,-8)G

問題四：

的三個頂點的坐標(biāo)分別A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圓的方程．DE靈活應(yīng)用提升能力應(yīng)用舉例，鞏固提高問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱的長度（精確到0.01m）.實際運用，回歸自然A1A2A3A4ABOPP2xy解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)是（0，b）圓的半徑是r,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2

。把P（0，4）B（10，0）代入圓的方程得方程組：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5r2=14.52所以圓的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把點P2的橫坐標(biāo)x=-2代入圓的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52因為y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的長度約為3.86m。反饋訓(xùn)練，形成方法問題六:

1．寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）圓心在原點，半徑為3；（2）經(jīng)過點P（5，1），圓心在點C（8，-3）。

2．寫出下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑.

（1）(x+2)2+y2=(-2)2

（2）(x-4)2+(y+3)2=5（3）(x+a)2+y2=a23.已知三角形AOB的頂點坐標(biāo)分別是A(4,0),B(0,3),O(0,0),求三角形AOB的外接圓方程。解：設(shè)所求外接圓的方程為所求圓的方程為P121練習(xí)3圓心：直徑的中點半徑：直徑的一半解：設(shè)點C（a，b）為直徑的中點，則圓的方程為因此點M在圓上，點N在圓外，點Q在圓內(nèi)。圓心坐標(biāo)為（5，6）小結(jié)反思，拓展引申圓心C(a,b),半徑rxyOGABC1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.圓心①兩條直線的交點（弦的垂直平分線）②直徑的中點3.會用待定系數(shù)法求圓的方程小結(jié)反思，拓展引申分層作業(yè) （A）鞏固型作業(yè)：教材P124：（習(xí)題4.1）1，2，3. （B）思維拓展型作業(yè)：試推導(dǎo)過圓x2+y2=r2上一點M(xo,yo)的切線方程小結(jié)反思，拓展引申激發(fā)新疑課后練習(xí):

1．把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開后是什么形式？2．方程表示什么圖形？學(xué)情分析圓的方程是學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了圓的概念和基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行研究的.但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的時間還不長、學(xué)習(xí)程度較淺，且對坐標(biāo)法的運用還不夠熟練，在學(xué)習(xí)過程中難免會出現(xiàn)困難.另外學(xué)生在探究問題的能力,合作交流的意識等方面有待加強.教學(xué)方法——“啟發(fā)式”問題教學(xué)法

學(xué)法分析1.坐標(biāo)法2.三個獨立條件確定圓3.求a,b,r時可用待定系數(shù)法教學(xué)評價（一）突出重點抓住關(guān)鍵突破難點（二）學(xué)生主體教師主導(dǎo)探究主線（三）培養(yǎng)思維提升能力激勵創(chuàng)新直接運用靈活運用實際運用a,b,r與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系待定系數(shù)法求a,b,r應(yīng)用舉例，鞏固提高問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱的長度（精確到0.01m）.實際運用，回歸自然A1A2A3A4ABOPP2xy問題二:1．根據(jù)問題一的探究能不能得到圓心在原點，半徑為r的圓的方程？2．如果圓心在C(a,b)，半徑為r時又如何呢？1.一般思路：坐標(biāo)法2.利用圖形變換(平移)。

問題四：

的三個頂點的坐標(biāo)分別A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圓的方程．1.待定系數(shù)法；2.通過求圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。由特殊到一般歸納一般性結(jié)論圓心在原點時，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+y2=r2

(特殊).圓心為C(a,b)，半徑為