函數(shù)極限與連續(xù)

函數(shù)極限與連續(xù)第一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.分析基礎(chǔ):函數(shù),極限,連續(xù)(上冊(cè)第一章）

2.微積分學(xué):一元微積分(上冊(cè)第二、三章)4.無(wú)窮級(jí)數(shù)(下冊(cè))3.向量代數(shù)與空間解析幾何(下冊(cè))二、主要內(nèi)容多元微積分(下冊(cè))

任務(wù):通過(guò)一年的學(xué)習(xí),要牢固掌握基本概念、基本理論、基本計(jì)算方法;能熟練地用所學(xué)的方法去解決一些實(shí)際問(wèn)題.高等數(shù)學(xué)的核心是微積分.

上頁(yè)下頁(yè)第二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁函數(shù)、極限與連續(xù)

上頁(yè)下頁(yè)第三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

第一章1.1.2常量與變量1.1.3函數(shù)的概念1.1.1集合第1.1節(jié)函數(shù)1.1.4函數(shù)的基本性質(zhì)1.1.5反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)1.1.6初等函數(shù)

上頁(yè)下頁(yè)第四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

一般以大寫的拉丁字母A,B,C,M,X,…等表示集合，以小寫的拉丁字母a,b,c,m,x,…等表示集合的元素.

a是集合A的元素，讀作a屬于集合A，記作元素a不屬于集合A，記作1.1.1集合一、集合的概念及運(yùn)算常用的數(shù)集及記號(hào)：全體實(shí)數(shù)的集合R=

上頁(yè)下頁(yè)第五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五xOy平面上全體點(diǎn)組成的集合:自然數(shù)集:整數(shù)集合:有理數(shù)集:正整數(shù)集:

上頁(yè)下頁(yè)

p與q

互質(zhì)(直積)第六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算若且則稱A

與B

相等,記作記作A是B的子集,或稱B包含A,

上頁(yè)下頁(yè)

子集交集且差集且余集或補(bǔ)集并集或?yàn)槿┻\(yùn)算規(guī)律（交換律，結(jié)合律，分配律，對(duì)偶律）第七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五開(kāi)區(qū)間閉區(qū)間二、區(qū)間與鄰域無(wú)限區(qū)間abox

上頁(yè)下頁(yè)半開(kāi)區(qū)間[]有限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度)第八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1

用區(qū)間表示下列點(diǎn)集.

上頁(yè)下頁(yè)第九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五點(diǎn)a的

鄰域其中a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:

上頁(yè)下頁(yè)2.鄰域第十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.1.2

常量與變量常量常用a,b,c,……等表示,變量常用x,y,z,s,t,u,v,……表示.1.1.3函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義定義1.設(shè)x和y是兩個(gè)變量，數(shù)集D中每取定一個(gè)值時(shí)，y按照某種對(duì)應(yīng)法則f總有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是

x的函數(shù)，記作如果當(dāng)x在

上頁(yè)下頁(yè)第十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五定義域稱為值域.自變量因變量稱為函數(shù)的圖形.若對(duì)于每一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的y值是唯一的，這種函數(shù)稱為單值函數(shù).之對(duì)應(yīng)，則稱為多值函數(shù).

如果對(duì)應(yīng)于一個(gè)x值可以有兩個(gè)或兩個(gè)以上的y

值與

上頁(yè)下頁(yè)第十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五如：由方程可確定y

是x

的一個(gè)多值函稱為這個(gè)多值函數(shù)的兩個(gè)單值分支.數(shù).

上頁(yè)下頁(yè)第十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

對(duì)應(yīng)法則

定義域使表達(dá)式及實(shí)際問(wèn)題都有意義的自變量集合.（定義域的兩種情況）2函數(shù)概念的兩要素例2

判斷下列各組中的函數(shù)是否為同一函數(shù).

上頁(yè)下頁(yè)第十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

求由解析式表示的函數(shù)的定義域時(shí),常有以下四種情況:(1)分式中分母不能為零;(2)偶次方根號(hào)下的表達(dá)式大于或等于零;(3)幾類特殊函數(shù)特殊對(duì)待,如對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于零,(4)分段函數(shù)的定義域?yàn)楦鞫紊隙x域之并.例3

求下列函數(shù)的定義域,并用區(qū)間表示.

上頁(yè)下頁(yè)反正弦后面的表達(dá)式的絕對(duì)值小于或等于1,……第十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五如,絕對(duì)值函數(shù)定義域值域三、函數(shù)表示方法

表格法圖示法解析法在定義域的不同部分(互不相交)用不同的數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).

上頁(yè)下頁(yè)第十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.

已知函數(shù)求及解:函數(shù)無(wú)定義并寫出定義域及值域.定義域值域(再介紹幾個(gè)函數(shù)的例子)

上頁(yè)下頁(yè)第十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)

上頁(yè)下頁(yè)第十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五狄利克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無(wú)理數(shù)實(shí)際問(wèn)題舉例：例5

火車站收取行李托運(yùn)費(fèi)的規(guī)定如下:當(dāng)行李不超過(guò)50kg時(shí),按基本運(yùn)費(fèi)計(jì)算,如從長(zhǎng)沙到某地每kg收0.15元；當(dāng)超過(guò)50kg時(shí),超重部分按每kg收0.25元.試求長(zhǎng)沙到該地的行李托運(yùn)費(fèi)y(元)與重量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系.

上頁(yè)下頁(yè)解第十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.1.4

函數(shù)的基本性質(zhì)設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性說(shuō)明:

還可定義有上界、有下界、無(wú)界.

(2)單調(diào)性使稱

為有界函數(shù).使稱

在I

上有界.使若對(duì)任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無(wú)界.稱為有上界稱為有下界O

上頁(yè)下頁(yè)時(shí),稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)遞增函數(shù);單調(diào)遞減函數(shù).當(dāng)?shù)诙?yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說(shuō)明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記

上頁(yè)下頁(yè)(3)奇偶性第二十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記

上頁(yè)下頁(yè)第二十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五(4)周期性則稱為周期函數(shù)

,稱

T為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常值函數(shù)狄利克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無(wú)理數(shù)

上頁(yè)下頁(yè)第二十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.1.5

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)一、反函數(shù)（回顧定義）習(xí)慣上,的反函數(shù)記成則其反函數(shù)(減)，1)若y＝f(x)單調(diào)遞增(減).且也單調(diào)遞增性質(zhì):2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.

上頁(yè)下頁(yè)第二十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)

,它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱.指數(shù)函數(shù)回顧：如何求反函數(shù)？

上頁(yè)下頁(yè)

由方程解出再將與對(duì)換,即得所求函數(shù)的求分段函數(shù)的反函數(shù),只要分別求出各區(qū)間段的反函數(shù)反函數(shù)及定義域即可.

求反函數(shù)的一般步驟為:第二十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例5、求下列函數(shù)的反函數(shù).解

上頁(yè)下頁(yè)第二十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五(3)解由

,得反函數(shù)為

由,得反函數(shù)為于是反函數(shù)為綜上所述,所求反函數(shù)為由,得

上頁(yè)下頁(yè)第二十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、復(fù)合函數(shù)

則設(shè)有函數(shù)稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)

但函數(shù)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)

.可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).函數(shù)

可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).

上頁(yè)下頁(yè)第二十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)為例6、求的定義域.

上頁(yè)下頁(yè)

求復(fù)合函數(shù)定義域的步驟是“從外到內(nèi)”(即由外層到內(nèi)層考察相應(yīng)函數(shù)在滿足前一層次條件下的定義域,直到最內(nèi)層),求出使算式有意義的一切實(shí)數(shù).解由,得第二十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例7、已知f(x)的定義域?yàn)?0,4]，求f(x+a)的定義域.例8、已知求例9、已知求f(x)的表達(dá)式.

解

由,域?yàn)榻獾霉式?代入法)

上頁(yè)下頁(yè)解

令得于是由原式得故……的定義第三十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五例10、已知求f(x)及

上頁(yè)下頁(yè)解

因?yàn)?/p>

故第三十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五及定義域.例11

已知求的表達(dá)式解

由函數(shù)的表達(dá)式可得:從而又故定義域?yàn)?/p>

上頁(yè)下頁(yè)解故定義域?yàn)榍蟮谋磉_(dá)式和定義域.例12

設(shè)第三十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五1、指數(shù)函數(shù)一、基本初等函數(shù)

指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)?；境醯群瘮?shù)第三十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、對(duì)數(shù)函數(shù)第三十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五3、冪函數(shù)第三十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五4、三角函數(shù)正弦函數(shù)第三十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五余弦函數(shù)第三十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五正切函數(shù)第三十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五余切函數(shù)第三十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五正割函數(shù)第四十頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五余割函數(shù)第四十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五5、反三角函數(shù)第四十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五第四十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五第四十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù),雙曲函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第四十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五6、雙曲函數(shù)奇函數(shù).偶函數(shù).第四十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五奇函數(shù),有界函數(shù),第四十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，編輯于2023年，星期五雙曲函數(shù)常用公式第四十八頁(yè)，共五