千古謎題伽羅瓦的解答

千古謎題伽羅瓦的解答第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五千古謎題：2000多年來，古希臘三大尺規(guī)作圖的幾何問題始終困繞著數(shù)學家（1）三等分任意角（2）倍立方（3）化圓為方------把一個已知角三等分------作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的2倍------作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五2。倍立方：相傳大約在公元前430年，古希臘的雅典流行著黑死病。為了消除災難，雅典人向太陽神阿波羅求助，阿波羅提出要求，必須將他神殿前的立方體祭壇的體積擴大1倍，否則疫病會繼續(xù)流行。雅典人百思不得其解，即使當時最偉大的學者柏拉圖也感到無能為力。3?！盎瘓A為方”問題由一個名叫安拉客薩歌拉的才子提出。相傳公元前5世紀，安拉客薩歌拉對別人說：“太陽并非一尊神，而是一個非常大非常大的大火球?！苯Y(jié)果被他的仇人以褻瀆神靈的罪名給關(guān)在牢里。也許是為了打發(fā)無聊的鐵窗生活，抑或是為了發(fā)泄一下自己不滿的情緒，于是他提出了一個數(shù)學問題：“怎樣做出一個正方形，才能使它的面積與某一個已知圓的面積相等呢？”古希臘三大尺規(guī)作圖問題的由來1。三等分任意角問題歷史上找不出有關(guān)來源的記載第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五千古謎題：2000多年來，古希臘三大尺規(guī)作圖的幾何問題始終困饒著數(shù)學家（1）三等分任意角（2）倍立方（3）化圓為方-----把一個已知角三等分------作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的2倍-----作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積古希臘三大幾何難題的特點是：

1。表述很簡單、直觀。2。尺規(guī)作圖要求非?？量?。（1）要用沒有刻度的直尺和圓規(guī)，不能在直尺上做記號，更不能夠折疊作圖紙。（2）直尺和圓規(guī)只能有限次地使用第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五早期數(shù)學家的努力公元前15世紀下半葉希波克拉底化月牙形為方化圓為方巧辨派的代表人物安蒂豐古希臘窮竭法的始祖倍立方問題圓錐曲線柏拉圖學派第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五2000多年來，古希臘三大尺規(guī)作圖問題：

（1）三等分任意角（2）倍立方（3）化圓為方（1）三等分任意角:設(shè)已知某角的角度為，得則令即問題轉(zhuǎn)化為解方程：（2）倍立方（3）化圓為方求方程根的問題！現(xiàn)代的眼光看第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)研究二次方程的一般解法并給出了求根公式花拉子米公元９世紀“代數(shù)學”algebra）這個詞來源于花拉子米所著的一本書早在古巴比倫時代,人們已經(jīng)掌握了解一次、二次方程的方法：第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

悲觀派1494年,意大利數(shù)學家帕西奧利根本不可能樂天派意大利波倫大學教授費羅nmxx=+3費羅學生:菲奧爾第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五塔爾塔利亞

1510年,菲奧爾掌握:nmxx=+31534年,塔爾塔利亞宣稱自己已掌握了形如這類沒有一次項的三次方程的解法第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五菲奧爾塔爾塔利亞VS數(shù)學競賽時間:1535年2月13日數(shù)學競賽地點:意大利---米蘭世界上第一次數(shù)學競賽規(guī)則:雙方各出三十個三次方程的問題給對方.最終結(jié)果0:30菲奧爾輸給了塔爾塔利亞菲奧爾比賽前:固步不前,沒有得到新的突破塔爾塔利亞夜以繼日,冥思苦想,取得突破第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五塔爾塔利亞像

塔爾塔利亞為這次勝利所激勵，更加熱心于研究一般三次方程的解法經(jīng)過6年的不懈努力，終于解決了三次方程的一般解法。身殘志堅勇于創(chuàng)新獨具慧眼數(shù)學史上稱三次方程的求根公式為：

“卡爾達諾”公式

第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五卡爾達諾

一位頗受歡迎的醫(yī)生塔爾塔利亞

哲學家和數(shù)學家，占星術(shù)家撰寫代數(shù)著作《大術(shù)》1545年卡爾達諾出版《大術(shù)》一書，將三次方程解的解法公諸于眾，從而使自己在數(shù)學界聲名鵲起。第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五,相當于令代入原方程展開整理得：消掉一次項，成為了缺項的二次方程第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五,令代入方程展開得：整理得：缺項的三次方程第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五卡爾達諾的公式：解的法則：用系數(shù)三分之一的三次方加上方程常數(shù)一半的平方；求這整個算式的平方根。復制（重復）這一算式，并在第一個算式中加上方程常數(shù)的一半，從第二個算式中減去同一數(shù)的一半，然后，用第一個算式的立方根減去第二個算式的立方根，其差即為的值。第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五,令代入方程第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五,,令代入方程消掉含的項可以變形成形如：然后尋找一個數(shù)使得等式的兩邊配成完全平方形式等式右邊是完全平方式當且僅當它的判別式為0，即整理得：

費拉里發(fā)現(xiàn)的一元四次方程的解法

第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

善于把握從特殊到一般的研究方法,

這就是數(shù)學家的眼光.

實事求是,不斷探索,勇于創(chuàng)新,

這就是數(shù)學家的精神.第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五三次方程問題解決了四次方程問題解決了一般的五次方程問題？拉格朗日五次方程問題屢解屢敗第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五20年過去了，高次方程的求根公式問題仍未解決阿貝爾

一般的5次或5次以上的方程不能公式求解伽羅瓦遺留問題：判定一個具體數(shù)字系數(shù)的高次代數(shù)方程能否用根號求解的準則問題？徹底解決了代數(shù)方程公式可解性的判斷?！度赫摗啡赫摰拈_山祖師第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五阿貝爾伽羅瓦曠世奇才16歲閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日、高斯的著作，并開始研究五次方程的問題15歲研究高等數(shù)學如勒讓德的《幾何原理》和拉格朗日的《代數(shù)方程的解法》、《解析函數(shù)論》、《微積分學教程》19歲，阿貝爾進入奧斯陸大學學習,22歲，阿貝爾證明了五次或五次以上的代數(shù)問題17歲在法國第一個專業(yè)數(shù)學雜志發(fā)論文.18歲，把他研究的初步結(jié)果的論文提交給法國科學院第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五阿貝爾

伽羅瓦曠世奇才命運多舛18歲，報考巴黎綜合技術(shù)落選。二次把《群論》交給法國科學院，分別被柯西、傅立葉遺失，第三次上交被泊松所拒絕。父親自殺。開除出大學，多次由于政治原因被捕入獄，20歲悲慘的死于與無賴的決斗中。一直懷才不遇，失業(yè)，受數(shù)學大師的冷落，病魔纏生，27歲，最后抑郁而死。名垂千古第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五在挪威皇宮有一尊阿貝爾的雕像，這是一個大無畏的青年的形象，他的腳下踩著兩個怪物——分別代表五次方程和橢圓函數(shù)2003年挪威政府于設(shè)立了一項數(shù)學獎——阿貝爾獎。阿貝爾第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五對伽羅瓦評價評價一：猶如劃破黑夜長空的一顆瞬間即逝的彗星

評價二：十九世紀數(shù)學家中最悲慘的英雄

評價三：他的死至少使得數(shù)學的發(fā)展推遲了幾十年由伽羅瓦得到的啟示：啟示一：由于他年輕，他才敢于并能夠以嶄新的方式去思考，去描述他的數(shù)學世界

啟示二：數(shù)學表達過分地追求簡潔是導致這一缺憾的原因

公元1811年~1832年第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五伽羅瓦最主要的成就是：1。提出了群的概念并用群論徹底解決了根式求解代數(shù)方程的問題2?！叭赫摗笔墙鷶?shù)學中最重要的概念，影響多個學科。群的概念：設(shè)G是一個集合，集合內(nèi)的元素之間可以定義一個二元運算﹡如果G滿足如下的四條性質(zhì)：（1）（封閉性）集合中任意兩個元素的積仍屬于該集合（2）（結(jié)合性）運算滿足結(jié)合律，即（3）（存在單位元）集合中存在單位元，對集合中任意元素滿足（4）（存在逆元）對集合中任一元素,存在唯一元素使得則G連同它的運算﹡稱為一個群，記做（G,﹡）

第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五（1）（封閉性）集合中任意兩個元素的積仍屬于該集合（2）（結(jié)合性）運算滿足結(jié)合律，即（3）（存在單位元）集合中存在單位元，對集合中任意元素滿足（4）（存在逆元）對集合中任一元素,存在唯一元素使得

則G連同它的運算﹡稱為一個群，記做（G,﹡）

問題：判斷下列集合對于它的運算能否構(gòu)成群：（1