動力學質點運動微分方程

動力學質點運動微分方程第一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五第九章質點運動微分方程目錄

引言

§9-1牛頓定律

§9-2質點運動微分方程

§9-3質點動力學的兩類基本問題

第二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五引言第四篇動力學

動力學研究物體的機械運動與作用在該物體上的力之間的關系。在研究動力學問題中一般選取牛頓的運動三定律作為動力學的基礎，并稱之為牛頓定律或動力學基本定律。第三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五力學模型∶質點、剛體和質點系質點：只有質量而無大小的物體。剛體：有質量、不會變形的物體。質點系：由若干個質點組成的、有內在聯系的系統。在下面兩種情況下，可以把物體視為質點：物體作平移的時候；當物體的運動范圍遠遠大于它自身的尺寸、忽略其大小對問題的性質無本質影響的時候。引言第四篇動力學第四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五艦載飛機在發(fā)動機和彈射器推力作用下從甲板上起飛

工程實際中的動力學問題第五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

工程實際中的動力學問題若已知初速度、一定的時間間隔后飛離甲板時的速度，則需要彈射器施加多大推力，或者確定需要多長的跑道。若已知推力和跑道可能長度，則需要多大的初速度和一定的時間隔后才能達到飛離甲板時的速度。第六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

工程實際中的動力學問題

棒球在被球棒擊打后，其速度的大小和方向發(fā)生了變化。如果已知這種變化即可確定球與棒的相互作用力。Fv1v2第七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

工程實際中的動力學問題載人飛船的交會與對接Av1Bv2第八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

工程實際中的動力學問題航空航天器的姿態(tài)控制第九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

工程實際中的動力學問題高速列車的振動問題第十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五動力學主要研究以下兩類基本問題引言第四篇動力學動力學正問題－已知物體的運動規(guī)律，求作用在物體上的力；動力學反問題－已知作用在物體上的力及運動的初始條件，求物體的運動規(guī)律。第十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五牛頓及其在力學發(fā)展中的貢獻

牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城的一個中等農戶家中。在他出生之前父親即去世，他不到三歲時母親改嫁了，他不得不靠他的外祖母養(yǎng)大。

1661年牛頓進入了劍橋大學的三一學院，1665年獲文學學士學位。在大學期間他全面掌握了當時的數學和光學。1665-1666的兩年期間，劍橋流行黑熱病，學校暫時停辦，他回到老家。這段時間中他發(fā)現了二項式定律，開始了光學中的顏色實驗，即白光由7種色光構成的實驗。而且由于一次躺在樹下看到蘋果落地開始思索地心引力問題。在30歲時，牛頓被選為皇家學會的會員，這是當時英國最高科學榮譽。第十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五★

牛頓在光學上的主要貢獻是發(fā)現了太陽光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說?！锱ｎD在數學上的主要貢獻是與萊布尼茲各自獨立地發(fā)明了微積分，給出了二項式定理?！锱ｎD在力學上最重要的貢獻，也是牛頓對整個自然科學的最重要貢獻是他的巨著《自然哲學之數學原理》。這本書出版于1687年，書中提出了萬有引力理論并且系統總結了前人對動力學的研究成果，后人將這本書所總結的經典力學系統稱為牛頓力學。第十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

第一定律（慣性定律）

任何質點如不受力作用，則將保持其原來靜止的或勻速直線運動的狀態(tài)不變。

質點保持其原有運動狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。

事實上，不存在不受力的質點，若作用在質點上的力系為平衡力系，則等效于質點不受力。

該定律表明：力是改變質點運動狀態(tài)的原因。

9.1牛頓定律第十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五第二定律（力與加速度關系定律）

質點受力作用時所獲得的加速度的大小與作用力的大小成正比，與質點的質量成反比，加速度的方向與力的方向相同。即：或由于上式是推導其它動力學方程的出發(fā)點，所以通常稱上式為動力學基本方程。當質點同時受幾個力的作用時上式中的F

應理解為這些力的合力。9.1牛頓定律第十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

該定律表明：

1、力與加速度的關系是瞬時關系，即力在某瞬時對質點運動狀態(tài)的改變是通過該瞬時確定的加速度表現的。作用力并不直接決定質點的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方向。

2、若相等的兩個力作用在質量不同的兩個質點上，則質量越大，加速度越?。毁|量越小，加速度越大。這說明：質量越大，保持其原來運動狀態(tài)的能力越強，即質量越大，慣性也越大。因此，質量是質點慣性大小的度量。9.1牛頓定律第十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

在重力場中，物體均受重力作用。物體在重力作用下自由下落所獲得的加速度稱為重力加速度，用g

表示。由第二定律有式中是物體所受重力的大小，稱為物體的重量，是重力加速度的大小。通常取。在國際單位制中，長度、質量和時間的單位是基本單位，分別取米、千克和秒；力的單位是導出單位，為牛頓。即：9.1牛頓定律第十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

必須指出的是：質點受力與坐標無關，但質點的加速度與坐標的選擇有關，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標都適用的。凡牛頓定律適用的坐標系稱為慣性坐標系。反之為非慣性坐標系。第三定律（作用與反作用定律）

兩個物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時分別作用在這兩個物體上。

以牛頓定律為基礎所形成的力學理論稱為古典力學。9.1牛頓定律第十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五9.2質點運動微分方程

設一質量為m的質點受到力F1，F2，…，Fn作用,沿某曲線軌跡運動。根據牛頓第二定律，得三種形式的微分方程自然坐標形式直角坐標形式矢徑形式第十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五9.3質點動力學的兩類基本問題質點動力學的第一類基本問題，是已知質點的運動，求解此質點所受的力。質點動力學的第二類基本問題，是已知作用質點上的力，求解此質點的運動。第二十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

例9-1如圖，設質量為m的質點M在平面oxy內運動，已知其運動方程為求作用在質點上的力。

解：以質點M為研究對象。分析運動：由運動方程消去時間t

，得可見質點作橢圓運動。將運動方程對時間求兩階導數得：例題9.3質點動力學的兩類基本問題第二十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

代入質點運動微分方程，即可求得主動力的投影為：于是可見，力與矢徑共線反向，其大小正比于矢徑的模，方向恒指向橢圓中心。這種力稱為有心力。例題9.3質點動力學的兩類基本問題第二十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

例質量為1Kg的小球M，用兩繩系住，兩繩的另一端分別連接在固定點A、B，如圖。已知小球以速度v＝2.5m/s在水平面內作勻速圓周運動，圓的半徑r＝0.5m,求兩繩的拉力。解：以小球為研究對象，任一瞬時小球受力如圖。方向指向O點。MOrBA45o60o小球在水平面內作勻速圓周運動。B60oArOMmgFBFAvan第二十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

建立自然坐標系得：解得：分析:由(1)、(2)式可得:因此，只有當時，兩繩才同時受力。否則將只有其中一繩受力。B60oArOMmgFBFAvanbnt第二十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

例3從某處拋射一物體，已知初速度為v0，拋射角為a，如不計空氣阻力，求物體在重力單獨作用下的運動規(guī)律。解：研究拋射體,列直角坐標形式的質點運動微分方程積分后得xyM初始條件為第二十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

軌跡方程為：由此可見，物體的軌跡是一拋物線。于是物體的運動方程為：確定出積分常數為：第二十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

例4

垂直于地面向上發(fā)射一物體，求該物體在地球引力作用下的運動速度，并求第二宇宙速度。不計空氣阻力及地球自轉的影響。由于所以由直角坐標形式的質點運動微分方程得：由于，將上式改寫為解：以物體為研究對象，將其視為質點，建立如圖坐標。質點在任一位置受地球引力的大小為：第二十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

分離變量得：設物體在地面發(fā)射的初速度為v0，在空中任一位置x處的速度為v，對上式積分得所以物體在任意位置的速度為：可見物體的速度將隨x的增加而減小。第二十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五若v02<2gR，則物體在某一位置x＝R+H時速度將為零，此后物體將回落，H為以初速v0向上發(fā)射物體所能達到的最大高度。將x＝R+H及v＝0代入上式可得若v02>2gR，則不論x為多大，甚至為無限大時，速度v均不會減小為零，因此欲使物體向上發(fā)射一去不復返時必須具有的最小速度為若取g＝9.8m/s2，R＝6370km，代入上式可得這就是物體脫離地球引力范圍所需的最小初速度，稱為第二宇宙速度。第二十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

例5

在重力作用下以仰角a初速度v0拋射出一物體。假設空氣阻力與速度成正比，方向與速度方向相反，即FR＝-Cv，C為阻力系數。試求拋射體的運動方程。解：以物體為研究對象，將其視為質點。建立圖示坐標。在任一位置質點受力如圖。由直角坐標形式的質點運動微分方程得因為v0vMFRmgOyxaq第三十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五將它們代入運動微分方程，并令，得：這是兩個獨立的線性二階常系數常微分方程，由常微分方程理論可知，它們的解為求導得其中，C1、C2

、D1、D2為積分常數，由運動初始條件確定。第三十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五當t＝0時，x0＝0，y0＝0；vx0＝v0cosa，vy0＝v0sina代入以上四式，求得于是質點的運動方程為上式即為軌跡的參數方程，軌跡如圖所示。由第一式可知軌跡漸近線為。對于拋射體的射程：當a較大時，，當a

較小時，由運動方程求。v0vMFRmgOyxaq第三十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

質點的速度公式為由上式可見，質點的速度在水平方向的投影vx不是常量，而是隨著時間的增加而不斷減小，當t→∞時，vx→∞；質點的速度在y軸上的投影vy，隨著時間的增加，大小和方向都將變化，當t→∞時，vx→g/m，方向鉛垂向下。因此，質點的運動經過一段時間后將鉛直向下作勻速運動。第三十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

例6

如圖所示，一細常桿桿端有一小球M，其質量為m，另一端用光滑鉸固定。桿長為l，質量不計，桿在鉛垂面內運動，開始時小球位于鉛垂位置，突然給小球一水平初速度v0，求桿處于任一位置q時對球的約束力。解：以小球為研究對象，將其視為質點。建立圖示的自然坐標。由運動學知：qOlO1Sv0M(+)nt第三十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

（1）式是一常系數二階非線性微分方程，其解為橢圓積分，較為復雜。將其積分一次求出，代入（2）式即可求出FT。因為所以qOlO1Sv0mgFTM(+)nt在任一位置質點受力如圖。由自然坐標形式的質點運動微分方程得即第三十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

得：由初始條件：t＝0時，q0＝0，代入上式得將其代入（2）式，得下面將計算結果作進一步的討論：第三十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

由(3)得此式表示桿在任意位置時球的速度。由此式可知:當時小球才能作圓周運動，否則球作擺動。(4)式給出約束力FT隨q角的變化規(guī)律。當q＝0時，當q＝p時，若令T=0，可由(4)式給出約束力為零時，桿的位置(設此時桿的位置用qA表示)所滿足的條件因此，要使T>0，必須滿足。第三十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五即若則因此，在區(qū)間范圍內，總存在確定的qA值，使小球在這一點不受桿的作用。當q<qA時，FT＞0，即小球受拉；當q>qA時，FT＜0，即小球受壓。第三十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五umgs例7：質量為m長為l的擺在鉛垂面內擺動。初始時小球的速度為u,=0。求繩作用在小球上的力F(),并分析小球的運動。解：1、取研究對象畫受力圖

2、確定坐標系

3、建立微分方程

4、求解

5、分析小球運動Fn運動微分方程積分上式可得：第三十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五分析小球微幅擺動的運動規(guī)律運動特點：等時性（周期與初始條件無關）初始條件：微分方程的通解確定積分常數第四十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五解：1、取炮彈為研究對象,建立矢量方程2、建立直角坐標形式的運動微分方程yxo