初中數學中的概念教學

初中數學中的概念教學第一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五辛欽《數學分析簡明教程》序我想盡力做到一點，即使得在引進新概念與監(jiān)理新理論時，學生先有準備，能夠盡可能地看出這些新概念、新理論的引進是很自然的，甚至是不可避免的。我認為只有利用這種方法，在學生方面才能對于所學的東西產生真正的興趣，才能非形式化地理解與掌握所學到的東西。

第二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五什么是數學概念一個小調查：在初中數學范圍內，我們認為是數學概念的……怎樣概括出“數學概念”的概念……第三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五什么是數學概念概念：心理學名詞。由同類多數事物之諸項知覺所構成之普通觀念，謂之概念。倫理學上之概念即族類特性之定義，必須涵括同一族類觀念，對于族類之屬性所知愈多，則其概念愈近于論理的。概念之構成，含有比較、抽析、判斷、綜合諸作用?！腥A書局1981年1月第一版（據1936年版縮印），在上冊1546頁。第四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五什么是數學概念概念：類屬性的概括、抽象對象性（實體）與過程性（關系）抽象的實體是認識的最終目標，具體的關系是形成實體的基礎。第五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五什么是數學概念數學：數量關系與空間形式（模式與秩序）關于數量關系與空間形式的實體：數的系統(tǒng)，形的系統(tǒng)兩者之間的聯系：度量的系統(tǒng)*與生俱來的抽象性*徹底的追根溯源——公理（常識）*嚴密的“關系”網——結構（主體與客體）第六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五數學概念的教學原則：回歸數學（思想、內容與方法）方法：趣味性，活動性，探索性，故事性，發(fā)展性*回歸數學：歷史與現代（數學教師的專業(yè)素養(yǎng)與職業(yè)價值）*尊重學生：故事，游戲，活動第七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五回歸數學：數學與數學教育的價值數學至高至善價值的認同；數學不僅僅是邏輯、語言、工具，更是人類文明最高形式的表現之一，是文化的組成部分；教育的終極目標是使每一個人理解生命的價值和意義，數學是通向這一目標的獨特通道。

第八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五尊重學生：以敬畏之心努力營造環(huán)境兒童是天生的學習家，學習是兒童與生俱來的能力，使兒童浸淫在美的數學環(huán)境中，將最大限度的激發(fā)出兒童的數學潛能；美的數學要有適應人的發(fā)展特點的適當方式，這需要以研究為基礎的創(chuàng)造；興趣與好奇心是兒童學習的內部動力，游戲與探索性活動是引起興趣與好奇心的最有效的形式。第九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum初中數學概念教學主題數的系統(tǒng)：自然數、整數、有理數與無理數及其運算與大小關系（序）形的系統(tǒng)：點、線（線段、射線、直線），

三角形、四邊形、多邊形，全等與相似度量的系統(tǒng)：長度、面積與體積，角度，數軸與坐標系第十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五“數”的起源數是可以用來運算，并與客觀事物相聯系的一些記號。數“數”：建立事物與{1，2，3，…}聯系的過程（1-1映射）。

測量（幾何學的概念）：單位+相等

數“數”的過程中蘊含著“多少”和“順序”兩個概念。第十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五“數”的起源

“多少”的數——基數

“順序”的數——序數（歸納法、Peano公理）度量的數——長度、面積（分數、無理數）計算的數——運算、方程（負數、無理數、虛數）第十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五“數”的起源數的表示數制——十進制（手指計數）進位制：整數和小數

“實在”的意義：最基礎的“數”的記號被無形中賦予實在的意義，比如十進制中的0，1，2，…，9。O12第十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五“數”的起源數的表示分數的“好運氣”：分數也并不總是有著最直接的實在的意義，比如十進制的1/3，無限循環(huán)小數實際上描述了一個無限的過程，但這一“實在”被想當然的接受，“1/3”作為一個獨立的記號意義也沒有受到質疑，這也許是比或比例的幾何直觀意義帶來的效果。第十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五“數”的起源數的表示不可公度，“無理”的：可以接受1/3是3倍之后等于1的數，不能接受是平方之后等于2的數——比或比例的幾何直觀對思想的約束！問題：的計算。*無限循環(huán)小數與無限不循環(huán)小數*

第十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五“數”的起源是無理數的無字證明：第十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五“數”的起源現實的：將一張A4紙沿著長邊的2個中點對折，將得到2個小長方形，小長方形的長與寬之比與A4紙相同.第十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五“數”的起源數的表示*無限循環(huán)小數與無限不循環(huán)小數*

1.實數的實在性;2.實數的本質——有限與無限的辯證法。思考：“的計算”、“的計算”等說法的隱喻。

第十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五“數”的起源數的表示實數的完備性——“幾何實在性”的終結！虛數——“虛妄”的數！

i不需要再有計算的問題——運算“完備性”復數——“平面的數”四元數——“空間的數”

擴張與因襲——代數學的解放第十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五基數與序數概覽一些代數學概念的簡單回顧

1.Descartes積

AB={(a,b)|aA,bB}2.關系

AB的任意子集成為從A到B的關系。

3.映射、單射、滿射、1-1映射、逆映射

第二十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五基數與序數概覽一些代數學概念的簡單回顧

1.Descartes積

AB={(a,b)|aA,bB}2.關系

AB的任意子集成為從A到B的關系。

3.映射、單射、滿射、1-1映射、逆映射

第二十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五基數與序數概覽一些代數學概念的簡單回顧

4.二元關系

5.等價關系與分類等價關系：反身性、對稱性、傳遞性

6.偏序與偏序集偏序關系：反身性、反對稱性、傳遞性偏序集、偏序集的同態(tài)與同構偏序集表示定理*第二十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五基數與序數概覽一些代數學概念的簡單回顧

7.二元運算與代數系二元運算、代數系（1）群胚與半群（2）群、環(huán)與域（3）代數系的同態(tài)與同構嵌入*第二十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五基數與序數概覽基數與序數

1.基數與無限集基數的概念例1.N={0,1,2,…,n,…},E={0,2,4,…,2n,…}

例2.NNN

例3.QN

有限集與無限集無限集的特征可數集第二十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五基數與序數概覽有理數的可數性：有理數之樹第二十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五基數與序數概覽基數與序數例4.[0，1]（0，1）例5.（0，1）R

例6.實數集是不可數集基數的比較

Cantor定理第二十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五基數與序數概覽基數與序數例7.|P(M)|=2|M|

例8.|R|=|P(N)|

例9.RR2Cantor-Schr?der-Bernstein定理第二十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cantor-Schr?der-Bernstein定理第二十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cantor-Schr?der-Bernstein定理第二十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五康托的有限與無限基數理論:Cantor的連續(xù)統(tǒng)假設（Hilbert第一問題）新的統(tǒng)合——amazing的結論全體自然數是構成“最小”的無限！全體自然數與全體有理數“一樣多”！全體實數是“第2個”被認知的無限！任意集合的冪集合的基數都來的真的大！全體自然數的冪集合與全體實數一樣多！第三十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五基數與序數概覽基數與序數

2.良序集與序數良序集的概念良序集的同構與序數序數的構造超限歸納法良序公理

第三十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Peano公理與自然數的構造Peano公理（1）1N；（2）nN，n+N；（3）nN，n+1；（4）m、nN，m+=n+，則m=n；（5）若N的任意子集S滿足

1S；

nSn+S,

則S=N。

第三十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Peano公理與自然數的構造

性質1.nN，n+n；性質2.nN，n1，mNs.t.m+=n.

加法：

n+1=n+；

n+m+=（n+m）+.

加法滿足結合律、交換律、消去律。

第三十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Peano公理與自然數的構造

乘法：

n?1=n；

n?m+=n?m+n.

乘法滿足結合律、交換律，乘法對加法的分配律。

第三十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Peano公理與自然數的構造

序關系比較定理：m、nN，以下情形有且只有一種情形成立：（1）m=n；（2）jNs.t.m=n+j；（3）kNs.t.n=m+k。第三十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Peano公理與自然數的構造

序關系m、nN，定義：

n<mjNs.t.m=n+j。傳遞性、加法保序性、乘法保序性最小數原理：N的任意非空子集都有最小數。阿基米德公理：a、bN，a<b，則nNs.t.b<na。第三十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從自然數到整數

——負數的引入與整數的構造1.負數的引入實際的需要、運算的需要從運算角度一個可能的引入方法：定義-a是滿足x+a=0的數，那么如何得到運算法則的合理性解釋呢？比如，（-a）+（-b）=-（a+b）（-a）.（-b）=ab第三十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從自然數到整數

——負數的引入與整數的構造1.負數的引入設x+a=0,y+b=0,于是（x+y）+(a+b)=0

所以（-a）+（-b）=-（a+b）又b(x+a)=0,(y+b)x=0

即bx+ba=0,yx+bx=0

于是yx=-bx=ba

即(-a)(-b)=ab第三十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從自然數到整數

——負數的引入與整數的構造2.整數的構造（1）一個集合

D={(a,b)|a、bN}

（2）等價關系與商集

(a,b)(c,d)b+c=a+d

定義：Z=D/

第三十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從自然數到整數

——負數的引入與整數的構造

（3）運算加法：[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]

乘法：[a,b][c,b]=[ad+bc,bd+ac]

定義的合理性（與代表選取無關）結合律、交換律、分配律加法的0元和負元乘法的單位元

第四十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從自然數到整數

——負數的引入與整數的構造

（4）序關系正整數集

Z+={[a,b]|a、bN，b>a}

定義：a、bZ，a<bb-aZ+

傳遞性、加法保序性、乘法保序性

第四十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從自然數到整數

——負數的引入與整數的構造

（5）嵌入

f：NZ,n[1,1+n]

證明：（1）f是1-1映射；（2）f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b)a<bf(a)<f(b).*整數環(huán)Z

第四十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從整數到有理數

——分數的引入與有理數的構造1.分數的引入設xa=1,yb=1,于是

(xy)(ab)=1

所以xy=a-1b-1=(ab)-1

記a-1=1/a，則ab-1=a/b*推測分數加法和乘法的可能形式第四十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從整數到有理數

——分數的引入與有理數的構造2.有理數的構造（1）一個集合

D={(a,b)|aZ,bZ*=Z\{0}}

（2）等價關系與商集

(a,b)(c,d)bc=ad

定義：Q=D/

第四十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從整數到有理數

——分數的引入與有理數的構造

（3）運算加法：[a,b]+[c,d]=[ad+bc,bd]

乘法：[a,b][c,b]=[ac,bd]

定義的合理性結合律、交換律、分配律加法的0元和負元乘法的單位元

第四十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從整數到有理數

——分數的引入與有理數的構造

（4）序關系正有理數集

Q+={[a,b]|abZ+}

定義：a、bZ，a<bb-aQ+

傳遞性、加法保序性、乘法保序性

第四十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從整數到有理數

——分數的引入與有理數的構造

（5）嵌入

f：ZQ,a[a,1]

證明：（1）f是1-1映射；（2）f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b)a<bf(a)<f(b).

稠密性、阿基米德性質*有理數域

第四十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從有理數到實數

——無理數數的引入與實數的構造1.無理數的引入設x2=2,證明：x不是有理數。用反證法。

x=m/n,m、n互質,則m2/n2=2，

m2=2n2，m2是偶數，從而m是偶數，設m=2t，于是4t2=2n，n=2t2，n是偶數，這與m、n互質矛盾。

第四十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從有理數到實數

——無理數數的引入與實數的構造2.實數的構造（1）一個集合

Contor序列：{rn}是有理數序列，如果Q+，N1Ns.t.m、n>N1,|rm-rn|<，那么，就稱{rn}是Contor序列。

D={{rn}|{rn}是Contor序列}

（2）等價關系與商集

{rn}{sn}lim(rn-sn)=0

定義：R=D/

第四十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從有理數到實數

——無理數數的引入與實數的構造

（3）運算加法：[rn]+[sn]=[rn+sn]

乘法：[rn][sn]=[rnsn]

定義的合理性結合律、交換律、分配律加法的0元和負元乘法的單位元

第五十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從有理數到實數

——無理數數的引入與實數的構造

（4）序關系正實數集

R+={[rn]|Q+,N1N+s.t.n>N1,rn>}

定義：a、bR，a<bb-aR+

傳遞性、加法保序性、乘法保序性

第五十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從有理數到實數

——無理數數的引入與實數的構造

（5）嵌入有理實數與無理實數

f：QR,r[rn]

證明：（1）f是1-1映射；（2）f(a+b)=f(a)+f(b)f(ab)=f(a)f(b)a<bf(a)<f(b).

實數的完備性*實數域

第五十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從實數到復數

——虛數單位i的引入與復數的構造1.虛數單位i的引入

x2=-12.復數的構造（1）C={(a,b)|a,bR}

（2）加法：(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

乘法：(a,b)(c,b)=(ac-bd,ad+bc)

結合律、交換律、分配律加法的0元和負元乘法的單位元

第五十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五從實數到復數

——虛數單位i的引入與復數的構造

（3）復數不能比較大小的實質——非有序域。用反證法，假設存在復數集合P滿足(I)若aC，則有且僅有下述情形之一成立：

a=0；a是P的一個元素；-a是P的一個元素。

(II)若a、b是P的兩個元素，則a+b和ab也是P的元素。再考慮i與P的關系即可。代數學基本定理：任意復系數多項式在復數域里有解。

第五十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五數系的發(fā)展自然數整數有理數實數

復數四元數

…

抽象代數結構第五十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum“形”的起點：勾股定理中國古代的經典《周髀算經》

成書約公元前100年，卷一上記錄了公元前11世紀，周公與商高的一段對話，即出現了勾股定理。第五十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum什么是勾股定理昔者周公問于商高曰：竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可將尺寸而度，請問數安從出？第五十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum什么是勾股定理商高曰：數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以為句廣三、股修四、徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。第五十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum什么是勾股定理周公曰：大哉言數，請問用矩之道？第五十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum什么是勾股定理商高曰：平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠。環(huán)矩以為圓，合矩以為方。方屬地，圓屬天，天圓地方。方數為典，以方出圓。笠以寫天，天青黑，地黃赤，天數之為笠也。青黑為表，丹黃為里，以象天地之位。第六十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum什么是勾股定理是故，知地者智，知天者圣。智出于句，句出于矩。夫矩之于數，其裁制萬物，惟所為耳。周公曰：善哉。第六十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum趙爽的弦圖第六十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum什么是勾股定理第六十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum什么是勾股定理第六十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum兩個相關聯的問題

1.什么是直角？2.什么是面積？第六十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum商高的證明既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。第六十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum商高的證明第六十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五Cogito,ergosum《原本》中的證明

約公元前300年第六十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五《原本》及其公理化方法《幾何原本》（希臘語：Στοιχε?α）是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學著作，共13卷。這本著作是現代數學的基礎，在西方是僅次于《圣經》而流傳最廣的書籍。第六十九頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五《原本》及其公理化方法中國最早的譯本是1607年意大利傳教士利瑪竇（MatteoRicci，1552－1610）和徐光啟根據德國人克拉維烏斯校訂增補的拉丁文本《歐幾里得原本》（15卷）合譯的，定名為《幾何原本》，幾何的中文名稱就是由此而得來的。他們翻譯了前6卷，后9卷由英國人偉烈亞力(AlexanderWylie，1815—1887)和中國科學家李善蘭在1857年譯出。第七十頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五數學與孩子歐幾里得（Euclid）的杰作——《原本》2000多年的世界性的教科書！把所有的數學的起點歸結為10條公理：公理1跟同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。公理2等量加等量，總量仍相等。公理3等量減等量，余量仍相等。公理4彼此重合的東西是相等的。公理5整體大于部分第七十一頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五數學與孩子

公設1過兩點確定一條直線。公設2直線可以無限延長。公設3以一個點為圓心，任意距離為半徑可以做一個圓。公設4所有直角彼此相等。公設5（平行公設）兩條直線被第三條直線所截，同旁內角小于兩直角，則這兩條直線在同一側必然交于一點。第七十二頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五《原本》證明的實質第七十三頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五“環(huán)而共盤”的妙處第七十四頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五“環(huán)而共盤”的妙處第七十五頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五“環(huán)而共盤”的妙處第七十六頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五劉徽證明的實質第七十七頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五勾股定理一共有多少種證明方法？勾股定理因為其重要性，很多人參與到尋求新證明的行列中，甚至據說1876年的美國總統(tǒng)Garfield也給出了如下的一個證明，顯然，這個證明并不“新”！第七十八頁，共九十七頁，編輯于2023年，星期五