高中數(shù)學(xué)集合與常用邏輯用語(yǔ)命題及其關(guān)系充分條件與必要條件

第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件1．命題的概念用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以____________的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語(yǔ)句叫做_________，判斷為假的語(yǔ)句叫做__________．判斷真假真命題假命題2．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系：(2)四種命題的真假關(guān)系①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有_______的真假性；②兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性_______________．3．充分條件與必要條件(1)如果p?q，則p是q的_____條件，q是p的_____條件．(2)如果p?q，那么p與q互為_____________．(3)如果pD/?q，且qD/?p，則p是q的_______________________．相同沒有關(guān)系充分必要充要條件既不充分又不必要條件1．“命題的否定”就是“否命題”這種判斷是否正確？為什么？【提示】

不正確，①概念不同，命題的否定是直接對(duì)命題的結(jié)論否定；否命題是對(duì)原命題的條件和結(jié)論分別否定．②構(gòu)成不同，對(duì)于“若p，則q”形式的命題，命題的否定為“若p，則綈q”；其否命題是“若綈p，則綈q”，③真值不同，命題的否定與原命題真假相反；而否命題與原命題真假無(wú)關(guān)．【提示】

由逆命題為真，知qp；逆否命題為假，知pq；故p是q的必要不充分條件．

2．命題“若p，則q”的逆命題為真，逆否命題為假，則p是q的什么條件？1．(人教A版教材習(xí)題改編)下列命題正確的是(

)①“a＞b”是“a2＞b2”的充分條件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要條件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要條件；④“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要條件．A．②④B．②③C．②③④D．③④【解析】

由于|a|＞|b|?a2＞b2，a＞b?a＋c＞b＋c，故②③正確．由于a＞bD/?a2＞b2，且a2＞b2D/?a＞b，故①錯(cuò)；當(dāng)c2＝0時(shí)，a＞bD/?ac2＞bc2，故④錯(cuò)．【答案】

B【答案】

C3．命題“若a＞－3，則a＞－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個(gè)數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4【解析】

原命題正確，從而其逆否命題正確；其逆命題為“若a＞－6，則a＞－3”是假命題，從而其否命題也是假命題，故選B.【答案】

B4．(2012·天津高考)設(shè)φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的(

)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】

若φ＝0，則f(x)＝cosx是偶函數(shù)，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函數(shù)，則φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的充分而不必要條件．【答案】

A (1)命題p：“若a≥b，則a＋b＞2012且a＞－b”的逆否命題是(

)A．若a＋b≤2012且a≤－b，則a＜bB．若a＋b≤2012且a≤－b，則a＞bC．若a＋b≤2012或a≤－b，則a＜bD．若a＋b≤2012或a≤－b，則a≤b(2匪)下列配命題桶中為蜓真命渣題的磚是()A．命保題“若x＞y，則x＞|y|”的逆論命題B．命萌題“x＞1，則x2＞1”的否址命題C．命瞎題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”的否灘命題D．命復(fù)題“若x2＞0，則x＞1”的逆符否命宗題【思路借點(diǎn)撥】(1依)直接陣根據(jù)惕逆否調(diào)命題土的定您義寫載出，站但應(yīng)況注意“且”的否報(bào)定是“或”．(2賞)分清鑼命題靈的條雜件與軍結(jié)論但，寫即出原巧命題飄的逆單命題工、否爐命題篇后再沾判斷計(jì)真假予．【嘗試源解答】(1窯)“且”的否鏈定是“或”，根藏?fù)?jù)逆胸否命乓題的監(jiān)定義候知，滲逆否市命題醬為“若a＋b≤2券01銹2或a≤－b，則a＜b”，故棉選C.(2粘)A中逆臥命題剩為“若x＞|y|，則x＞y”是真帆命題背；B中否長(zhǎng)命題截為“若x≤1，則x2≤1”是假巨命題樣；C中否石命題撫為“若x≠1，則x2＋x－2≠0”是假雨命題溝；D中原敢命題攔是假鴉命題項(xiàng)，從桶而其同逆否本命題塵為假盟命題廟．【答案】(1鑰)C(2方)A1．本例(1桑)中應(yīng)值注意“且”的否素定是“或”，本誦例(2淋)中可勸利用猾原命闊題與眨逆否籍命題熊同真蠶假來(lái)芹判斷杜．2．(1俗)在判秘?cái)嗨睦畏N命驕題之茂間的殼關(guān)系島時(shí)，百首先嬌要分棗清命庭題的壞條件老與結(jié)協(xié)論，縮慧再考號(hào)查每輪個(gè)命餓題的追條件肢與結(jié)合論之嫩間的名關(guān)系狹．(2父)當(dāng)一駛個(gè)命橋題有趨大前賽提而著需寫禮出其租他三尖種命禾題時(shí)挽，必能須保懶留大體前提浩不變寬．3．判扯定命幫題為挖真，杯必須貧推理絲式證明泉；若帽說(shuō)明噴為假投，只宵需舉芹出一雪個(gè)反網(wǎng)例．爺互為炸逆否墓命題驚是等億價(jià)命暫題，護(hù)根據(jù)疏需要讀，可顏相互漢轉(zhuǎn)化炒．(1告)命題“若x、y都是必偶數(shù)艙，則x＋y也是員偶數(shù)”的逆另否命汪題是()A．若x＋y是偶策數(shù)，救則x與y不都薪是偶送數(shù)B．若x＋y是偶際數(shù)，命則x與y都不栽是偶扯數(shù)C．若x＋y不是嘗偶數(shù)竄，則x與y不都沃是偶店數(shù)D．若x＋y不是當(dāng)偶數(shù)瓜，則x與y都不束是偶撒數(shù)(2茄)(2象01悉3·啟東宮模擬)已知奪命題p：若a＞0，則批方程ax2＋2x＝0有解嗓，則爺其原凳命題取、否津命題卵、逆溝命題傷及逆積否命脈題中述真命堡題的棕個(gè)數(shù)唉為__持__脫__臣__．【解析】(1珍)“x＋y是偶擋數(shù)”的否彼定為“x＋y不是份偶數(shù)”，“x，y都是拿偶數(shù)”的否倡定為“x，y不都龍是偶速數(shù)”．因此走其逆盤否命賢題為“若x＋y不是英偶數(shù)眼，則x，y不都相是偶孫數(shù)”．故選C.(2蒜)命題p是真種命題相，從辣而其石逆否既命題盼也是析真命串題；命題p的逆或命題腫是“若方局程ax2＋2x＝0有解粗，則a＞0”是假窗命題以，從而藥命題p的否展命題銳也是眨假命情題，租故真蕉命題隊(duì)的個(gè)俘數(shù)為2.【答案】(1束)C(2奪)2【思路茅點(diǎn)撥】(1強(qiáng))把條棗件和掉結(jié)論睜轉(zhuǎn)化繁為x的取疫值范膽圍，萌通過(guò)腳集合門間的來(lái)關(guān)系震來(lái)判姨斷．(2凳)根據(jù)BA可求m的值員，取墊其中例的一肝個(gè)m值即青可．【答案】(1活)B(2摸)m＝0(答案筒不唯賣一)充分赴、必謹(jǐn)要條屯件的避判斷埋方法目．(1哈)命題老判斷瓶法：鑼通過(guò)璃判斷p?q與q?p是否倚成立乏確定p是q的什昌么條悔件．(2客)集合費(fèi)判斷竊法：順建立遷命題p，q相應(yīng)懶的集乒合p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那旁么從辭集合凍的觀菊點(diǎn)看腸，①若A?B，則p是q的充磚分條窗件，品若AB，則p是q的充妥分不北必要恰條件煉；②若B?A，則p是q的必賀要條挎件，修若BA，則p是q的必弄要不確充分甲條件妖；③若A?B且B?A，即A＝B，則p是q的充擦要條疏件．下面繼四個(gè)短條件加中，隊(duì)使a＞b成立中的充嫩分而歪不必胃要的囑條件悄是()A．a(chǎn)＞b＋1B．a(chǎn)＞b－1C．a(chǎn)2＞b2D．a(chǎn)3＞b3【解析】由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反蟻之不度成立董．故討選A.【答案】A(2般01壩3·大同遣模擬)設(shè)命虛題p：2x2－3x＋1≤0；命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必舞要不亮充分睬條件分，則刊實(shí)數(shù)a的取港值范樣圍是__馳__屆__獎(jiǎng)__．【思路桐點(diǎn)撥】先解憂不等技式把逢命題p、q具體褲化，撕再由記互為碧逆否惱命題谷的等或價(jià)性越確定p、q之間問(wèn)的關(guān)牌系，日最后塑根據(jù)石集合辨的關(guān)繳系列節(jié)不等寶式求單解．1．本題狀也可績(jī)先求武出綈p，綈q，再嗚根據(jù)綈p、綈q之間鉗的關(guān)根系，熟確定扯集合魔間的懲關(guān)系承求解木．2．解決次此類涉問(wèn)題策一般梁是把悟充分玻條件罩、必價(jià)要條途件或祥充要始條件炮轉(zhuǎn)化叛為集財(cái)合之久間的挪關(guān)系靈，然五后根嫌據(jù)集展合之伯間的漁關(guān)系墳列出筍關(guān)于漁參數(shù)麻的不偏等式洽求解渣．3．注評(píng)意利筑用轉(zhuǎn)傾化的龍方法灑理解此充分挪必要無(wú)條件危：若綈p是綈q的充毀分不芹必要(必要純不充證分、幼充要)條件怪，則p是q的必斗要不弊充分(充分霉不必衫要、變充要)條件商．【答案】[9，＋∞)“A是B的充催分不愈必要鎮(zhèn)條件”中，A是條類件，B是結(jié)蜘論；“A的充道分不休必要躲條件矩是B”中，B是條鋸件，A是結(jié)肥論．呼在進(jìn)心行充口分、欲必要妥條件咳的判針斷中毯，要穿注意角這兩煎種說(shuō)沒法的炒區(qū)別川．1.逆命扭題與象否命婆題互崖為逆鋼否命乞題；2．互為艦?zāi)娣穹颐}害的兩諸個(gè)命意題同援真假糕．充分當(dāng)條件勾、必?fù)芤獥l慕件的個(gè)判斷覺方法1．定義績(jī)法：更直接晴判斷“若p則q”、“若q則p”的真脹假．勁并注媽意和氧圖示泡相結(jié)占合，仁例如“p?q”為真棵，則p是q的充第分條掌件．2．等價(jià)響法：竟利用p?q與綈q?綈p，q?p與綈p?綈q，p?q與綈q?綈p的等麻價(jià)關(guān)昆系，座對(duì)于撐條件訴或結(jié)川論是計(jì)否定拐式的熱命題掏，一踐般運(yùn)極用等壺價(jià)法姑．3．集合創(chuàng)法：隔若A?B，則A是B的充址分條纖件或B是A的必哪要條擔(dān)件；叢若A＝B，則A是B的充善要條影件．從近享兩年寇高考?xì)q命題干來(lái)看炕，本的節(jié)多也是對(duì)抓充要跪條件穿的考蕩查，則少數(shù)虧涉及殊到四研種命繭題及璃其真筑假判葬斷，目題型鄉(xiāng)豐以客茂觀題深為主目，屬煎中、饒低檔腔題，市內(nèi)容攪以數(shù)同學(xué)概樹念、泄幾何蘇定理殿、函百數(shù)或迫不等怎式的豆性質(zhì)反為載娘體，緣瑞主要肆考查飄邏輯憐推理私能力痕．常文見錯(cuò)趁誤是層充要悠條件嘉的兩泡種不累同的扔敘述辰方式擊不清上致誤術(shù)．(2覺01冠2·山東叔高考)設(shè)a＞0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是端減函蚊數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是妥增函伙數(shù)”的()A．充齡分不況必要會(huì)條件B．必澤要不臂充分筆條件C．充蓬分必鋪要條灑件D．既利不充覆分也靜不必跟要條渣件易錯(cuò)酸辨析微之一鏡兩謠種不汁同的艘敘述悄方式鞠不清掠致誤【錯(cuò)解】“函數(shù)f(x)＝ax在R上是誓減函亭數(shù)”的充困要條慶件是p：0＜a＜1.因?yàn)間′(x)＝3(鳴2－a)x2，而x2≥0，又暑因?yàn)閍＞0且a≠1，所沿以“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是置增函始數(shù)”的充延要條常件是0＜a＜2且a≠1.故“函數(shù)f(x)＝ax在R上是叉減函賊數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是常增函繩數(shù)”的必況要不妙充分楊條件胡，故挨選B.【答案】B錯(cuò)因償分析毅：(1鉆)錯(cuò)選B，究籃其原碼因是門將“p是q的充扣分不忘必要軋條件”與“p的一抹個(gè)充蕩分不曠必要貧條件隔是q”混淆秤，導(dǎo)察致顛集倒充聯(lián)分性劃與必畏要性忙．(2拖)不會(huì)捷用集雹合法闖判斷掉充要麗條件燒．防范勸措施質(zhì)：(1奏)在判就斷充腿要條救件的形問(wèn)題秋中，“p是q的充愛分不哲必要探條件”與“p的一翻個(gè)充適分不謝必要觸條件艘是q”這兩浙種敘犧述的糧含義按是不冤同的棟，“p的一刻個(gè)充姐分不宜必要精條件納是q”等價(jià)翅于“q是p的充退分不竄必要麻條件”，解攔決此鞠類問(wèn)群題時(shí)孤應(yīng)先款將問(wèn)效題轉(zhuǎn)秤化為光第一神種基服本的懲敘述世方式狗，然讓后再攀進(jìn)行烤判斷茅．(2適)設(shè)p，q對(duì)應(yīng)貝的集妖合分俗別為A，B，則p，q之間替的關(guān)傍系可藏轉(zhuǎn)化頭為相趕應(yīng)的混兩個(gè)腔集合苗之間恢的關(guān)爪系，“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減狀函數(shù)”為真遲時(shí)，a的取睡值集現(xiàn)合A＝(0，1)；“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是見增函皮數(shù)”為真鞭時(shí)，a的取貼值集哨合B＝(0，1)∪(1，2)．顯禮然AB，故p是q的充浩分不餓必要漏條件故．【正解】“函數(shù)f(x)＝ax在R上是說(shuō)減函部數(shù)”的充士要條恩件是p：0＜a＜1.因?yàn)間′(x)＝3(眉2－a