2021屆重慶市高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題(解析版)

2021屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出集合A，B，再求出交集即可.【詳解】，，由得，解得或，或，.故選：C.【點睛】本題考查了集合交集的運算，考查了求函數(shù)值域，考查了分式不等式的解法，在求集合時，注意描述對象的確定，屬于簡單題.2．已知（為虛數(shù)單位），則實數(shù)等于（）A．1 B． C． D．0【答案】A【解析】由可知其實部大于0，虛部等于0，化簡出，即可求出.【詳解】由可知其實部大于0，虛部等于0，,，解得.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算，考查復(fù)數(shù)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.3．命題“，”的否定是（）A．，均有 B．，均有C．，使得 D．，使得【答案】C【解析】全稱命題的否定需要把改為，把結(jié)論否定即可.【詳解】“，”的否定是，使得，故選：C【點睛】本題主要考查了全稱命題的否定是特稱命題，屬于基礎(chǔ)題.4．下列函數(shù)中，值域為且在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)值域的求法逐個分析判斷即可【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以A不滿足；對于B，函數(shù)的定義域為，且函數(shù)的值域為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以B滿足；對于C，函數(shù)的定義域為，由，得，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以C不滿足；對于D，函數(shù)的定義域為，由，可知函數(shù)在上為單調(diào)遞增，因為，所以，所以，所以，所以函數(shù)的值為，所以D不滿足，故選：B【點睛】此題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題5．已知，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)可得則是定義在的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則等價于，建立不等式組即可求解.【詳解】可知的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，則是定義在的偶函數(shù)，，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減，則等價于，，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.6．“喊泉”是一種地下水的毛細現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強與標準聲調(diào)（約為，單位：）之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作（貝爾），即，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度（分貝）與噴出的泉水高度（米）滿足關(guān)系式，現(xiàn)知同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為70米，若同學(xué)大喝一聲的聲強大約相當于100個同學(xué)同時大喝一聲的聲強，則同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為（）米.A． B．7 C．50 D．60【答案】D【解析】設(shè)同學(xué)的聲強為，噴出泉水高度為，則同學(xué)的聲強為，噴出泉水高度為70，則由可得，，從而可求出的值【詳解】設(shè)同學(xué)的聲強為，噴出泉水高度為，則同學(xué)的聲強為，噴出泉水高度為70，，，相減得.故選：D【點睛】此題考查函數(shù)的實際應(yīng)用問題，考查對數(shù)的運算，考查分析問題的能力，屬于中檔題7．已知函數(shù)，，若方程有4個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意畫出函數(shù)的圖象，令，，則關(guān)于的方程有兩個小于1的實根，數(shù)形結(jié)合即可得解；【詳解】解：因為，所以的圖象如下所示，因為所以開口向下，且最大值為1的二次函數(shù)，令，，則關(guān)于的方程有兩個小于1的實根，即與，有兩個交點，由圖象易知當且僅時滿足題意.故選：C【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.二、多選題8．已知函數(shù)，則下列區(qū)間中含零點的是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】計算出各端點處的函數(shù)值，若兩端一正一負即可判斷出存在零點.【詳解】，，，，，根據(jù)零點的存在性定理可知和存在零點.故選：AD.【點睛】本題考查零點的存在性定理，屬于基礎(chǔ)題.9．下列四個函數(shù)中過相同定點的函數(shù)有（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】分別求出各個函數(shù)的定點，即可判斷.【詳解】對于，當時，，則過定點；對于，當時，，則過定點；對于，當時，，則過定點；對于，當時，，則過定點,故A，B中的函數(shù)過相同的定點.故選：AB.【點睛】本題考查函數(shù)定點的判斷，屬于基礎(chǔ)題.10．已知函數(shù)關(guān)于點對稱，對任意，都有成立，且當，時，都有，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在上有1011個零點D．函數(shù)在上為減函數(shù)【答案】ABC【解析】根據(jù)題意可判斷關(guān)于對稱且關(guān)于對稱，可知在單調(diào)遞增，可得出函數(shù)是周期為4的函數(shù)，即可依次判斷每個選項正誤.【詳解】函數(shù)關(guān)于點對稱，關(guān)于對稱，，，關(guān)于對稱，當，時，都有，在單調(diào)遞增，綜上，可畫草圖，可知，是以4為周期的函數(shù)，則，，故A正確；可看作向左平移5個單位得到，平移后關(guān)于軸對稱，是偶函數(shù)，故B正確；在的零點個數(shù)有個，故C正確；在的圖象和在的圖象一致，應(yīng)為增函數(shù)，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合運用，屬于中檔題.11．已知，且實數(shù)，滿足成立，則以下正確的是（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為9 D．的最大值為3【答案】ABD【解析】根據(jù)條件可得，其中，，即可判斷每個選項正誤.【詳解】為奇函數(shù)，，定義域為，則，，并且，，A正確；當，時，最小值為，最大值為3，B、D正確；，C錯誤.故選：ABD.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12．已知，，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】根據(jù)條件表示出，即可分別判斷各個選項的正誤.【詳解】，又，即，由得，則，得，則，所以A正確；可知，，則，故C正確；對于B：∵B錯；對于D：由和知與均遞減，再由，的大小關(guān)系知D正確.故選：ACD.【點睛】本題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互換，考查大小的判斷，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題13．______.【答案】【解析】利用指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)運算即可.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)的混合運算，屬于基礎(chǔ)題.14．已知函數(shù)（其中為的導(dǎo)函數(shù)），則______.【答案】0【解析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入，可求出，即可求出函數(shù)解析式，得出.【詳解】，，，，.故答案為：0.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.15．已知，，若對任意的，都存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】由條件知，分別求出和，即可建立不等式求解.【詳解】由條件知，而，，，由分母遞增知遞減，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查不等式的恒成立問題，考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查含有根式函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.16．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且的圖象和函數(shù)的圖象交于不同兩點、，若線段的中點落在直線上，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】由函數(shù)是奇函數(shù)得，從而求出，聯(lián)立兩個函數(shù)方程，利用可求出.【詳解】為奇函數(shù)，，即，解得，經(jīng)檢驗為奇函數(shù)，設(shè)，聯(lián)立兩個函數(shù)的方程，消去得到關(guān)于的二次方程，，因為中點縱坐標為，所以，，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查函數(shù)的交點問題，屬于中檔題.四、解答題17．已知二次函數(shù)頂點坐標為，且圖象和軸兩交點間的距離為4.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題可知和軸兩交點為，，故可設(shè)，然后將頂點坐標為代入，可求出的值，從而可得到二次函數(shù)的解析式；（2））設(shè)，則在上恒成立，所以，進而可求出的取值范圍【詳解】（1）由題可知和軸兩交點為，，故可設(shè)，由題可知：，所以.（2）設(shè)，則在上恒成立，故有.【點睛】此題考查二次函數(shù)解析式的求法，考查一元二次不等式恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題18．為了解學(xué)生課余學(xué)習時間的多少是否與成績好壞有關(guān)，現(xiàn)隨機抽取某校高三年級30名學(xué)生進行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表（以平均每天課余學(xué)習時間是否達到4小時，最近一次月考總成績是否在年級前100名（含）為標準）：4小時以上不足4小時合計前100名（含）2100名以后18合計30已知在這30人中隨機抽取1人，抽到最近一次月考總成績在前100名的學(xué)生的概率為.（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整，并據(jù)此判斷是否有％的把握認為課余學(xué)習時間達到4小時和成績在年級前100名有關(guān)？說明你的理由；（2）通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，這30位同學(xué)最近一次月考數(shù)學(xué)成績（分）近似服從正態(tài)分布，若這30位同學(xué)所在的高三年級有800人，試以這30人的成績分布情況估計高三年級最近一次月考數(shù)學(xué)成績在130分及以上的大概有多少人？（最后結(jié)果小數(shù)部分四舍五入成整數(shù)）參考公式：，其中，，.【答案】（1）答案見解析，有，答案見解析；（2）127人.【解析】（1）根據(jù)抽到最近一次月考總成績在前100名的學(xué)生的概率為，設(shè)這30人中有人在前100名，由，解得，完成列聯(lián)表，然后利用，求得，與臨界表對照下結(jié)論.（2）根據(jù)數(shù)學(xué)成績（分）近似服從正態(tài)分布，則由由題可知求解.【詳解】（1）設(shè)這30人中有人在前100名，則由題可得：，解得，故聯(lián)表補充如下：4小時以上不足4小時合計前100名（含）628100名以后41822合計102030所以，故有％的把握認為課余學(xué)習時間達到4小時和總成績在年級前100名有關(guān).（2）由題可知故高三年級800人中超過130的大約有（人）.【點睛】本題主要考查獨立性檢驗和正態(tài)分布的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.19．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在極小值，且極小值大于，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論的范圍，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由（1）中所得的單調(diào)性可求出極小值，列出不等式即可求解.【詳解】（1），因為，故由，①當時，在上恒成立，此時在上遞增②當時，，令或，此時在和上遞增，在上遞減③當時，，令或此時在和上遞增，在上遞減.（2）由（1）的分析可知：當時，有極小值，由題可知.當時，有極小值，顯然滿足，故，綜上，.【點睛】本題考查含參函數(shù)單調(diào)性的討論，考查極小值的判斷，屬于中檔題.20．重慶作為新興的“網(wǎng)紅城市”，有很多風靡網(wǎng)絡(luò)的“網(wǎng)紅景點”，近幾年每年都有大量游客來重慶參觀旅游.為了更合理的配置旅游資源，管理部門對首次來重慶旅游的游客進行了問卷調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計，其中的游客計劃只游覽千年古鎮(zhèn)——磁器口古鎮(zhèn)，另外的游客計劃既游覽磁器口，又準備“打卡”洪崖洞景區(qū).每位游客若只游覽磁器口，則記0分，若既游覽磁器口，又“打卡”洪崖洞，則記一分.假設(shè)每位首次來磁器口游覽的游客是否“打卡”洪崖洞相互獨立，并且以頻率估計概率.（1）從游客中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在參觀洪崖洞景區(qū)某特色景點入口處景區(qū)攝影部會為每位游客拍一張與該景點的合影，游客若要帶走則需支付20元，沒賣出去的照片統(tǒng)一銷毀.運營一段時間后，經(jīng)過統(tǒng)計，只有20％的游客會選擇帶走照片.經(jīng)過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)照片收費與游客消費意愿有較強的線性相關(guān)性，并統(tǒng)計出在原有的基礎(chǔ)上，價格每下調(diào)1元，游客選擇帶走照片的概率平均增加.已知每張照片的綜合成本為3元，若每位游客是否購買照片相互獨立，則應(yīng)如何定價才能使得每天的平均利潤最大？【答案】（1）分布列見解析，；（2）每張照片定價（元）時利潤最大.【解析】（1）由題可知可能的取值為0，1，2，3，求出各個取值的概率，即可寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)在20元基礎(chǔ)上下調(diào)元，建立函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出.【詳解】（1）由題可知可能的取值為0，1，2，3，且有，，，，所以的分布列為：0123.（2）假設(shè)在20元基礎(chǔ)上下調(diào)元，則每張照片的平均利潤為：，易知當時，即每張照片定價（元）時利潤最大.【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，屬于基礎(chǔ)題.21．已知橢圓上任意一點到其左右焦點、的距離之和均為4，且橢圓的中心到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知以橢圓右頂點為直角頂點的動直角三角形斜邊端點、落在橢圓上，求動直角面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由距離之和為4可得，由到直線的距離為可得，求出，即可寫出橢圓方程；（2）設(shè)所在直線，聯(lián)立橢圓，寫出韋達定理，利用可求出，表示出三角形面積，即可求出最大值.【詳解】（1）由題可知.（2）由題易知斜邊不可能和軸平行，故可設(shè)所在直線，聯(lián)立消去整理得：，設(shè)，，則有，，，由題可知（舍）或可得所在直線方程為：，恒過定點，所以，令，，則，在上遞增，所以，所以面積的最大值為，此時所在直線方程為：.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求法，考查橢圓中三角形面積的最值問題，屬于較難題.22．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程有唯一的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，求，斜率為，寫出切線的方程，再將點點代入切線方程即可求出實數(shù)的值；（2）易知為方程的根，只需證明當和時原方程均沒有實數(shù)解即可，分別討論，當時，，，方程的解得情況，以及當時，，，方程的解得情況，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），所以在點處的切線的斜率，又，所以切線的方程為：，即，由經(jīng)過點可得：.（2）易知為方程的根，由題只需說明當和時原方程均沒有實數(shù)解即可.①當時，若，顯然有，而恒成立，此時方程顯然無解若，，，令