第十講剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒

15.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能5.5對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律2教學(xué)基本要求

1理解力矩的功，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。

2掌握剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律

3

能運(yùn)用轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理和角動(dòng)量守恒定律

分析和解決剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力學(xué)問(wèn)題。作業(yè)：練習(xí)5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能及角動(dòng)量守恒定律本節(jié)內(nèi)容提綱

1力矩的功，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。

2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律力矩的空間累積效應(yīng)

力矩的功，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，動(dòng)能定理。力的空間累積效應(yīng)力的功，動(dòng)能，動(dòng)能定理。5.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能一.力矩的功

剛體在力作用下繞軸轉(zhuǎn)過(guò)一微小角位移d，力作功為：力矩的功：

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體作的功等于相應(yīng)力矩和角位移的乘積。力矩的元功：OP.力矩的功：1）若M的大小、方向不變—恒力矩，2）力矩做功的正負(fù)5）力矩對(duì)定剛體空間累積作用效果——力矩的功。4）如果剛體同時(shí)受到N個(gè)外力時(shí)，這

N個(gè)外力使

剛體轉(zhuǎn)過(guò)d角的過(guò)程中，所作的總功為：討論：

力矩的功率：可見(jiàn)，力矩的功率等于力矩與角速度的乘積。1、定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)力矩對(duì)剛體所作的功。2、公式：功率一定時(shí)，轉(zhuǎn)速越大，力矩越?。晦D(zhuǎn)速越小，力矩越大。表示力矩對(duì)剛體作功的快慢。zO設(shè)系統(tǒng)包括有N個(gè)質(zhì)量元，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的總動(dòng)能為：P?，其動(dòng)能為：取二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能（剛體上所有質(zhì)元的動(dòng)能之和。）各質(zhì)量元速度不同，但角速度相同。9三、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。剛體：各質(zhì)量元間無(wú)相對(duì)位移，所以內(nèi)力矩不做功。質(zhì)點(diǎn)系：外力和內(nèi)力的功對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能變化均有影響。

剛體的重力勢(shì)能，可看作是剛體質(zhì)量全部集中在其質(zhì)心處，按質(zhì)心的重力勢(shì)能來(lái)計(jì)算。剛體重力勢(shì)能為：

剛體的動(dòng)能：剛體的重力勢(shì)能：剛體的機(jī)械能：剛體的機(jī)械能守恒：質(zhì)心的勢(shì)能

對(duì)于含有剛體的系統(tǒng)，如果在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有保守內(nèi)力作功，則此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。例1：一根長(zhǎng)為

l

，質(zhì)量為m

的均勻細(xì)直棒，可繞軸O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置。求：它由此位置下擺

角時(shí)的角速度。解：由動(dòng)能定理：OlmCx棒-對(duì)象，受力：重力、軸處支持力另解：對(duì)桿、地球組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律：例1：一根長(zhǎng)為

l

，質(zhì)量為m

的均勻細(xì)直棒，可繞軸O

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)它在水平位置。求：它由此位置下擺

角時(shí)的角速度。OlmCx此題也可用機(jī)械能守恒定律方便求解。Rhm'mm

例2：

一質(zhì)量為

、半徑為R的圓盤(pán)，可繞一垂直通過(guò)盤(pán)心的無(wú)摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤(pán)上繞有輕繩，一端掛質(zhì)量為m的物體。問(wèn)：物體由靜止下落高度h時(shí)，其速度的大小為多少？設(shè)繩的質(zhì)量忽略不計(jì)。m為圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)的角度，、分別為圓盤(pán)起始和終了時(shí)的角速度。拉力的力矩對(duì)圓盤(pán)做功，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理可得，拉力的力矩所作的功為：

解：物體由靜止開(kāi)始下落解得：由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理：m另解：用機(jī)械能豎守恒贈(zèng)定律求冰解Rhm'mm

例2：

一質(zhì)量為

、半徑為R的圓盤(pán)，可繞一垂直通過(guò)盤(pán)心的無(wú)摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤(pán)上繞有輕繩，一端掛質(zhì)量為m的物體。問(wèn)：物體由靜止下落高度h時(shí)，其速度的大小為多少？設(shè)繩的質(zhì)量忽略不計(jì)。圓盤(pán)錯(cuò)、物體m和地她球組成的饑系統(tǒng)由機(jī)械妹能守翅恒定律，可得：m一.剛體定止軸轉(zhuǎn)贏動(dòng)的地角動(dòng)許量定理1、剛右體定鋤軸轉(zhuǎn)蓋動(dòng)的芒角動(dòng)瞎量5.剪5對(duì)定團(tuán)軸的品角動(dòng)廉量守戲恒2、剛體定漫軸轉(zhuǎn)君動(dòng)的園角動(dòng)山量定獸理182、剛體題定軸濱轉(zhuǎn)動(dòng)戶的角務(wù)動(dòng)量鑄定理由轉(zhuǎn)禍動(dòng)定杰律：（角顯動(dòng)量斷定理北的積木分形悟式）定軸價(jià)轉(zhuǎn)動(dòng)師剛體祝所受疤合外秀力矩宿的沖外量矩繼，等革于其作角動(dòng)字量的送增量瞧。（角污動(dòng)量狼定理咽的微業(yè)分形朵式）非剛懷體定軸烘轉(zhuǎn)動(dòng)罵的角礦動(dòng)量哲定理透：說(shuō)明翅：當(dāng)變形仆體繞某驢軸轉(zhuǎn)吼動(dòng)時(shí)等，若野其上痰各點(diǎn)喚（質(zhì)降元）鄙轉(zhuǎn)動(dòng)楚的角饒速度棋相同柴，則變形產(chǎn)體對(duì)碧該軸盆的角擺動(dòng)量為：剛體定軸猛轉(zhuǎn)動(dòng)挨的角健動(dòng)量緒定理建：（J不變論）（J變）4）角動(dòng)量共守恒皺定律鴿是自痰然界孕的一糞個(gè)基交本定糊律。2）內(nèi)力矩轉(zhuǎn)不改沒(méi)變系伯統(tǒng)的獲角動(dòng)升量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理二、剛體定侵軸轉(zhuǎn)兵動(dòng)的誦角動(dòng)睛量守意恒定明律，則若3）

在沖擊等問(wèn)題中常量當(dāng)剛繳體受啊到的湖合外挺力矩暫為0時(shí)，敢其角喬動(dòng)量政保持驕不變餐。討論1）守恒式勺中各量卵必須是忠對(duì)同咱一慣有性系中同一蘋(píng)轉(zhuǎn)軸跑。說(shuō)明1）剛把體定歷軸轉(zhuǎn)辮動(dòng)的序角動(dòng)小量守鬧恒條孩件：當(dāng)合李外力句不為0時(shí)，合外賞力矩棒可以繞為0。當(dāng)合援外力減為0時(shí)，合外瞞力矩察不一扣定為0；2）駕角迷動(dòng)量言守恒撤的兩隆種情牲況：若不變，不變；若變，也變，但不變。①②即剛鎖體在仙受合役外力所矩為0時(shí)，己原來(lái)社靜止允則永橡遠(yuǎn)保名持靜邪止，擦原來(lái)箱轉(zhuǎn)動(dòng)你的將刮永遠(yuǎn)紅轉(zhuǎn)動(dòng)皂下去教。①

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，

不變，若則大小方向都不變。角動(dòng)吸量守職恒的則兩種體情況狹：②定軸悄轉(zhuǎn)動(dòng)喉的非剛性唯物體，轉(zhuǎn)動(dòng)勾慣量犁可變認(rèn)，角動(dòng)量守恒，則有：如花樣真滑冰熔，跳思水，渣芭蕾需舞等旺。②定軸旦轉(zhuǎn)動(dòng)掉的非剛性如物體，花糖樣唯滑喝冰張臂先使蜂自己戀轉(zhuǎn)動(dòng)惰起來(lái)收臂Jw大小大小Jw3）物處體系亭的角回動(dòng)量嘗守恒

若系統(tǒng)由幾個(gè)物體組成，各物體對(duì)同一個(gè)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量分別為…，則總角動(dòng)量為：，比如彼：當(dāng)研柿究質(zhì)點(diǎn)劍與剛考體的燒碰撞臘問(wèn)題時(shí)，振可以暫把質(zhì)隙點(diǎn)和托剛體丘看成沃一個(gè)鄭系統(tǒng)赴，在潔碰撞癥過(guò)程祝中，廳系統(tǒng)胳所受肺的合幣外力腥矩為秧零，錢所以系統(tǒng)黨的角動(dòng)野量守恒。只要憑整個(gè)派系統(tǒng)普受到年的合穩(wěn)外力租矩為0，則糊系統(tǒng)唐的總匆角動(dòng)突量守凈恒，密即：恒量角動(dòng)轟量守降恒是滲自然潑界的日普遍黎規(guī)律駁。角動(dòng)滑量守恒定律與動(dòng)量流守恒定律及能量傳守恒臟定律并稱濕為三大獵守恒旱定律，這混三大湊守恒辟定律肥的成易立有零著深糞刻的丹內(nèi)在榮原因氧?，F(xiàn)傅代物培理學(xué)陳已確犯認(rèn)，優(yōu)這些顛守恒罷定律塑是和詞自然肝界的怕更為誤普遍灰的屬瓦性——時(shí)空灶對(duì)稱耀性相黨聯(lián)系賊的。解：把子彈際和桿象看作緊一個(gè)檔系統(tǒng)知。例題3一長(zhǎng)為l,質(zhì)量膝為的桿可須繞支傲點(diǎn)O自由望轉(zhuǎn)動(dòng)炕。轎一質(zhì)技量為速率為的子彈笨射入夸竿內(nèi)叮距支縮慧點(diǎn)為處，守使桿的最偏轉(zhuǎn)耍角為該。問(wèn)子彈糠的初下速率祝為多芬少?子彈繞射入別桿的臟過(guò)程系見(jiàn)統(tǒng)角動(dòng)量嶄守恒介。射入裳竿后釀，以坦子彈樂(lè)、細(xì)齡桿和恩地球僚為系茅統(tǒng)，擦機(jī)械藝能守揪恒。29解：碰撞孝過(guò)程松角動(dòng)歉量守黑恒:例4：長(zhǎng)為2L、質(zhì)刃量為m的勻算質(zhì)細(xì)檔桿，演靜止胖在光欣滑的糖水平扔桌面激上。何兩個(gè)拔質(zhì)量脹、速牙率均乎為m和的小井球，在水而平面查內(nèi)與味桿的疏兩端析同時(shí)艱發(fā)生底完全幻玉非彈優(yōu)性碰絡(luò)撞（菠設(shè)碰曠撞時(shí)候間極淚短）學(xué)。求：兩小肝球與釋桿剛撇碰后短，這款一系相統(tǒng)的腫角速落度為賊多少步？mm.O解得12例5：人與址轉(zhuǎn)盤(pán)遼的轉(zhuǎn)昆動(dòng)慣突量J0，伸性臂時(shí)朝臂長(zhǎng)錯(cuò)為l1，收滾臂時(shí)低臂長(zhǎng)漏為l2。人業(yè)站在阻不計(jì)賄摩擦傻的自痰由轉(zhuǎn)寄動(dòng)的黑圓盤(pán)虜中心淹上，仙每只木手抓胸有質(zhì)楚量為m的啞枝鈴。侄伸臂截時(shí)轉(zhuǎn)嶼動(dòng)角泄速度湊為1，求：收臂財(cái)時(shí)的濤角速臺(tái)度2。轉(zhuǎn)動(dòng)絹慣量銅減小，角速度欺增加。解：人-對(duì)象，受包力（重力、轉(zhuǎn)盤(pán)支持力懇）對(duì)燥豎直軸力矩掩為零，故角舒動(dòng)量克守恒狡。例6：圓盤(pán)醋（R，M），兄人（m）開(kāi)土始靜征止，朝人走多一周趙，求：盤(pán)相耳對(duì)地鞭轉(zhuǎn)動(dòng)顯的角濫度？解：系統(tǒng)蛾對(duì)轉(zhuǎn)寇軸由角動(dòng)量譽(yù)守恒永定律蘿：M先=0在盤(pán)上跑一圈的時(shí)間（

）內(nèi)，圓盤(pán)對(duì)地的角位移人、鑼圓盤(pán)-系統(tǒng)受力梨：重力方、支銳持力在盤(pán)上跑一圈的時(shí)間（）內(nèi)，圓盤(pán)對(duì)地的角位移隨堂同小議（1）（2）（3）（4）兩人日同時(shí)震到達(dá)春；用力納上爬核者先膽到；握繩私不動(dòng)切者先敘到；以上斗結(jié)果之都不檢對(duì)。兩人紹質(zhì)量寺相等O一人幣握繩各不動(dòng)一人耕用力棉上爬隨堂小議終點(diǎn)聾線終點(diǎn)態(tài)線滑輪懇質(zhì)量既忽莖略輪繩黨摩擦又忽荷略可能眼出現(xiàn)裝的情禿況是小議評(píng)鏈接1兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）兩人蕉同時(shí)剖到達(dá)禾；用力傲上爬吧者先帝到；握繩井不動(dòng)臂者先禁到；以上翻結(jié)果肅都不產(chǎn)對(duì)。小議榴鏈接2兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）兩人發(fā)同時(shí)喪到達(dá)踏；用力袖上爬舌者先教到；握繩紋不動(dòng)繳者先晨到；以上腔結(jié)果娘都不欲對(duì)。小議漂鏈接3兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）兩人甚同時(shí)裳到達(dá)嚼；用力株上爬泉者先椅到；握繩屈不動(dòng)郊者先癢到；以上盜結(jié)果宅都不擇對(duì)。小議鼓鏈接4兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（1）（2）（3）（4）兩人錦同時(shí)捏到達(dá)妥；用力盜上爬糖者先晶到；握繩構(gòu)不動(dòng)炸者先悔到；以上煙結(jié)果疤都不勒對(duì)。忽略止輪、未繩質(zhì)遮量及習(xí)軸摩濾擦。可應(yīng)現(xiàn)用質(zhì)點(diǎn)缸系角狹動(dòng)量求定理進(jìn)行攔具體手分析坦討論兼。質(zhì)點(diǎn)系

1）若

，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。得

2）若

，系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動(dòng)量不守恒。O同高從靜止開(kāi)始往上爬系統(tǒng)扁的末薦態(tài)角顧動(dòng)量系統(tǒng)滴的初帽態(tài)角檔動(dòng)量不論瞇體力接強(qiáng)弱，兩人等啄速上睡升。一人挖用力稻上爬一人朋握繩呀不動(dòng)質(zhì)點(diǎn)村的直突線運(yùn)動(dòng)物理緒量剛體陽(yáng)定軸按轉(zhuǎn)動(dòng)鑄物理怠量

─平動(dòng)動(dòng)量ω─角速種度v─線速書(shū)度a─線加垃速度m─質(zhì)量平動(dòng)脈慣性的疏量度─力─平動(dòng)動(dòng)能─角動(dòng)量—轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能─力矩J─轉(zhuǎn)動(dòng)紛慣量β─角加勺速度轉(zhuǎn)動(dòng)責(zé)慣性版的量嫌度質(zhì)點(diǎn)皂的直炒線運(yùn)橋動(dòng)規(guī)律剛體分定軸并轉(zhuǎn)動(dòng)惜規(guī)律練習(xí)撲：圓如圖睛，長(zhǎng)蓄為l，質(zhì)駕量為M的均雖勻細(xì)敬棒可嘆饒過(guò)O點(diǎn)的弟轉(zhuǎn)軸合在豎守直面爹內(nèi)自哪由轉(zhuǎn)悄動(dòng)。氧一質(zhì)矮量為m的質(zhì)朗點(diǎn)以遲初速v0沿水轎平方洋向運(yùn)舞動(dòng)，掌與靜軌止在活豎直扮位置擋的細(xì)俯棒的轎末端藝發(fā)生般完全殖非彈壁性碰犧撞，蹲碰撞駁后兩村者一蝕起上腔擺?？ㄇ螅?）碰哲撞后樣瞬間斗兩者舞一起撫上擺盾的角毅速度，（2）兩墳者一汗起上束擺的價(jià)最大者角度。OlmOlmd解得乎：=4m寶/s解：系統(tǒng)（滑嫂塊、垮彈簧疾），賢受力-彈力無(wú)、重索力對(duì)滑捎塊運(yùn)壓動(dòng)有義影響帽的力幸只有尺彈性句力，例題7：在一光蠅滑的盡水平檢面上抵，有遲一輕脆彈簧烘，倔餡強(qiáng)系霉數(shù)為k=1紐奉00沸N/喊m，一脊端固勿定于o點(diǎn)，死另一炒端連叮接一陪質(zhì)量計(jì)為m=將1k或g的滑諸塊。盯設(shè)開(kāi)凱始時(shí)惜，彈?；傻莫q長(zhǎng)度陪為lo=0.龍2m次(自然研長(zhǎng)度)，毯滑塊竄速度o=盾5m賺/s，方翁向與憐彈簧戰(zhàn)垂直荒。當(dāng)膨彈簧您轉(zhuǎn)過(guò)90時(shí)，愈其長(zhǎng)塞度l=想0.垃5m。求：此時(shí)預(yù)滑塊侄速度織的大小。角動(dòng)墓量守京恒：molo=ml雞si覽nololomm機(jī)械境能守碎恒：例8：勻質(zhì)銷圓盤(pán)捉（M、R）與蠶人（m，視阻為質(zhì)檔點(diǎn)討）一肯起以殖角速含度o繞通賤過(guò)其躍盤(pán)心個(gè)的豎宋直光青滑固蓬定軸串轉(zhuǎn)動(dòng)澆。赴當(dāng)此怨人從盤(pán)的邊緣混走到盤(pán)心夠時(shí)，求：圓盤(pán)棵的角散速度終是多紅少？解：系統(tǒng)傲（圓悅盤(pán)+人）o系統(tǒng)井角動(dòng)崇量守義恒：受重力、轉(zhuǎn)盤(pán)支持力對(duì)豎直軸力沸矩為蹄零，46例9:在水朝平面涉內(nèi)，闊質(zhì)量棋為m1的小蓋球與株質(zhì)量通為m2長(zhǎng)為2l的棒雁作完全仆彈性貝碰撞，棒閑可繞怨通過(guò)團(tuán)中心米的軸頓轉(zhuǎn)動(dòng)訂。求：球的厘反彈貧速度隔和棒播的角核速度凳。解：小球獎(jiǎng)的重基力與哲沖擊束力相鬧比可網(wǎng)忽略談，設(shè)小球反彈速度為v,棒的角速度為彈性慕碰撞:解得:解：兩飛柔輪通婦過(guò)摩趕擦達(dá)暴到共返同速駛度，酬合外艘力矩家為0，系統(tǒng)罵角動(dòng)隨量守櫻恒。共同壞角速挨度：例10：兩個(gè)邁共軸遵飛輪蘆轉(zhuǎn)動(dòng)逢慣量堆分別葛為J1、J2，角繁速度挑分別前為1、2，求：兩飛默輪嚙分合后處共同垃的角駱?biāo)俣取?8例11