第八章圖論第節(jié)

第八章圖論1第一節(jié)圖的基本知識(shí)第二節(jié)歐拉圖與中國(guó)郵路問(wèn)題第三節(jié)樹(shù)第四節(jié)最短路（鏈）問(wèn)題第五節(jié)網(wǎng)絡(luò)最大流問(wèn)題第六節(jié)最小費(fèi)用流問(wèn)題21.圖論的產(chǎn)生圖論是運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用十分廣泛的一個(gè)分支。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（EEuler）于1736年發(fā)表了一篇題為“依據(jù)幾何位置的解題方法”的論文，有效地解決了哥尼斯堡七橋難題（歐拉證明了每個(gè)點(diǎn)都只與奇數(shù)條線相關(guān)聯(lián)，所以從某一點(diǎn)開(kāi)始，不重復(fù)地走過(guò)7座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn)是不可能的），這是有記載的第一篇圖論論文，歐拉被公認(rèn)為圖論的創(chuàng)始人。3ACBD42.圖論的發(fā)展1736年——1936年：匈牙利數(shù)學(xué)家O.K?nig于1936年出版了名為《有限圖與無(wú)限圖的理論》，為圖論研究的第一本專著。從1736年歐拉的第一篇論文，到這本專著的出版，前后經(jīng)歷200年之久，這一時(shí)期圖論的發(fā)展是緩慢的。51936年——20世紀(jì)中期：電子計(jì)算機(jī)和離散數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)展，使得作為提供離散數(shù)學(xué)模型的圖論得以迅速發(fā)展。目前圖論被廣泛應(yīng)用到管理科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息論、控制論等各個(gè)領(lǐng)域，并取得了豐碩的成果。6第一節(jié)圖的基本知識(shí)

一、圖的基本概念1.圖由一些點(diǎn)和一些點(diǎn)之間的連線所組成的二元組，稱為圖。2.頂點(diǎn)圖中點(diǎn)集V={vi}中的元素vi稱為頂點(diǎn)。73.邊和弧圖中，兩頂點(diǎn)之間的連線為無(wú)向的（不帶箭頭），稱為邊，記為E={ei}。一條連接頂點(diǎn)vi和vj的邊記為[vi,vj]。eivivj8圖中，兩頂點(diǎn)之間的連線為有向的（帶箭頭），稱為弧，弧為A={ai}。一條由頂點(diǎn)vi指向頂點(diǎn)vj的弧記為(vi,vj)。aivjvi94.有向圖和無(wú)向圖由點(diǎn)和邊所構(gòu)成的圖，稱為無(wú)向圖，記為G=(V,E)，式中V是無(wú)向圖G的點(diǎn)集合；E是無(wú)向圖G的邊集合。由點(diǎn)和弧所構(gòu)成的圖，稱為有向圖，記為D=(V,A)，式中V

是有向圖的點(diǎn)集合G；A

是有向圖G

的弧集合。10無(wú)向圖有向圖115.無(wú)向圖中頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)的表示方式頂點(diǎn)數(shù)：p(G)，簡(jiǎn)記為p。邊數(shù)：q(G)，簡(jiǎn)記為q。6.有向圖中頂點(diǎn)數(shù)、弧數(shù)的表示方式頂點(diǎn)數(shù)：p(D)，簡(jiǎn)記為p。邊數(shù)：q(D)，簡(jiǎn)記為q。12二、圖的引申概念1.端點(diǎn)、始點(diǎn)、終點(diǎn)無(wú)向圖G=(V,E)中，邊e=[u,v]∈E，稱頂點(diǎn)u和v是邊e的端點(diǎn)，也稱頂點(diǎn)u和v是相鄰的。euv13有向圖D=(V,A)中，弧a=(u,v)∈A，稱頂點(diǎn)u是弧a的始點(diǎn)，稱頂點(diǎn)v是弧a的終點(diǎn)。uv142.關(guān)聯(lián)邊（?。o(wú)向圖G=(V,E)中，邊e=[u,v]∈E，稱邊e

是頂點(diǎn)u

的關(guān)聯(lián)邊，也稱邊e

是頂點(diǎn)v

的關(guān)聯(lián)邊。euv15有向固圖D=仙(V,A)中，奶弧a=茂(u,v)醬∈A，稱劃弧a是始絮點(diǎn)u的關(guān)控聯(lián)弧饞，也袍稱弧a是終貿(mào)點(diǎn)v的關(guān)師聯(lián)弧丸。auv163.多重狹邊（裙弧）無(wú)向氏圖G=總(V,E)中，拆邊e1=[u,v]、e2=[u,v]、…、ek=[u,v]∈E，即脈兩個(gè)趟端點(diǎn)u和v之間行的邊栽多于蹦一條合，稱直這些柏邊為厲多重冊(cè)邊。eiuve1ek17有向菠圖D=貢(V,A)中，礙弧a1=(u,v)、a2=(u,v)、…、ak=(u,v)∈A，即矩由始繭點(diǎn)u指向琴終點(diǎn)v的弧辭多于垃一條如，稱疑這些洗弧為諷多重叔弧。aiuva1akuva1a2184.環(huán)無(wú)向矛圖G=謎(V,E)中，合邊e=弦[u,u]，即米邊的球兩個(gè)列端點(diǎn)熱相同你，稱障該邊旨為環(huán)媽。ue19有向番圖D=(V,A)中，蘿弧a=宋(u,u)，即引弧的欄始點(diǎn)或和終無(wú)點(diǎn)相歸同，樣稱該賓弧為毛環(huán)。ue205.簡(jiǎn)單姿圖無(wú)向汁圖中柳，一重個(gè)無(wú)甩多重組邊、早無(wú)環(huán)曲的無(wú)媽向圖剝，稱育為簡(jiǎn)脖單圖貝。有向元圖中伸，一謎個(gè)無(wú)蓋多重武弧、境無(wú)環(huán)驢的有新向圖偷，稱銜為簡(jiǎn)酬單圖悲。216.多重肆圖無(wú)向柏圖中賤，一鍋個(gè)有涂多重雪邊，湖但無(wú)救環(huán)的疏無(wú)向屯圖，才稱為務(wù)多重凳圖。有向綠圖中放，一西個(gè)有躁多重回弧，初但無(wú)骨環(huán)的除有向別圖，脅稱為況多重寄圖。22簡(jiǎn)單當(dāng)圖多重伴圖例：23三、學(xué)頂點(diǎn)差的次1.頂點(diǎn)淋的次在無(wú)接向圖炮中，服以頂庫(kù)點(diǎn)v為端葵點(diǎn)的聽(tīng)邊的押個(gè)數(shù)鑄稱為躬頂點(diǎn)v的次箱，記勒為d(v)。在有哈向圖悠中，速以頂貼點(diǎn)v為始長(zhǎng)點(diǎn)的玩弧數(shù)材，稱帆為頂旨點(diǎn)v的出夸次，卸記為d+(v)。在有呀向圖敢中，廢以頂啦點(diǎn)v為終曬點(diǎn)的范弧數(shù)剪，稱哭為頂詳點(diǎn)v的入安次，游記為d-(v)。在有嶄向圖抵中，炕以頂灶點(diǎn)v的出觸次和蜜入次按之和獎(jiǎng)，稱女為頂老點(diǎn)v的次跌，記屠為d(v)。24v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e7d(v1)=肅2，d(v2)=未2，d(v3)=醉4d(v4)=攤3，d(v5)=令3，d(v6)=為2d(v7)=車225注：閃環(huán)的鍵頂點(diǎn)筍的次準(zhǔn)數(shù)為2次。d(v1)=安4，d(v2)=頌2，d(v2)=3，d(v4)=革1，d(v5)=貫0e2e1e3e4v1v2v3v4e5v5例：262.懸掛窯點(diǎn)、遵懸掛巷邊、啄懸掛世弧次數(shù)懶為1的頂故點(diǎn)稱移為懸亞掛點(diǎn)炎。如上困例中冊(cè)的頂牢點(diǎn)v4。無(wú)向躬圖中忍，連論接懸傻掛點(diǎn)腥的邊喊稱為喂懸掛確邊。如上蝴例中徒的邊e5。有向竄圖中內(nèi)，連午接懸稱掛點(diǎn)榮的弧鋼稱為豪懸掛多弧。27d(v4)=旅1e2e1e3e4v1v2v3v4e5v5例：283.孤立畜點(diǎn)次數(shù)耐為0的頂豬點(diǎn)稱乞?yàn)楣聞兞Ⅻc(diǎn)蔑。如上譜例中跨的頂庭點(diǎn)v5。4.奇點(diǎn)次數(shù)混為奇奏數(shù)的背頂點(diǎn)撕稱為龍奇點(diǎn)笨。如上尼例中撞的頂廟點(diǎn)v3和v4。5.偶點(diǎn)次數(shù)錘為偶秤數(shù)的棉頂點(diǎn)弄稱為擇偶點(diǎn)居。如上棋例中告的頂仙點(diǎn)v1和v2。29d(v5)=咬0e2e1e3e4v1v2v3v4e5v5例：d(v3)=矮3d(v4)=竿1d(v1)=眉4d(v2)=傾2306.三個(gè)初定理定理1任何邀圖中砍，頂阿點(diǎn)次阿數(shù)的堡總和叛等于刮邊數(shù)慌（弧姐數(shù)）灣的2倍，恐即證明回：計(jì)改算各雁頂點(diǎn)綢的次蹦數(shù)時(shí)攻，每關(guān)條邊球都被討它的爛端點(diǎn)圍各用止了一致次。31證明9個(gè)工桶廠之厘間，貞不可洪能每朽個(gè)工待廠只拴與其士他3個(gè)工私廠有悼業(yè)務(wù)昏聯(lián)系原。（P2宮78頁(yè)習(xí)燒題8.銅1）證：江如果9個(gè)工忌廠均他是與返其他3個(gè)工巖廠有態(tài)業(yè)務(wù)盾聯(lián)系歷，則紙頂點(diǎn)識(shí)的次啞數(shù)總筋和為27，是遣奇數(shù)痛而不窄是偶悅數(shù)，媽同定膚理1矛盾較。32定理2任何更圖中猜，奇急點(diǎn)的個(gè)個(gè)數(shù)見(jiàn)為偶停數(shù)。證明祝：設(shè)V1和V2分別嘗是G中奇塔點(diǎn)和桐偶點(diǎn)柴的集耗合，督由定手理1可得332q和均為藥偶數(shù)2q-為偶記數(shù)故也為端偶數(shù)又因餓為d(v)（v∈V1）的移值為終奇數(shù)厲，所澇以d(v)（v∈V1）的舉個(gè)數(shù)滿為偶危數(shù)。34證明9個(gè)工盒廠之蝦間，剃不可酸能只殃有4個(gè)工勇廠只絲式與偶乏數(shù)個(gè)拘工廠軌有業(yè)循務(wù)聯(lián)絲式系。攀（P2獄78頁(yè)習(xí)罷題8.鉗1）證：贈(zèng)如果股只有4個(gè)工磁廠與道偶數(shù)桃個(gè)工陸廠有透業(yè)務(wù)料聯(lián)系市，則遙另外5個(gè)工毅廠與殺奇數(shù)海個(gè)工贏廠有柏業(yè)務(wù)寺聯(lián)系甘。這5個(gè)工沸廠均漁為奇檔點(diǎn)，居與定錫理2矛盾菌。35定理3有向遣圖中棕，所敞有頂鼻點(diǎn)的星入次勝之和鄭等于取所有懷頂點(diǎn)伴的出茶次之造和，掀即證明紫：計(jì)榜算各鉆頂點(diǎn)危的出撥次和償入次筐時(shí)，鄰每條廟弧都僻被它蒸的端文點(diǎn)各械用了睬一次匠。36四、傾連通吉圖1.鏈和香路在無(wú)向圖G=(V,E)中，一個(gè)點(diǎn)、邊交錯(cuò)序列如果滿足，則稱為連接和的一條鏈。37在有始向圖D=舌(V,A)中，淡一個(gè)鑰點(diǎn)、兩弧交炕錯(cuò)序貝列如果熟滿足，則只稱為猾從到的一明條路姻。稱為點(diǎn)為鏈的中間點(diǎn)。38v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3例：(v1,a1,v2,a2,v3,a3,v4)不是莫一條催路，尸因?yàn)榫炕1≠(v1,v2)，a3≠(v3,v4)。392.初等蕉鏈和從初等戀路若鏈中，膀點(diǎn)均不號(hào)相同脖，則懼稱之康為初錦等鏈靈。注：宋初等籍鏈中畫(huà)點(diǎn)無(wú)面相同粘的，絮邊也獸無(wú)相光同的昌。40注：澤初等猶路中光點(diǎn)無(wú)巷相同搏的，掠弧也忌無(wú)相鑰同的責(zé)。中，槽點(diǎn)均不龜相同破，則暑稱之穴為初罷等路交。若路41v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3例：(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1,a4,v5,a5,v4)不是犧一條斧初等隱路。a6423.簡(jiǎn)單對(duì)鏈和偵簡(jiǎn)單啟路若鏈中，界邊均不各相同關(guān)，則裝稱之干為簡(jiǎn)喝單鏈?zhǔn)?。注：清?jiǎn)單佩鏈中嗚邊無(wú)膊相同槽的，問(wèn)但可縮慧有相諷同的攤點(diǎn)。43注：挨簡(jiǎn)單術(shù)路中緩弧無(wú)弓相同撒的，勾但可絞有相農(nóng)同的攔點(diǎn)。中，蓮弧均不滲相同途，則料稱之雨為簡(jiǎn)攤單路春。若路44v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3例：(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1,a4,v5,a5,v4)不是既一條牙初等陳路，騎但是程一條籌簡(jiǎn)單塘路。a6454.圈和晨回路在無(wú)銹向圖G=禿(V,E)中，是一個(gè)烏點(diǎn)、兇邊交偷錯(cuò)序節(jié)列，如位果滿飯足，且為同釣一個(gè)館點(diǎn)，衫則稱著此鏈擺為圈懷。46v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3例：(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)是一袍個(gè)圈墨。a647，如凳果滿灑足，且為同至一個(gè)紫點(diǎn)，門(mén)則稱娘此路暴為回魔路。在有原向圖D=扮(V,A)中，批一個(gè)蛾點(diǎn)、鬧弧交看錯(cuò)序夢(mèng)列48v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)是一遇個(gè)回統(tǒng)路。a6例：49v1v5v2v3v4a5a4a1a2a3(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)不是桐一個(gè)侵回路擁。a6505.初等羅圈和毒初等寄回路若圈中，市點(diǎn)都不輔相同童，則非稱之須為初芳等圈側(cè)。若回路中，點(diǎn)都不相同，則稱之為初等回路。51初等坑圈：(v1,v2,v3,v4,v1)v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e752(v4,v1,v2,v3,v5,v7,v6,v3,v4)不是黎一個(gè)雕初等薪圈。v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e7536.簡(jiǎn)單料圈和愉簡(jiǎn)單糟回路若圈中，鐮邊均不蒙相同餐，則瞧稱之咱為簡(jiǎn)慎單圈舞。若回給路中，扎弧都不案相同喜，則榆稱之奪為簡(jiǎn)各單回睛路。54(v4,v1,v2,v3,v5,v7,v6,v3,v4)不是甩一個(gè)理初等匯圈，鴨但是致一個(gè)孔簡(jiǎn)單殿圈。v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e7557.連通自圖和太不連農(nóng)通圖在無(wú)赴向圖G=輩(V,E)中，田若任特意兩探個(gè)點(diǎn)烏之間繁，至思少有即一條第鏈，扎則稱G是連服通圖吵，否闖則稱多為不呢連通荒圖。56在有霉向圖D=炎(V,A)中，粗若任僚意兩條個(gè)點(diǎn)造之間敘，至存少有晚一條穗路，肆則稱D是連寶通圖暢，否污則稱吐為不盈連通禍圖。578.連通貸圖分搏圖若G或D是不珍連通現(xiàn)圖，是則它靠的每岡個(gè)連贊通部簡(jiǎn)分，金稱為G的一刊個(gè)連包通分仍圖，救簡(jiǎn)稱狗分圖犁。58v1v2v3v4v5v7v6e1e2e4e5e6e3e9e8e7v8v9e10上圖妨中是燙一個(gè)臟不連討通圖境，但逼它有喪兩個(gè)弦連通智分圖稱。例：599.生成歷（支姑撐）案子圖給一第個(gè)無(wú)悄向圖G=爪(V,E)，如保圖，使身得，則所稱是G的一晴個(gè)生推成（疲支撐速）子帝圖。60給一緞個(gè)無(wú)燥向圖D=義(V,A)，如度圖，使璃得，則巖稱是D的一左個(gè)生價(jià)成（灘支撐新）子匠圖。61例：v1v3v5v4v2v1v5v4v3v2圖G圖圖為圖G的一糠個(gè)生吵成（竟支撐肝）子掘圖6210緣瑞.G-v圖或D-v圖D-v：表示偶圖D中去盒掉點(diǎn)v及v的關(guān)元聯(lián)弧鑒后得員到的催一個(gè)刮圖。G-v：表示竭圖G中去灑掉點(diǎn)v及v的關(guān)棵聯(lián)邊太后得注到的蔬一個(gè)饒圖。63v1v3v5v4v2v2v1v4v5圖G圖G-v3例：6411械.基礎(chǔ)晴圖給一被個(gè)有釀向圖D=(V,A)，從D中去鑼掉所臟有弧比上的歉箭頭懼（方練向）到，從役而得鎖到一解個(gè)無(wú)值向圖G=彎(V,E)，稱坦之為D的基擺礎(chǔ)圖廊，記覆為G(D)。65五、勁圖的脂矩陣薦表示用矩售陣表宿示圖肚對(duì)研棄究圖耍的性己質(zhì)及憂應(yīng)用澆常常困比較葵方便兄。圖僅的矩請(qǐng)陣表跟示方吐法主縱要有趨：權(quán)矩王陣鄰接很矩陣661.權(quán)矩畏陣網(wǎng)絡(luò)慨賦權(quán)飄圖G=(V，E)，其蘇邊(vi，vj)有權(quán)wij，構(gòu)狐造矩遺陣A=(aij)n×n，其您中稱矩禮陣A=(aij)n×n，為雜圖G的權(quán)感矩陣負(fù)。67對(duì)角富線上誦元素?zé)嶂禐?v1v5v4v3v2742438569682.鄰接僑矩陣對(duì)于粥圖G=(V，E)，構(gòu)斤造矩焦陣A=(aij)m×n，其倚中稱矩決陣A=(aij)n×n，為驗(yàn)圖G的鄰靜接矩盟陣。69v3v1v2v5v6v470一、擇歐拉累圖歐拉務(wù)路：連通賣(mài)圖G中，僑若存殿在一辟條路唇，經(jīng)聯(lián)過(guò)G中的緞所有轟邊，宜且每書(shū)邊僅佛經(jīng)過(guò)度一次飼，則吃稱這恢條路菌為歐經(jīng)拉路慢。歐拉本回路后：連通蚊圖G中若博存在仍一條租回路敵，經(jīng)含過(guò)G中的曠所有尸邊，弄且每熄邊僅盛經(jīng)過(guò)皂一次星，則命稱這寇條回島路為寧歐拉榴回路糠。歐拉謊圖：具有漠歐拉蠶回路文的圖亡稱為預(yù)歐拉淺圖。第二賄節(jié)奧歐拉負(fù)圖與耐中國(guó)罵郵路載問(wèn)題71歐拉證路經(jīng)過(guò)倆所有貌邊的農(nóng)簡(jiǎn)單醒路歐拉技回路經(jīng)過(guò)裹所有白邊的芽簡(jiǎn)單午回路72定理1無(wú)向大連通臺(tái)圖G是歐媽拉圖陡，當(dāng)雄且僅規(guī)當(dāng)G中無(wú)爹奇點(diǎn)奧。證明課：（1）充池分性饞：連羊通圖G為歐耍拉圖味→G中無(wú)夏奇點(diǎn)奏。因?yàn)镚為歐秀拉圖借，則口必然翁存在墓一條撒回路鵲，經(jīng)脹過(guò)G中所有慨的邊燦，且賓只經(jīng)菊過(guò)一蝦次。鞠對(duì)于G中的眉任一博頂點(diǎn)vi，只鑼要回漠路中仆出現(xiàn)效一次勸，必魂關(guān)聯(lián)鮮兩條隱邊，雙即一笛條邊姿進(jìn)入盞這點(diǎn)涌，再謙沿另孝一邊毫離開(kāi)腹這點(diǎn)披。所抽以點(diǎn)vi雖然耐可以吼在回洪路中菜重復(fù)型出現(xiàn)過(guò)，但睡次數(shù)暢必為漏偶數(shù)的。73（2）必孔要性愈：連芒通圖G中無(wú)江奇點(diǎn)頭→G為歐遼拉圖溫。因?yàn)槟噙B通分圖G中全扇部都指是偶勝點(diǎn)，登則從回任一仿頂點(diǎn)v1出發(fā)跑，經(jīng)定關(guān)聯(lián)南邊e1進(jìn)入v2，由臨于v2也是塵偶點(diǎn)傾，則挑必然霞可由v2經(jīng)另涂外一譽(yù)條不欄同的股關(guān)聯(lián)員邊e2進(jìn)入射另外寇一個(gè)理頂點(diǎn)v3，如釘此進(jìn)臣行下庫(kù)去，房誠(chéng)每邊呼僅取檢一次表。由升于連董通圖G中點(diǎn)單數(shù)是授有限和的，息所以單這條茂路不秀能無(wú)凍休止閥地走靜下去槐，必叢然可血以回零到初瓣始頂耍點(diǎn)v1，從緩而得智到一香個(gè)回盜路c1?；仂`路c1是否徹為歐愧拉回員路只竟需驗(yàn)槽證c1是否詞包含飽連通似圖G中的悠所有谷邊即劇可。74①若回益路c1經(jīng)過(guò)G的所飼有邊賠，則c1就是師歐拉鉆回路顏，必爹要性捎得以勇證明革。②若回柜路c1只經(jīng)公過(guò)G中的喇一部夏分邊主，則c1尚不氧是歐糟拉回驗(yàn)路。i）街從G中去蓮掉c1后得噸到子差圖G’，則G’中每殘個(gè)頂嫌點(diǎn)的爽次數(shù)拾仍為厚偶數(shù)梯。Ii）在G’中，善重復(fù)弟前面c1的方躬法，那得到續(xù)回路c2。75ii呆i）把c1與c2組合蟲(chóng)在一處起，胡如果宴恰是勿圖G，則沫得到鴉歐拉鐮回路賀，否蟲(chóng)則重話復(fù)上分述步既驟，崗得到果回路c3。iv）依腹次類悄推。由于插圖G中邊舉數(shù)有應(yīng)限，浮最終床可得彈一條諸經(jīng)過(guò)族圖G所有遲邊的挪回路膜，即且歐拉變回路墳。76該圖頃無(wú)奇爽點(diǎn)，標(biāo)現(xiàn)在黎按照風(fēng)上述炒方法瞎尋找山歐拉果回路咱。c1c2c3將c1、c2、c3組合進(jìn)起來(lái)弓，從寶而形木成歐坐拉回恥路。為歐曉拉圖77歐拉樣圖中扒歐拉五回路息的構(gòu)座造方橡法：①蘇從圖G中任絲式一點(diǎn)v1出發(fā)況，尋增找一鐵個(gè)初映等回貴路c1。②答從圖G中去悠掉初馳等回墳路c1。③帳在剩燥余的龍圖中青再尋欺找初稼等回宣路c2。④從圖G中去叫掉初萍等回遙路c2。⑤按此花方法右進(jìn)行議下去頸，直揪到圖威中所嚼有邊膊都包皮含在紙這些夠初等愧回路興中。⑥把紫這些胸回路巷連接凍起來(lái)鹿，從外而得漸到即木為歐終拉回窯路。78ACBDd(A)=塑3d(C)=隸5d(B)=亡3d(D)=譜3該連亞通圖存有4個(gè)奇姥點(diǎn)，巾不是們歐拉遠(yuǎn)圖。判斷清哥尼坑斯堡莫七橋上難題79下圖犧能否菊一筆戒畫(huà)出誦？可以衡一筆錦畫(huà)出雹，因葵為該師圖為爹歐拉萍圖。c1c2c380推論1無(wú)向辭連通檔圖G是歐拐拉圖晶，當(dāng)拜且僅籌當(dāng)G的邊窄集可京劃分舊為若拜干個(gè)齒初等紗回路怪。（伴由定剃理1的必副要性晶證明盞過(guò)程厚可知幟。）推論2無(wú)向承連通泰圖G中存抹在歐騙拉路歌，當(dāng)挖且僅艱當(dāng)G中恰沿有兩珠個(gè)奇奏點(diǎn)。81定理2有向劣連通閥圖G是歐獲拉圖痕，當(dāng)皮且僅辣當(dāng)G中每床個(gè)頂激點(diǎn)的期出次命等于憑入次奔。推論有向斯連通這圖G有歐墓拉路晉，當(dāng)有且僅卸當(dāng)這洪個(gè)圖長(zhǎng)中除閱去兩躍個(gè)頂騾點(diǎn)外灣，其地余每鹽一個(gè)卷頂點(diǎn)離的出銜次等趣于入撈次，鏟且這冒兩個(gè)碧頂點(diǎn)純中，回一個(gè)先頂點(diǎn)豬的入失次比構(gòu)出次還多1，另娛一個(gè)纖頂點(diǎn)用的入狂次比敗出次拳少1。82二、繩中國(guó)愿郵路近問(wèn)題19獸62年我夜國(guó)著泥名運(yùn)拆籌數(shù)背學(xué)家膽管梅磁谷教還授提慎出中凡國(guó)郵深路問(wèn)淘題：一個(gè)坐郵遞港員，丈負(fù)責(zé)類某一塌地區(qū)瘦的信咸件投殼遞。菌每天莖要從閑郵局像出發(fā)什，走圍遍該角地區(qū)塵所有引街道東再返樸回郵距局，專問(wèn)應(yīng)窗如何榨安排勾送信注的路剖線，死可以繞使所汪走的梁總路詠程最膠短？83中國(guó)蠟郵路紀(jì)問(wèn)題皺的圖柔論描罰述：給定辦一個(gè)壯連通言圖G，每館邊有縱非負(fù)學(xué)權(quán)l(xiāng)(e)，要阻求一哲條回騰路過(guò)稈每邊久至少呼一次賊，且割滿足泡總權(quán)殘最小嘉。84分析串：如果G中沒(méi)喂有奇戚點(diǎn)，現(xiàn)則是叛一個(gè)透歐拉宴圖，毅按歐析拉回忍路走把就是具最短壤路；如果G中有融奇點(diǎn)膠，要睜求連戚續(xù)走猜過(guò)每柱邊至起少一叢次，鴨必然領(lǐng)有些街邊不巨止走形一次欠。85第三浩節(jié)網(wǎng)樹(shù)一、服樹(shù)的刻概念敲和性狡質(zhì)樹(shù)是拉圖論押中結(jié)速構(gòu)最厲簡(jiǎn)單掘但又辟十分私重要村的一芬種圖慣。1.定義連通班且不音含圈繼的無(wú)幕向圖叫稱為縣無(wú)向黑樹(shù)。在任君一圖G中，升當(dāng)點(diǎn)侵集V確定另后，塑樹(shù)是G中邊駛數(shù)最糞少的糟連通周圖。862.定理圖G=騰(V,E)是一搏個(gè)樹(shù)型，p(G)≥翅2，則G中至樣少有劃兩個(gè)庭懸掛資點(diǎn)。證明臟：在G中找秘出邊喚數(shù)最頃多的姿一條若初等寸鏈(v1,v2,…庫(kù),vk)。87現(xiàn)在超來(lái)證摟明邊鑰數(shù)最肯多的肉初等徐鏈(v1,v2,徑…搏,vk)的兩狐個(gè)端哥點(diǎn)均蝕為懸勸掛點(diǎn)笛。如果v1不是葵懸掛啊點(diǎn)，志則至仿少存止在邊[v1,vm]（vm≠v2）。88若點(diǎn)vm不在愉鏈(v1,v2,…存,vk)中，徒那么(vm,v1,v2,…勵(lì),vk)比(v1,v2,…猾,vk)長(zhǎng)，數(shù)矛盾笛；若點(diǎn)vm在鏈(v1,v2,…礙,vk)中，兄那么(v1,v2,…峽,vm,v1)為圈艷，矛銅盾；從而訊可知v1為懸俗掛點(diǎn)孔。同理持可證vk也為良懸掛皮點(diǎn)。893.樹(shù)的鐘充要杏條件圖G=杏(V,E)，圖G是一見(jiàn)個(gè)樹(shù)瘡的充趁要條秀件為蕩：（1）G無(wú)圈慎，且q(G)飄=p(G)像-1（邊翁數(shù)=點(diǎn)數(shù)-組1）。（2）G連通羊，且q(G)很=p(G)木-1（邊橋數(shù)=點(diǎn)數(shù)-槽1）。（3）G中任咳意兩凈點(diǎn)之豎間有騙唯一月一條央鏈相忙連。（4）G無(wú)圈英，但喬每加曬一新否邊即軌得唯媽一一拍個(gè)圈本。（5）G連通橡，但踐每舍亂去一湯邊就喝不連旱通。90必要懶性：饒圖G是一漸個(gè)樹(shù)范→G無(wú)圈猛，且q(G)活=p(G)-截1析→q(G)泳=p(G)-濃1用數(shù)礦學(xué)歸托納法未證明柴。p(G1)=蠢1時(shí)，q(G1)=嗎0，結(jié)詳論顯器然成鞏立；p(G2)=屋2時(shí)，q(G1)=駝1，結(jié)優(yōu)論顯承然成銷立；假設(shè)p(Gn)椅=n時(shí)，q(Gn)稀=n-1，即貧結(jié)論析成立傷。（1）圖G是一琴個(gè)樹(shù)G無(wú)圈稻，且q(G)迅=p(G)凍-1。證明卻：91下面苦來(lái)證樓明p(Gn+1)赤=n+1時(shí)，q(Gn+1)=n。Gn+1是一驅(qū)個(gè)樹(shù)渾，且p(Gn+1)撿=n+1江≥2由定瞧理可遺知，Gn+1中至逗少有篩兩個(gè)反懸掛卸點(diǎn)。設(shè)v是Gn+1的一界個(gè)懸協(xié)掛點(diǎn)捧，考戰(zhàn)慮圖Gn+1-v（圖Gn+1中去使掉點(diǎn)v及v的關(guān)浙聯(lián)邊敘后得雄到的樓圖）峽為一修個(gè)頂糟點(diǎn)數(shù)欣量為n的樹(shù)激，則92又從而膜證明愿了p(Gn+1)宗=n+1時(shí)，q(Gn+1)弄=n，結(jié)尖論也惑成立擺。必要陪性得命證。q(Gn+1)=q(Gn+1-v)+核1=n-1抱+1萍=np(Gn+1-v)=n，q(Gn+1-v)壘=p(Gn+1-v)杰–糾1疼=n-臺(tái)193充分殖性：掘圖G無(wú)圈袍，且q(G)耳=p(G)址-1侄→圖G是一艦個(gè)樹(shù)位→彈圖G是連夠通的用反郊證法栗證明扛。設(shè)G是無(wú)躁圈的哪不連歌通圖幟。G可分境為s個(gè)無(wú)井圈的姥連通柱分圖G1，G2，……，Gs（s≥2）G1，G2，……，Gs均為豆無(wú)圈杯的連遣通圖94G1，G2，……，Gs均為宅樹(shù)由必練要性隔可知第：q(Gi)論=p(Gi)儲(chǔ)-1（i=1果,…漿,s,s≥2）又G={G1，G2，……，Gs}95≤p(G)-禽2南<p(G)-池1同已船知條但件q(G)閑=p(G)露-1矛盾具，故鳥(niǎo)假設(shè)稠錯(cuò)誤挺。充分逗性得港證。96必要恥性：氧圖G是一斧個(gè)樹(shù)街→G連通呼，且q(G)=p(G)-視1徑→q(G)燒=p(G)吊-宰1略（動(dòng)同上抵，已六證畢支）充分秩性：烈圖G連通靜，且q(G)=p(G)-潛1雀→圖G是一仿個(gè)樹(shù)學(xué)→筋圖G中不燥含圈（2）圖G是一貴個(gè)樹(shù)G連通丟，且q(G)合=p(G)源-1。97①盾先來(lái)幼證明席：圖G連通盆，且q(G)振=p(G)-膠1新→圖G中必徹有懸冤掛點(diǎn)用反俱證法俯證明畝。設(shè)G中無(wú)解懸掛穴點(diǎn)。則G中所田有點(diǎn)補(bǔ)的次驕數(shù)都乘大于書(shū)等于2，即d(vi)≥作2，從晶而可哨得98（任駕何圖風(fēng)中，測(cè)頂點(diǎn)懇次數(shù)簡(jiǎn)的總般和等鹿于邊紹數(shù)的2倍，峽即）99從而紗可知監(jiān)：關(guān)系呼式q(G)魯≥p(G)和已孤知條致件q(G)君=p(G)-儲(chǔ)1相互宣矛盾賓。從而黃可知G中必己有懸炒掛點(diǎn)漸。10博0②鹽用數(shù)就學(xué)歸擠納法總證明綢：圖G連通慕，且q(G)抖=p(G)-香1貓→圖G中不項(xiàng)含圈p(G1)=嫩1，q(G1)=謹(jǐn)0時(shí)，G1顯然踐不含湯圈，矮結(jié)論魄顯然燈成立脖；p(G2)=車2，q(G1)=希1時(shí)，G2顯然老不含巴圈，玩結(jié)論絞顯然臉成立鴿；假設(shè)p(Gn)=n，q(Gn)=n-1時(shí)，Gn中不岸含圈滿，即濱結(jié)論扒成立找。10盤(pán)1下面嬸來(lái)證摸明p(Gn+1)=n+1，q(Gn+1)=n時(shí)，Gn+1中也卻不含虹圈。Gn+服1中含環(huán)有懸遼掛點(diǎn)設(shè)v為Gn+1中的芒懸掛樂(lè)點(diǎn)，借考慮房誠(chéng)圖Gn+1-v（圖Gn+1中去爛掉點(diǎn)v及v的關(guān)閱聯(lián)邊騙后得名到的檔圖）旅為一黎個(gè)頂播點(diǎn)數(shù)董量為n的連悠通圖羨，且舒滿足p(Gn+1-v)體=p(Gn+1)融-1窗=n，q(Gn+1-v)=q(Gn+1)受-1抱=n-1。10芒2從而朋可知慌圖Gn+1-v中不訊含圈Gn+1中也曠不含眼圈命題處得證10外3（3）圖G是一較個(gè)樹(shù)G中任挖意兩估點(diǎn)之每間有而唯一董一條構(gòu)鏈相常連必要斤性：酬圖G是一墾個(gè)樹(shù)蜓→G中任趟意兩固點(diǎn)之預(yù)間有布唯一控一條響鏈相走連。因G是連賠通的沒(méi)：任鄰兩個(gè)晚點(diǎn)之絡(luò)間，枝至少援有一汁條鏈棄；因G是無(wú)發(fā)圈的骨：任英兩個(gè)環(huán)點(diǎn)之勾間，府只能擋有一封條鏈禾，否物則則步形成樸了圈恢。10施4充分用性：G中任斃意兩晉點(diǎn)之與間有閥唯一委一條浴鏈相拳連畢→夏圖G是一罵個(gè)樹(shù)G中任木意兩多點(diǎn)之響間有遞唯一表一條原鏈：G是連澆通的甚。再來(lái)恭證明G是無(wú)備圈的雜。反證慚法。設(shè)G中有帶圈，鋪則這估個(gè)圈臭上的季兩個(gè)震頂點(diǎn)費(fèi)之間想有兩熟條鏈旗，與愁“G中任醉意兩階點(diǎn)之尾間有繼唯一霉一條蒼鏈”待相矛埋盾。喉故G中是針無(wú)圈昏的。命題探得證遍。10毅5（4）圖G是一訪個(gè)樹(shù)G無(wú)圈飽，但勾每加訓(xùn)一新禍邊即去得唯從一一傷個(gè)圈命題就得證搏。G中任楊意兩斯點(diǎn)之挑間有衰唯一賓一條么鏈相煮連G無(wú)圈喘，但看每加沫一新郊邊即茄得唯焰一一邊個(gè)圈10馬6圖G是一累個(gè)樹(shù)G連通貍，但訊每舍滿去一闖邊就貪不連背通（5）命題稻得證很。G中任姻意兩闊點(diǎn)之畜間有拾唯一磚一條光鏈相選連G連通持，但命每舍由去一仿邊就捏不連東通10巾7二、闖圖的源生成激樹(shù)（窗支撐戰(zhàn)樹(shù)）1.定義（1）生惜成樹(shù)設(shè)圖是圖G=刊(V,E)的生胖成子兆圖是一謀個(gè)樹(shù)夫，則殖稱T是G的如果帝圖一個(gè)值生成寇樹(shù)。10銅8例：v1v3v5v4v2v1v5v4v3v2是上鴨圖的凱生成島圖，軟但不貝是生極成樹(shù)蓄。10妖9v1v5v4v3v2是上妹圖的挎生成踩圖，揭而且燥是生巧成樹(shù)軍。v1v3v5v2v411有0（2）樹(shù)亡枝圖G中，芒屬于雅生成宿樹(shù)的咬邊稱愿為樹(shù)萬(wàn)枝。（3）弦圖G中，衛(wèi)不屬武于生因成樹(shù)伍的邊伙稱為仇弦。11授1v1v5v4v3v2是上扭圖的爭(zhēng)生成幫圖，雷而且柔是生握成樹(shù)幣。v1v3v5v2v4弦樹(shù)枝11披2（4）性僻質(zhì)①p(T)探=p(G)②q(T)趣=p(T)是-1蹈=p(G)勤-1（樹(shù)店枝數(shù)=點(diǎn)數(shù)-1）；③褲弦戲數(shù)（G中不回屬于號(hào)樹(shù)T的邊奧數(shù)）=q(G)–q(T)=q(G)御-亦[p(G)-甲1]膊=q(G)柏-p(G)油+傻1（弦蘿數(shù)=邊數(shù)-點(diǎn)數(shù)+溪1）11嫩3v1v5v4v3v2v1v3v5v2v4弦樹(shù)枝樹(shù)枝文數(shù)=點(diǎn)數(shù)-1艇=全5碌–反1菠=捏4弦數(shù)=邊數(shù)-點(diǎn)數(shù)+弊1=拖7筋-岔5沫+娃1踏=窮311謝42.定理圖G有生形成樹(shù)盯的充福分必懶要條娃件是顧圖G是連究通的頓。證明辭：必要玩性：擔(dān)圖G有生輛成樹(shù)燙→摧圖G是連世通的圖G有生臥成樹(shù)T，生籃成樹(shù)T必是擦連通尊，從輛而圖G也必鞋是連倚通的偉。11郊5充分縫性：蠢圖G是連鈔通的恐→廟圖G有生裂成樹(shù)如果理圖G是連尊通的患、且穗無(wú)圈森，則擁圖G本身修就是競(jìng)一個(gè)珠樹(shù)，靈從而驢圖G是它域自身丘的一呢個(gè)生帥成樹(shù)弱。如果曬圖G是連挨通的題、且質(zhì)含有麻圈（瀉破圈閑法）鑰：（1）則裙任取擴(kuò)一個(gè)提圈，訴從圈危中任午意去群掉一涌條邊擊，得蹲到圖G的一步個(gè)生憲成子坐圖G1，如買(mǎi)果G1不含摔圈，鳳那么G1就是G的一飛個(gè)生雨成樹(shù)絞；11足6（2）如賀果G1仍含缺圈，葵那么茅從G1中任骨取一參個(gè)圈甘，從冰圈中磁任意高去掉當(dāng)一條顧邊，廊得到訪圖G1的一位個(gè)生歪成子隸圖G2，如報(bào)果G2不含鐮圈，爐那么G2就是G的一奶個(gè)生樓成樹(shù)跪；（3）如斯此重愁復(fù)，乒最終陰可以注得到G的一方個(gè)生瘦成子歡圖Gk，使Gk中不堆含圈蓮，于周是Gk是G的一冶個(gè)生鉆成樹(shù)喂。11換73.尋找材生成斗樹(shù)的摔方法（1）破央圈法從圖G中任袖取一穗個(gè)圈滾，從敲圈中毯去掉離一邊封，對(duì)煌余下缸的圖詢重復(fù)足這個(gè)遣步驟牽，直嬌到不塑含圈偵為止虧，即餃得到弱一個(gè)匆生成提樹(shù)?！捌剖笕Ψㄔ佟敝杏廊サ魤牡倪呇?shù)=q(G)照–p(G)派+幼111坡8（2）避興圈法思路精：在言已給煉出的皮圖G中，尖每步匯選出算一條飄邊，脈使它劃與已右選邊屢不構(gòu)尊成圈糾，直眠到選滋購(gòu)p(G)頁(yè)-醉1條邊默為止墻。下面且介紹虹兩種墨方法也。11脖9①鳥(niǎo)深探殿法步驟1在點(diǎn)東集V中任絹取一兆點(diǎn)v0，給v0標(biāo)號(hào)0；步驟2若某鞭點(diǎn)vi已標(biāo)鮮號(hào)i，則怖檢查如以vi為端碗點(diǎn)的駛所有仍關(guān)聯(lián)程邊（vi,v），管尋找耐這些腎關(guān)聯(lián)委邊中朋另一聞端點(diǎn)v未標(biāo)宅號(hào)的敏關(guān)聯(lián)依邊。12寸0步驟3若有蹲未標(biāo)膜號(hào)的拍，則寒任選低一個(gè)做未標(biāo)掘號(hào)的輛端點(diǎn)v，給汽以標(biāo)齊號(hào)i+1，令揉其為vi+1，檢晉查以vi+1為端寺點(diǎn)的厚所有鑰關(guān)聯(lián)舌邊（vi+1,v），湖尋找皂這些淘關(guān)聯(lián)麥邊中再另一就端點(diǎn)v未標(biāo)畜號(hào)的寇關(guān)聯(lián)找邊。12過(guò)1步驟4若無(wú)蹲未標(biāo)錢(qián)號(hào)的息，則企退到啟標(biāo)號(hào)護(hù)為i-1的點(diǎn)vi-1，檢賓查以vi-1為端澤點(diǎn)的含所有峰關(guān)聯(lián)靜邊（vi-1,v），浙尋找額這些搶關(guān)聯(lián)播邊中糊另一揭端點(diǎn)v未標(biāo)臉號(hào)的胞關(guān)聯(lián)孤邊。步驟5重復(fù)殃步驟2、3和4，直壇到全頭部點(diǎn)泥得到跌標(biāo)號(hào)損為止?fàn)睢?2百2例：01234567891011121312活3②炎廣探蠢法步驟1在點(diǎn)飼集V中任爪取一月點(diǎn)v0，給v0標(biāo)號(hào)0；步驟2令所離有標(biāo)約號(hào)為i的點(diǎn)衡集為Vi=納{vi}，檢運(yùn)查以vi為端參點(diǎn)的宰所有抬關(guān)聯(lián)畢邊（vi,v），旬尋找躁這些眼關(guān)聯(lián)猛邊中有另一種端點(diǎn)v未標(biāo)針號(hào)的悔關(guān)聯(lián)別邊。12洲4步驟3若有品未標(biāo)高號(hào)的氣，則獻(xiàn)對(duì)所基有未喝標(biāo)號(hào)蹤蝶的端總點(diǎn)v，給偶以標(biāo)片號(hào)i+1，令股其為vi+1，檢種查以vi+1為端盤(pán)點(diǎn)的疼所有每關(guān)聯(lián)功邊（vi,v），輔尋找臭這些覺(jué)關(guān)聯(lián)獨(dú)邊中呀另一友端點(diǎn)v未標(biāo)暖號(hào)的晨關(guān)聯(lián)還邊。步驟4重復(fù)鎮(zhèn)步驟2和3，直厭到全貝部點(diǎn)扣得到字標(biāo)號(hào)墻為止拖。12別5例：0123213323344412義6三、堵最小立生成巧樹(shù)問(wèn)矩題1.權(quán)和乓賦權(quán)跪圖的染基本魔概念（1）定剖義給圖G=崖(V，E)，對(duì)G中的貨每一間條邊[vi，vj]，相脹應(yīng)地洽給一矮個(gè)數(shù)wij，稱wij為邊[vi，vj]上的牧權(quán)，機(jī)稱這季樣的經(jīng)圖G為賦恢權(quán)圖閱。12印7（2）權(quán)宜的含朱義權(quán)是區(qū)與邊態(tài)有關(guān)轉(zhuǎn)的數(shù)精量指史標(biāo)，衰根據(jù)匙實(shí)際憲問(wèn)題遞的需箱要，茂可以棋賦予焦不同鑰的含少義，崖如距滾離、際時(shí)間多、費(fèi)致用等宴。12焦8（3）賦主權(quán)圖驅(qū)的意鴿義賦權(quán)說(shuō)圖不下僅指慢出了賀各頂殼點(diǎn)之錯(cuò)間的思相鄰吸關(guān)系戶，而明且也圓表示硬出了刑各點(diǎn)貪之間態(tài)的數(shù)蛾量關(guān)贏系，武所以要賦權(quán)悠圖被停廣泛責(zé)地應(yīng)沾用于幫解決蘋(píng)工程釋技術(shù)稱及科蓄學(xué)生置產(chǎn)管肉理等僵領(lǐng)域似的最悔優(yōu)化楊問(wèn)題兼。賦權(quán)形圖在版圖論航及其奔應(yīng)用酸方面胃有著尋重要脆的地高位。最小英生成蘇樹(shù)問(wèn)鍬題就惕是賦速權(quán)圖斥上的爬最優(yōu)叉化問(wèn)廳題之涼一。12鏈92.最小神生成槍樹(shù)的納基本憶概念（1）生成樹(shù)的權(quán)連通圖G=(V，E)，每條邊e=[vi，vj]上有一個(gè)非負(fù)權(quán)w(e)=wij（wij≥0）。如果是G=(V，E)的一個(gè)生成樹(shù)，稱的權(quán)之和為生成樹(shù)T的權(quán)，記為w(T)，即。中所有邊13鏈0（2）最圈小生馳成樹(shù)如果翁生成村樹(shù)T*的權(quán)w(T*)是G的所有有生純成樹(shù)芒的權(quán)傅中最鵝小者句，則予稱T*是G的最阻小生凳成樹(shù)興，簡(jiǎn)屈稱最杠小樹(shù)方。即w(T*)陪=13桑1（3）最窯小生顧成樹(shù)疼的應(yīng)駝?dòng)迷S多鹽網(wǎng)絡(luò)胃問(wèn)題蟻都可緒以歸艦結(jié)為芳最小耳生成懶樹(shù)問(wèn)攻題。如設(shè)未計(jì)長(zhǎng)返度最頑小的粒公路逐網(wǎng)，咽把若摟干城鋸市聯(lián)州系起右來(lái)；飽設(shè)計(jì)臣用料垂最省餃的電帶話線押網(wǎng)，騎把有鄭關(guān)單譽(yù)位聯(lián)遙系起治來(lái)。13懸23.尋找撲最小品生成兄樹(shù)的修算法（1）避難圈法鼻，Kr小us丘ka口l算法思路賀：開(kāi)豪始選償一條率最小垂權(quán)的全邊，醬以后腥每一獅步中猾，總左從未泰被選膽取的桶邊中懇選一畏條權(quán)猜最小巧的邊臟，并叢使之模與已推選取埋的邊沸不構(gòu)柔成圈馬。如漠果有辯兩條府或兩飾條以眾上的梳邊都埋是權(quán)液最小吼的邊石，則刮從中坐任選蠟一條柄。13往3步驟1對(duì)賦嫂權(quán)圖G=欣(V，E)中的逝所有京邊按資照權(quán)六值從艷小到暫大的廚順序沙排序披，記勒為{e1,e2,…尿,en}；步驟2令E0={常?}；步驟3從E\E0={e1,…芳,en}中選父取權(quán)拾最小直的邊e1，如養(yǎng)果e1同E0中的撤邊不名構(gòu)成傍圈，蔑令E1=作{e1}；13停4步驟4從E\E1={e2,…品,en}中選針取權(quán)褲最小顏的邊e2，如雄果e2同E1中的綱邊不儀構(gòu)成詢?nèi)?，漫令E2=依{e1,e2}；步驟5從E\Ei-1={ei,…負(fù),en}中選括取權(quán)香最小裝的邊ei，如搖果ei同Ei-1中的騾邊不仍構(gòu)成身圈，變令Ei=烏{e1,e2,…次,ei}；13攔5步驟6從E\Ei={ei+1,…均,en}中選娛取權(quán)蔥最小派的邊ei+1，如迷果ei+1同Ei中的聯(lián)邊不塑構(gòu)成勒圈，槐令Ei+1={e1,e2,…床,ei,ei+1}；步驟7重復(fù)僅上述盟步驟端，直歸到集撞合Ei中的蜓邊數(shù)排等于p(G)種-1為止赤。13仙6例v165524v3v5v6v4v24173某工假?gòu)S內(nèi)旋聯(lián)結(jié)挪六個(gè)詳車間脊的道押路網(wǎng)結(jié)如上濟(jì)圖所頃示。笑已知靜每條塔道路揪的長(zhǎng)壓，要乏求道繁路架而設(shè)聯(lián)兆結(jié)六口個(gè)車融間的墨電話遵線網(wǎng)箏，使嚼電話龜線的快總長(zhǎng)兆最小追。13狠7解：（1）把憶邊按夢(mèng)權(quán)值頸從小防到大鏈的順最序排沸列：[v2,v3]=噴1，[v2,v4]=粗2，[v4,v5]=連3，[v5,v6]=傾4，[v4,v6]=否4，[v3,v5]=澆5，[v1,v2]=銅5，[v1,v3]=黨6，[v2,v5]=負(fù)7，（2）E1={靈[v2,v3]}；E2={遣[v2,v3]，[v2,v4]}；E3={撇[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]}；13嶼8E4={攝[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]，[v5,v6]}或E4={絮[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]，[v4,v6]}；因?yàn)閇v3,v5]同E4構(gòu)成蓮圈，萄所以烘只能恨選[v1,v2]，從維而可已得：E5={禽[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]，[v5,v6]，[v1,v2]}或E5={替[v2,v3]，[v2,v4]，[v4,v5]，[v4,v6]，[v1,v2]}。因?yàn)橥厰?shù)趟等于5，從堅(jiān)而停亭止尋境找。13糾9v165524v3v5v6v4v24173不能選，構(gòu)成圈不能投選，談構(gòu)成美圈14奸0v165524v3v5v6v4v24173不能選，構(gòu)成圈不能博選，驢構(gòu)成設(shè)圈14陜1v1524v3v5v6v4v213v152v3v5v6v4v241314射2（2）破料圈法定理鹽：圖G的生窮成樹(shù)T為最滋小樹(shù)棕，當(dāng)僚且僅度當(dāng)對(duì)召任一奶弦e來(lái)說(shuō)忽，e是T+e中與指之對(duì)喬應(yīng)的廟圈中第的最快大權(quán)升邊。14要3步驟1從圖G中任矛找一她個(gè)樹(shù)T1；步驟2加上仙一條獸弦e1，T1+e1中立孝即生捎成一樹(shù)個(gè)圈接，去剖掉該撿圈中冊(cè)最大臥權(quán)的泛邊，爸得到豆新樹(shù)T2，以T2替代T1；步驟3重復(fù)挎步驟2，檢盾查剩囑余的曬弦，藥直到往全部橋弦（協(xié)共有q(G)蓄-p(G)討+窮1條弦檢）檢鄭查完鳥(niǎo)畢為黎止。14啟4例v165524v3v5v6v4v24173某工秩廠內(nèi)梳聯(lián)結(jié)互六個(gè)肢車間饑的道拋路網(wǎng)端如上解圖所話示。墾已知黃每條壇道路琴的長(zhǎng)拜，要閉求道日路架濤設(shè)聯(lián)劈燕結(jié)六眠個(gè)車集間的宵電話跪線網(wǎng)叔，使滔電話貌線的傻總長(zhǎng)揪最小估。14冬5v165524v3v5v6v4v24173解：滅（1）利側(cè)用廣尚探法延尋找隔一個(gè)裝樹(shù)：（2）弦春數(shù)=q(G)-p(G)+室1=叢9-真6+孔1=改4；弦=鼻{揀[v2,v3],榴[v2,v5],輔[v4,v5],慎[v4,v6]泡}14機(jī)6（3）加仗弦[v2,v3]，得捧圈（v2,v3,v1），姻去掉關(guān)最大艘權(quán)邊[v1,v3]；（4）加州弦[v2,v5]，得荷圈（v2,v5,v3），地去掉放最大慚權(quán)邊[v2,v5]；（5）加傘弦[v4,v5]，得燙圈（v4,v5,v3,v2），系去掉冷最大香權(quán)邊[v3,v5]；（6）加千弦[v4,v6]，得特圈（v4,v6,v5），野去掉葛最大召權(quán)邊[v4,v6]或[v5,v6]。（7）所走有弦阻檢查使完畢杠，從絮而得漢出最記小樹(shù)龍。14始7v165524v3v5v6v4v2417314選8v165524v3v5v6v4v2417314吉9例海已知芽六大石城市A、B、C、D、E、F之間難的距宋離如南下表翁所示積，求涂聯(lián)結(jié)篇六大會(huì)城市董的道伏路網(wǎng)略，使津道路回網(wǎng)的螺總長(zhǎng)齡度最爆短。城市ABCDEFA×1351776850B13×60706759C5160×57362D777057×2055E68673620×34F505925534×15堆0解：冤利用遭避圈難法，旦將各跳城市遞之間身的距騾離按龍照從編近到膏遠(yuǎn)的惜順序鐵排列魂，依夢(mèng)次選撓擇，絕直到紡邊數(shù)工的5條停悔止。135023420BCDEFA36邊數(shù)走已到竟達(dá)5，停秀止。15缺1四、聚根樹(shù)郊及其掀應(yīng)用1.定義（1）有燈向樹(shù)若有次一個(gè)親有向的圖在凍不考載慮邊棚的方獸向時(shí)蒜是一覽個(gè)樹(shù)舍，則尚稱這波個(gè)有忠向圖秀為有女向樹(shù)定。（2）根偷樹(shù)（幸外向念樹(shù)）有向紀(jì)樹(shù)T，恰除有一容個(gè)節(jié)促點(diǎn)入跌次為0，其助余各牛點(diǎn)入乖次均盼為1，則態(tài)稱T為根慨樹(shù)，牽又稱風(fēng)外向困樹(shù)。15削2（3）根根樹(shù)雷中，肉入次耗為0的頂敲點(diǎn)稱其為根水。（4）葉根樹(shù)肉中，濤出次犯為0的頂聽(tīng)點(diǎn)稱帝為葉攜。（5）分宋枝點(diǎn)根樹(shù)扶中，鹽除了醒根和杏葉之癢外的蠶其他贏頂點(diǎn)坐稱為盒分枝緩點(diǎn)。（6）層裂次根樹(shù)演中，派設(shè)所制有弧碎的權(quán)伸值均秀為1，則糕由根蒸到某禍一頂將點(diǎn)vi的路網(wǎng)的長(zhǎng)圓度，得稱為vi點(diǎn)的種層次袍。15絡(luò)3例：v1v2v3v4v5v6v7v8v9v10v11v1215閉4v1為根沈；v2、v3、v4、v8為分獨(dú)枝點(diǎn)論；v5、v6、v7、v9、v10、v11、v12為葉雀；v2、v3、v4的層捷次為1；v12的層蚊次為3。15肺5（7）m叉樹(shù)根樹(shù)別中，句若每廟個(gè)頂園點(diǎn)的賠出次籍均等釀?dòng)趍或小嫂于m，稱垃這樣的的根取樹(shù)為m叉樹(shù)知。（8）完津全m叉樹(shù)根樹(shù)械中，島若每尖個(gè)頂勾點(diǎn)的被出次溪均等給于m或等祥于0，稱財(cái)這樣很的根舞樹(shù)為功完全m叉樹(shù)盟。15夫6例：棋下圖轟為一追個(gè)三依叉樹(shù)僑，但鵝不是油完全莫三叉散樹(shù)。v1v2v3v4v5v6v7v