平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.1平面向量基本定理給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量e1,e2，請作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2的向量表示呢？思考平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1、2，使得a=1e1+2e2.把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.關(guān)于基底的幾點(diǎn)說明：向量的夾角:OAB兩個(gè)非零向量

和,作，

,則叫做向量

和

的夾角．夾角的范圍：

與

反向OAB記作與

垂直，OAB注意:兩向量必須是同起點(diǎn)的

與

同向OAB特別的：已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2.解：例1如圖在基底e1、e2下分解下列向量：例2例3.在等邊三角形中，求

(1)AB與AC的夾角；

(2)AB與BC的夾角。ABC2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示正交分解

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)都可以用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，對平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的每一個(gè)向量，如何表示呢？思考向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，則對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)x、y使得a=xi+yj，把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，顯然，i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).如圖菌，分盤別用俘基底i、j表示筐向量a、b、c、d，并凳求出年它們夜的坐顯標(biāo).解：a=2i+3j=(2繼,3粥),b=-2i+3j=(劃-2狡,3壺)c=-2i-3j=(嗚-2千,-掀3)d=2i-3j=(腎2,繼-3餅).例題在直灰角坐仗標(biāo)系xO僵y中，忘向量a、b、c的方立向和憑長度濟(jì)如圖星所示氏，分欄別求拜它們洽的坐弄標(biāo).例題如圖松，e1、e2為正飽交基棋底，由分別派寫出悔圖中微向量a、b、c、d的分哨解式寸，并貨分別蓮求出未它們塔的直免角坐碌標(biāo).練一練解：a=2e1+3e2=(匯2,告3)，b=-糊2e1+3e2=(量-2妨,3送)，c=-2e1-3e2=(聾-2何,-單3)，d=2e1-3e2=(帥2,汁-3冰).已知噴是坐唱標(biāo)原為點(diǎn)，饑點(diǎn)妙在第趙一象缸限，，求蛛向量秤的坐娘標(biāo).練一練1．戲平面創(chuàng)向量顏基本美定理?。?．賽平面放向量法的正摟交分戒解；3．變平面抖向量杜的坐畫標(biāo)表前示.小結(jié)2.調(diào)3.薦3平面繭向量金的坐霞標(biāo)運(yùn)絹算1．怕平面核向量馳基本誼定理帥；2．描平面陣向量尚的正謝交分枯解；3．屬平面揮向量蛾的坐揪標(biāo)表重示.復(fù)習(xí)已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，你順能得布出a+b，a-b，a的坐朋標(biāo)嗎元？思考a+b=(x1i+y1j)+恥(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j=(x1+x2,y1+y2).同理退可得a-b=(x1-x2,y1-y2)，a=(x1i+y1j)=x1i+y1j=(x1,y1)，已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，則=(x2,y2)-霞(x1,y1)=欲(x2-x1,y2-y1).平面透向量揮的坐版標(biāo)運(yùn)須算法嗚則（1）兩愛個(gè)向閥量和井（差日）的碰坐標(biāo)涂分別男等于午這兩兄個(gè)向猜量相箱應(yīng)坐徹標(biāo)的端和（鳳差）蹦．（2）實(shí)裝數(shù)與泳向量珍的積蹤蝶的坐初標(biāo)等豆于用拘這個(gè)愛實(shí)數(shù)紋乘原跑來向幼量的醉相應(yīng)棉坐標(biāo).（3）一捉個(gè)向盾量的奔坐標(biāo)常等于知表示浪此向瞇量的神有向寒線段涉的終梅點(diǎn)的頑坐標(biāo)禽減去屈始點(diǎn)葡的坐傲標(biāo).已知a=(烏2,尊1)，b=(籍-3獲,4屬)，求a+b，a-b，3a+4b的坐匆標(biāo).解：a+b=(將2,額1)句+(雨-3拜,4東)=宋(-票1,嗎5)，a-b=(欲2,呈1)鴨-(幕-3掀,4宰)=朱(5驢,-悲3)，3a+4b=3愧(2障,1祖)+痛4(銀-3脊,4典)=希(6瘋,3零)+鍵(-鳳12移,1潤6)郵=(羞-6跳,1焰9)耳.例題已知榮平行層四邊勸形AB濱CD的三痛個(gè)頂冒點(diǎn)A、B、C的坐魄標(biāo)分按別是(-獲2,低1)、(-墾1,符3)、(3宅,4法)，試擇求頂爪點(diǎn)D的坐年標(biāo).例題2.3晉.4平面及向量吧共線番的坐品標(biāo)表菊示如何翁用坐逐標(biāo)表設(shè)示兩籠個(gè)共約線向爆量？設(shè)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，其棕中b0，a與b共線么，當(dāng)碗且僅蔽當(dāng)存摩在實(shí)言數(shù)，使a=b，即(x1,y1)=(x2,y2)，x1=x2，y1=y2，消屢去后得摩，x1y2-x2y1=0僅.思考已知a=(飼4,牢2)，b=(蘿6,y)，且a//b，求y.解：∵a//b，∴4y-26=垮0，∴y=3。例題已知A(-滋1,抵-1孔)，B(1始,3靜)，C(2稠,5孔)，試首判斷A、B、C三點(diǎn)嫩之間障的關(guān)緣瑞系.例題設(shè)線妄段兩亦端點(diǎn)P1、P2的坐堆標(biāo)分款別是(x1,y1)，(x2,y2)，（1）當(dāng)化點(diǎn)P是線況段P1P2的中悲點(diǎn)時(shí)舒，求合點(diǎn)P的坐醫(yī)標(biāo)；（2）當(dāng)張點(diǎn)P是線棋段P1P2的一熊個(gè)三誼等分艘點(diǎn)時(shí)咳，求統(tǒng)點(diǎn)P的坐訊標(biāo).例題3同理口，如挑果說歐那么挑點(diǎn)P的坐碧標(biāo)是已知a=(扶3,越2)，b=(弱0,毯-1校)，求-2a+4b，4a+3b的坐臨標(biāo).(-抬6,仰-8更)，(1涂2,棋5)已知男：A(2貸,3在)，B(-源1,凝5)，且，求點(diǎn)C、D、E的坐唉標(biāo).練一練已知釀三點(diǎn)A(1靠,1孩)，B(-課1,眨0)，C(0啊,1聚)，求裹另一槽點(diǎn)D(x,y)，使.若三踢點(diǎn)A(1飾,1潔)，B(2獅,-聯(lián)4)，C(x,-興9)共線論，求x的值.x=3練一練已知2a+b=(昌-4嬌,3菌)，a-2b=(死3,