【數(shù)學(xué)】3.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 (人教A版選修2-3)

第三章統(tǒng)計案例3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)

比《數(shù)學(xué)3》中“回歸”增加的內(nèi)容數(shù)學(xué)３——統(tǒng)計畫散點圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程y＝bx＋a用回歸直線方程解決應(yīng)用問題選修2-3——統(tǒng)計案例引入線性回歸模型y＝bx＋a＋e了解模型中隨機誤差項e產(chǎn)生的原因了解殘差圖的作用了解相關(guān)指數(shù)R2

和模型擬合的效果之間的關(guān)系利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結(jié)果【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)回歸分析的內(nèi)容：《數(shù)學(xué)3》中，已對具有相關(guān)關(guān)系的變量利用回歸分析的方法進行了研究，其步驟為畫散點圖，求回歸直線方程，并用回歸直線方程進行預(yù)報。

回歸分析對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用的方法，也就是通過一個變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化。【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)最小二乘法：稱為樣本點的中心。回歸直線過樣本點中心【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)例1從某大學(xué)中隨機選取8名女大學(xué)生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。分析：由于問題中要求根據(jù)身高預(yù)報體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量．【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)2.回歸方程：1.散點圖；【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)探究：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認為她的體重接近于60.316kg。即，用這個回歸方程不能給出每個身高為172cm的女大學(xué)生的體重的預(yù)測值，只能給出她們平均體重的值?！緮?shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)例1從某大學(xué)中隨機選取8名女大學(xué)生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表1-1所示。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，并預(yù)報一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點圖：2、由散點圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系?！緮?shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：線性回歸模型：當隨機誤差恒等于0時，線性回歸模型就變?yōu)楹瘮?shù)模型【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：

線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機誤差項e，因變量y的值由自變量x和隨機誤差項e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。

在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預(yù)報變量。【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，

(3)其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=

(4)

在線性回歸模型(4)中，隨機誤差e的方差越小，通過回歸直線(5)預(yù)報真實值y的精度越高。隨機誤差是引起預(yù)報值與真實值y之間的誤差的原因之一，其大小取決于隨機誤差的方差。另一方面，由于公式(1)和(2)中和為截距和斜率的估計值，它們與真實值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報值與真實值y之間誤差的另一個原因?！緮?shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)思考:產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？隨機誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差；2、忽略了其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等因素；3、身高y的觀測誤差。以上三項誤差越小，說明我們的回歸模型的擬合效果越好。【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)探究:e

是

用預(yù)報真實值Y的隨機誤差，它是一個不可觀測的量，那么怎樣研究隨機誤差呢？回歸模型：其估計值為而言，它們的隨機誤差對于樣本點【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。

在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義：

然后，我們可以通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382

我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖?！緮?shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)殘差圖的制作及作用。坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠離橫軸的點，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點

錯誤數(shù)據(jù)模型問題

幾點說明：第一個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為的錯誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高?！緮?shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預(yù)報變量變化的貢獻率。

R2越接近1，表示回歸的效果越好（因為R2越接近1，表示解析變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型?？偟膩碚f：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報變量的能力。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)1354總計0.36128.361殘差變量0.64225.639隨機誤差比例平方和來源表1-3

從表3-1中可以看出，解析變量對總效應(yīng)約貢獻了64%，即R20.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機誤差貢獻了剩余的36%。所以，身高對體重的效應(yīng)比隨機誤差的效應(yīng)大得多。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)用身高預(yù)報體重時，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時間性；3、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報值就是預(yù)報變量的精確值。事實上，它是預(yù)報變量的可能取值的平均值?！@些問題也使用于其他問題。涉及到統(tǒng)計的一些思想：模型適用的總體；模型的時間性；樣本的取值范圍對模型的影響；模型預(yù)報結(jié)果的正確理解。小結(jié)【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預(yù)報變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)什么是回歸分析？

（內(nèi)容）從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式對這些關(guān)系式的可信程度進行各種統(tǒng)計檢驗，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個或幾個變量的取值來預(yù)測或控制另一個特定變量的取值，并給出這種預(yù)測或控制的精確程度【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別相關(guān)分析中，變量x

變量y處于平等的地位；回歸分析中，變量y稱為因變量，處在被解釋的地位，x稱為自變量，用于預(yù)測因變量的變化相關(guān)分析中所涉及的變量x和y都是隨機變量；回歸分析中，因變量y是隨機變量，自變量x

可以是隨機變量，也可以是非隨機的確定變量相關(guān)分析主要是描述兩個變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量x對變量y的影響大小，還可以由回歸方程進行預(yù)測和控制

【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)相關(guān)系數(shù)1.計算公式2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越?。畣栴}：達到怎樣程度，x、y線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢？【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)負相關(guān)正相關(guān)【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)相關(guān)系數(shù)ｒ＞０正相關(guān)；ｒ＜０負相關(guān)．通常，r∈[-1,-0.75]--負相關(guān)很強;

r∈[0.75,1]—正相關(guān)很強;

r∈[-0.75,-0.3]--負相關(guān)一般;r∈[0.3,0.75]—正相關(guān)一般;r∈[-0.25,0.25]--相關(guān)性較弱;【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù),試建立y與x之間的回歸方程

解:1)作散點圖;從散點圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用線性回歸模型來很好地近似。這些散點更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近?！緮?shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)解:令則z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出變換后數(shù)據(jù)表并畫出x與z的散點圖x和z之間的關(guān)系可以用線性回歸模型來擬合x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.194.7455.784【數(shù)學(xué)】3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用(人教A版選修2-3)2)用y=c3x2+c4模型,令,則y=c3t+c4,列出變換后數(shù)據(jù)表并畫出t與y的散點圖散點并不集中在一條直線的附近，因此用線性回歸模型擬合他們的效果不是最好的。t