數(shù)值分析(計(jì)算方法)總結(jié)

第一章緒論誤差來源：模型誤差、觀測誤差、截?cái)嗾`差（方法誤差、舍入誤差是 的絕對(duì)誤差， 是 的誤差， 為 的對(duì)誤差限（或誤差限）為 的相對(duì)誤差，當(dāng) 較小時(shí)，令相對(duì)誤差絕對(duì)值得上限稱為相對(duì)誤差限記為： 即：絕對(duì)誤差有量綱，而相對(duì)誤差無量綱若近似值 的絕對(duì)誤差限為某一位上的半個(gè)單位，且該位直有n位，則稱近似值 有n位有效數(shù)字，或說 精確到該位。

的第一位非零數(shù)字共例：設(shè)x==…那么上的3，或說 精確到個(gè)位。

,則 有效數(shù)字為1位，即個(gè)位科學(xué)計(jì)數(shù)法：記有效數(shù)字，精確到 。

有n位由有效數(shù)字求相對(duì)誤差限：設(shè)近似值其相對(duì)誤差限為

有n位有效數(shù)字，則由相對(duì)誤差限求有效數(shù)字：設(shè)近似值則它有n位有效數(shù)字令x+y和x-y近似值為xy近似值為

的相對(duì)誤差限為為和的誤差（限）等于誤差（限）的4.避免兩相近數(shù)相減避免用絕對(duì)值很小的數(shù)作除數(shù)避免大數(shù)吃小數(shù)盡量減少計(jì)算工作量第二章非線性方程求根逐步搜索法設(shè)f(a)<0,f(b)>0，有根區(qū)間為(a,b)，從x0=a出發(fā)，按某個(gè)預(yù)定步長(例如h=(b-a)/N)k 一步一步向右跨，每跨一步進(jìn)行一次根的搜索，即判別f(x)=f(a+kh)的符號(hào)，若f(x)>0(k kk-1 kk-1 k-1k k k f(x)<0),則有根區(qū)間縮小[x,x](若f(x即為所求),然后從x 出發(fā)，把搜索步長再縮小，重復(fù)上面步驟，直到滿足精度-xkk-1 kk-1 k-1k k k 二分法00 00 0 0 設(shè)f(x)的有根區(qū)間為[a,b]=[a,b],f(a)<0,f(b)>0.將[a,b]對(duì)分，中點(diǎn)x=((a+b)/2),00 00 0 0 0f(x)。0比例法kk k k k k 一般地，設(shè)[a,b]為有根區(qū)間，過(a,f(a))、(b,f(b))作直線，與x軸交于一點(diǎn)x,kk k k k k 試位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保證收斂。比例法不是通過使求根區(qū)間縮小到0（遞推公式:事后估計(jì)局部收斂性判定定理：解的附近Steffensen迭代格式：Newton法：Newton下山法：弦割法：拋物線法：令其中：

是下山因子則：k+1 k k 設(shè)迭代x =g(x)收斂到g(x)的不動(dòng)（根）x*設(shè)e=k+1 k k 該迭代為p（不小于1）階收斂，其中C(不為0)稱為漸進(jìn)誤差常數(shù)第三章解線性方程組直接法列主元LU分解法：計(jì)算主元 選主元對(duì)于Ax=b，三角分解A=LU，Doolittle分解：L為單位下三角矩陣，U為上三角矩陣；Crout分解：L為下三角矩陣，U為單位上矩陣。可分解為：若利用緊湊格式可化為：Cholesky平方根法：系數(shù)矩陣A必須對(duì)稱正定改進(jìn)Cholesky分解法：． l ．-llL，UnL，Un-1U為令Cu=為令Cu=可改為Lv=bD為C1．C21 數(shù)范.i=2,3....i=2,3...n,＝,2...i-l)'等價(jià)于Rj1 氏o山l21d1h1山l21d1h1壓．l1 數(shù)壓．l

數(shù) 數(shù)噓Ly=d,Ux=yl 汜咯心 范 Ly=d,Ux=yd._X- m- 列 譜d._12 l_2_2i-l)＝ . D

l-d｀

12l. ?lrrn＿n＿＝. . .1

1-ll=2,3'n)

2＿ am-1)局 (j=-1)局 (j=由＝3i-Li2d,Ci=.2...n)k=l

l

1．．nn

rH_, i,

2＝III8IA IA打＝3打＝3j-I 心J K=1j一1j-1C1a2 C2'au-j-1C1a2 C2'au-1

lD"l=其中：D"l=其中：

, 1 ,矩陣范數(shù)：1矩陣范數(shù)：1-2

T - Y 1 ．1 -n

j iJd il' . ＇l

b

,cuJ ＿u1LL-n

JI

I＿

-.1

1 = b1．＿ ．A

＿u

＿jd

bA＝A

．I il＿, _, _ 譜半徑:收斂條件：譜半徑小于1條件數(shù)：第四章解線性方程組的迭代法Jacobi迭代：基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代:迭代收斂：譜半徑小于1，范數(shù)小于1能推出收斂但不能反推逐次超松弛迭代（SOR）:當(dāng)=1JacobiGauss-Seidel迭代（加權(quán)平均。第五章插值法Lagrange插值法：構(gòu)造插值函數(shù)：則：若記：則可改為：逐次線性插值法n（埃特金法：Newton插值法：N(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn)并滿足N(x)=f(x)差商的函數(shù)值表示：＝寧則：f(x)=(泣＋壇XIl陌(x)+..＋fx:o.．Wn)+r心o,XI..11+1l，葉1(x)等距節(jié)點(diǎn)Newton插值公式：n向前插值：心＋)=f(x)+罵心，其中似（L);l心 l)余項(xiàng)：心＝尸 ( ht-1比，氣Newton向后插值：+th)=心＋環(huán) e+I)Newton余項(xiàng)：心＝f-I）Hermite插值：

(x)==吵(x)yj十」(x)J'丐(x)=(Ax+B)If(x).Mx)=(Cx+D)JJ(x)x)1-x-)如仿(x)=(x-x流(x)R2nI(x.)f(x.Hin

產(chǎn)9＝

(x)H(x)Lo.1tken)+(xx)(xx(x.x)(A.x+B)（三彎矩構(gòu)造法）記'匈 ＝1肉 s積分兩次井浩足插值條件，hj=Xj飛 .],hi= .尸亡了l|汕-r-34孔xxl|汕-r-34孔xx叫竺懟心么江x汾咧叫副尸．．陽2.陽2從2心？心nμ-n這悶l6＿1．．22nμ,'·燦｀．i1+i飛i+1=f(X心nμ-n這悶l6＿1．．22nμ,'·燦｀．對(duì)于附加轉(zhuǎn)角邊界條件：h11h11i.x2l,x2.小u-mn41島2,XnI兇J, 2 μ1l 及 2 μ2 l 1n2-li1

f[xo,mohn對(duì)于附加周期性邊界條件：對(duì)于附加周期性邊界條件：上式保證了s(x)在相鄰兩點(diǎn)的連續(xù)性第六章函數(shù)逼近與曲線擬合主要求法方程第七章數(shù)值積分與數(shù)值微分求積公式具有m次代數(shù)精度的充要條件：插值型求積公式Newton-Cotes（等分）梯形求積公式，具有1次代數(shù)收斂精度誤差公式：拋物型求積公式n，具有3次代數(shù)收斂精度誤差公式Newton求積公式（Simpon3/8法則）具有3次代數(shù)收斂精度s求積公式，具有5次收斂精度誤差公式n;復(fù)化梯形求積公式：截?cái)嗾`差：復(fù)化Simpson公式：截?cái)嗾`差：復(fù)化Cotes求積：截?cái)嗾`差：若一個(gè)復(fù)化積分公式的誤差滿足 且C 則稱該公式是p階收斂的復(fù)化求積公式（需要2n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)）Romberg求積算法：復(fù)化梯形求積公式：CotesGauss內(nèi)積公式：截?cái)嗾`差：高斯求積公式代數(shù)精度為2n+1e（求積系數(shù)可通過代數(shù)精度或插值型求積公式求積系數(shù)公式求出，亦可由下式求得：截?cái)嗾`差：Gauss-Chebyshev求積公式：形如：求積系數(shù)：截?cái)嗾`差：

(必為正)Gauss-Laguerre求積公式：形如：[n+)I求積系數(shù)：Ai= i=0.l求積系數(shù)：葉(Ln凸匈l'[n+)211CO=面玉產(chǎn)2)切，JE(0,＋忒 Gauss-Hermite求積公式：形如：f::'婦 江'21l+！品Ai

匪占匐Il'

l=0,1_nn(fJ＝+12n+

句，nE(－m，十m）三點(diǎn)數(shù)值微分公式= 2h -f@，

E(x0,勸邸. h224T心沁)-T偉對(duì)泰勒級(jí)數(shù)展開f也～ 23第八章常微分方程求解Euler法：Yn+1=Yn+hf(xn,fa)為一階法（f(x,y)為y的導(dǎo)數(shù)）h梯形方法（改進(jìn)r