xit數(shù)學(xué)建模測驗(yàn)i

數(shù)學(xué)建模習(xí)題指導(dǎo)第一章初等型討題1大包問在超市購物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎？比如潔銀牙膏50g裝每支元裝每支元二者單位重量的價(jià)格比是試比例方法構(gòu)造模型解釋這種現(xiàn)象。（1分析商品價(jià)格與品重量w的系（2給出單位重量價(jià)格c與w關(guān)系，并解釋其實(shí)際意義。提示：決定商品價(jià)格的主要因素：生產(chǎn)成本、包裝成本、其他成本。單價(jià)隨重量增加而減少

c4c9

c

13

單價(jià)的減少隨重量增加逐漸降低思題2劃比的績賽艇是一種靠漿手劃槳前進(jìn)的小船，分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。各種艇雖大小不同但形狀相似比了各種賽艇—年四次比的最好成績包括1964年1968年次奧運(yùn)會(huì)和兩次世界錦標(biāo))，見下表。建立數(shù)學(xué)模型解釋比賽成績與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系。各種艇的比賽成績與規(guī)格艇種

成

平均

艇長l(m)艇b(m)l/bW0(kg)與比單人雙人四人八人

第二章線性數(shù)模型森林管問題森林中的樹木每年都要有一批砍伐出售。為了使這片森林不被耗盡且每年都有所收獲，每當(dāng)砍伐一棵樹時(shí)，應(yīng)該就地補(bǔ)種一棵幼苗，使森林樹木的總數(shù)保持不變。被出售的樹木，其價(jià)值取決于樹木的高度森林中的樹木有著不同的高度希能找到一個(gè)方案，/

在維持收獲的前提下，如何砍伐樹木，才能使被砍伐的樹木獲得最大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。思：試解釋為什么模型中求解得到.857每周平均銷售量會(huì)略小于模型假設(shè)中給出的1。練：將鋼琴銷售的存貯策略修改為：當(dāng)周末庫存量為0或時(shí)購，使下周初的庫存達(dá)到3架否，不訂立馬氏鏈模型，計(jì)算穩(wěn)態(tài)下失去銷售機(jī)會(huì)的概率和每周的平銷售量。將鋼琴售的存貯策略修改為：當(dāng)周末庫存量為0時(shí)訂購本周銷售量加架否則，不訂購。建立馬氏鏈模型，計(jì)算穩(wěn)態(tài)下失去銷售機(jī)會(huì)的概率和每周的平均銷售量。第三章優(yōu)化型討題）最優(yōu)下料問題用已知尺寸的矩形板材加工半徑一定的圓盤幾種加工排列方法出優(yōu)下料方案。）廣告促銷競爭問題甲乙兩公司通過廣告競爭銷售商品，廣告費(fèi)分別為x和y。設(shè)甲乙公司商品的售量兩公司總售量中所占份額是它們的廣告費(fèi)在總廣告費(fèi)中所占份額的函數(shù)xf(),f()xy又設(shè)公司的收入與售量成正比中扣除廣告費(fèi)后即為公司的利潤造模型的圖形，并討論甲公司怎樣確定廣告費(fèi)才能使利潤最大。（1令t,則f(t)(1)畫出f(t)的意圖。（2寫出甲公司的利潤表達(dá)式

(對(duì)一定的y，p(x)最大的x的優(yōu)值應(yīng)滿足什么關(guān)系。用圖解法確定這個(gè)最優(yōu)值。練三個(gè)家具商店購買辦公桌A需要30張B要50張要張這些辦公桌由兩個(gè)工廠供應(yīng)產(chǎn)張2生張給了工廠和商店的距位公里），假設(shè)每張每公里運(yùn)費(fèi)元尋求一個(gè)運(yùn)送方案使運(yùn)費(fèi)最少？家具店工廠

A

C工廠

商店

ABCAB/

x

x

x13

x

x

23

u5[xxxxx]1321st

7013233045i.jij練下問某車間有一批長度為公分的鋼（數(shù)量充分多今制零件要將其截成三種不同長度的管料，公分，52公，分。生產(chǎn)任務(wù)規(guī)定，這三種料的需要量分別不少于根150，根。我們知道，截分鋼管時(shí)不免要產(chǎn)生“邊角料約料的觀點(diǎn)來考慮，應(yīng)該采取怎樣的截法，才能在完成任務(wù)的前提下，使總的邊角料達(dá)到最小限度？所有可能的截法截法長度

(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)112003

需要量邊料（）6232423現(xiàn)用

x,,...,8

分別表示采用每個(gè)截法的次數(shù)，則問題變成在約束條件：2x1002342x3xx35673xx34670,j,8jj下求目標(biāo)函數(shù)：fxxxxxx14678實(shí)加奶品生產(chǎn)劃

的最小值。一奶制品廠用牛奶生產(chǎn)A和B兩奶制品，一桶牛奶可以在設(shè)備甲上用小加工成3公A或者在設(shè)備乙上用小加成4公。據(jù)市場求，生產(chǎn)的A全能出售，且每公斤A獲元每公斤B獲利16元現(xiàn)在加工每天能得到桶奶的供應(yīng)，每天正式工人總勞動(dòng)時(shí)間為小時(shí)，并且設(shè)備甲每天至多能加工公A設(shè)備乙的加工能力沒有限制試為該廠制訂一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃每天獲利最大并為該廠制訂一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃，使每天獲利最大，并進(jìn)一步討論以下3個(gè)加問題：（1若用元到1桶奶，應(yīng)否作這項(xiàng)資？若投資，每天最多購買多少桶牛奶？（2若可以聘用臨時(shí)工人以增加勞動(dòng)時(shí)間，付給臨時(shí)工人的工資最多是每小時(shí)幾元？（3由于市場需求變化，每公斤A獲利增加到元，應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃？/

第四章概率計(jì)模型練：利用上述模型計(jì)算，若每份報(bào)紙的購進(jìn)價(jià)為元，售出價(jià)為1，退回價(jià)為0.6，需求量服從均值500，均方差的正態(tài)分布，報(bào)童每天應(yīng)購進(jìn)多少份報(bào)紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？用本章所學(xué)方法，思考以下幾個(gè)方面的問題：）酒店酒店接受房間預(yù)訂主要是建立在誠信之上，因此通常不會(huì)再接受有過失信記錄的顧客的預(yù)訂一些酒店在接受預(yù)訂時(shí)要求顧客交納押金此來確保顧客住房的概（施行這種方案的一般是低價(jià)酒店，因?yàn)樗鼈兊闹苻D(zhuǎn)資金往往不多另一些酒店則可能會(huì)給長期訂房或是預(yù)付房費(fèi)的顧客打折。這種多價(jià)格系統(tǒng)的經(jīng)營方式是可以考慮的。）汽車出租公司汽車出租公司一般會(huì)保留固定數(shù)量的汽車（至少在短期內(nèi)）以出租給顧客。出租公司可能會(huì)為頻繁租借汽車的顧客打折此來確保公司能有最低量的收入一長期出租品（一次出租一周或一個(gè)月會(huì)上優(yōu)惠的價(jià)格為這給出了一個(gè)至少確定了未來的一段日子會(huì)有收入的策略預(yù)一車輛的預(yù)訂可能會(huì)被取消的情況下間司有可能充分地留出比它們計(jì)劃中要多的汽車。）圖書館圖書館都有可能購買一些暢銷書籍的多種版本。特別是在學(xué)院或大學(xué)圖書館里，時(shí)常購買一系列課本某些版本極有能僅限在圖書館內(nèi)方便學(xué)生們的使用可以嘗試建立書籍使用的模型。練：下表給出了某工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)批量與單位成元）的數(shù)據(jù)散圖可明顯的發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)批量在500以內(nèi)時(shí)，單位成本對(duì)生產(chǎn)批量服從一種線性系，生產(chǎn)批量超過500時(shí)服從另一種線性關(guān)系時(shí)單位成本明顯下降望你構(gòu)造一個(gè)合適的回歸模型全面地描述生產(chǎn)批量與單位成本的關(guān)系。生產(chǎn)批量單位成本

6503404008007204804405404.524.652.96第五章離散型思：名家綜決問/

五練合理配金問某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要領(lǐng)導(dǎo)決定如何利用可選擇的方案有以獎(jiǎng)金名義發(fā)給職工擴(kuò)集體福利設(shè)施購進(jìn)新設(shè)備等。為了進(jìn)一步促進(jìn)企業(yè)發(fā)展何合理使用這筆利潤。足球排次CUMCM）1993年BUndergraduateMathematicalContestin自己計(jì)關(guān)目如：高考填報(bào)志愿問題，選職業(yè)問題，排名（排序）問題。合分資問層結(jié)構(gòu)模型合理利用企業(yè)利潤Z調(diào)動(dòng)職工的

提高企業(yè)的技

改善職工的生積極性

術(shù)水平

活條件

C

3發(fā)獎(jiǎng)金

P

擴(kuò)建福利事業(yè)

P

引進(jìn)新設(shè)備

P3求矩陣ZCIRICRC-P矩陣

C2C31/3110.033<0.1

WOKP11/30.25/

RI

0.25,

OK

W0.1670.833RI

{0,

OKP2W120.6671RI

OKZ-P矩陣ZC1P0.1050.6370.258

總序值CIRICR

00.16700.105CI1+0.637CI2+0.258CI3=00<0.1

第六章微分程模型思屋的槽題房屋管理部門想在房頂?shù)倪呴馨惭b一個(gè)檐槽目是為了雨天出入方便屋脊到屋檐的房頂可看成是一個(gè)米，米的矩形平面，房頂與水平方向的傾斜角度一般在2050

。

a現(xiàn)有一公司想承接這項(xiàng)業(yè)務(wù)，允諾供一種新型的檐槽，包括一個(gè)橫截面為半圓形（半徑/

為）的水槽和一個(gè)豎直的排水管（直徑為1論氣情況如何這種檐槽都能排掉房頂?shù)挠晁?。房管部門猶豫，考慮公司的承諾能否實(shí)現(xiàn)建數(shù)學(xué)模型論這個(gè)方案的可行性。

a問題簡水槽的容量能否足以排出雨水的問題化為水箱的流入流出問題房上流下的雨水量是流量垂于房頂?shù)呐潘芘懦龅牧鞒鏊勰芊裨跊]有溢出的況下將全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。假設(shè)（1雨水垂直下落并且直接落在房頂上；（2落在房頂上的雨水全部迅速流入水槽中；（3直接落入水槽中的雨水可忽略不計(jì)；（4落在房頂上的雨沒有濺到外面去；（5在排水系統(tǒng)中不存在一些預(yù)料不到的障礙，象落在房頂上的雜物、樹葉等。符號(hào)明有因降水速度時(shí)間房頂?shù)膬A斜角房頂?shù)拈L度房頂?shù)膶挾人鄣陌霃剿壑兴母叨人壑兴娜萘苛魅胨鄣牧魉倭鞒鏊鄣牧魉倥潘艿臋M截面積

因類輸入變量變量輸入?yún)?shù)輸入?yún)?shù)輸入?yún)?shù)輸入?yún)?shù)輸出變量變量變量變量參數(shù)

符rtaVQ1Q0A

單s弧度m3m3s-1m3s-1m2模型建根據(jù)速度平衡原理于頂排水系統(tǒng)水槽中水的容量的變化=雨水的流入速度排水管流出的速度。1QQ分別是單位時(shí)間流入水槽和從水槽流出的雨水量的體積。1r水平面上雨水的深度，房頂?shù)拿娣e

水流

雨

實(shí)際受雨的水平面積

cos

，房頂上雨水的流速

r

/

，，流入水槽的速度應(yīng)是在鉛垂方向的分量rt)bd排水管的流出速度應(yīng)與水槽中水的深度有關(guān)。

根據(jù)能量守恒原理

12

mv

mgh(t)v2t)

，

2(t水槽中水的體積為，

(t)

aa

2aha

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