第一節(jié)正弦定理(要點(diǎn)歸納夯實(shí)基礎(chǔ)練)

第一節(jié)正弦定理【要點(diǎn)歸納】一、正弦定理1．正弦定理內(nèi)容：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的的比相等。即：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)2．正弦定理的常用變形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)，eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)；(3)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)；(4)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(5)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(6)A<B?a<b?2RsinA<2RsinB?sinA<sinB.3．正弦定理的推廣：由正弦定理的推導(dǎo)過程可以得到如下面積公式：S△＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA．4．三角形的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r為內(nèi)切圓半徑)．二、解三角形1.解三角形：一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形．2．利用正弦定理可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問題(1)已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求其他兩邊和另一角；(2)已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其他的邊和角．3．討論三角形解的個(gè)數(shù)在△ABC中，已知a，b，A，以點(diǎn)C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，與除去頂點(diǎn)A的射線AB交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù)，其解的情況如下表：A<90°A≥90°a≥ba<ba>ba≤ba>bsinAa＝bsinAa<bsinA也可以如下判定：由“三角形中大邊對大角”可知，若a≥b，則A≥B，從而B為銳角，有一解；若a<b，則A<B，此時(shí)，由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)的值．①sinB>1，無解；②sinB＝1，一解；③sinB<1，兩解．4．在解三角形時(shí)，常用到以下結(jié)論：(1)在△ABC中，A>B?a>b?sinA>sinB；(即大邊對大角)．(2)a＋b>c，b＋c>a，a＋c>b；(即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊)(3)內(nèi)角和定理：A＋B＋C＝π；A＋B＝π－C，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)，coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).(4)在銳角△ABC中，A＋B>eq\f(π,2)?A>eq\f(π,2)－B?sinA>cosB?cosA<sinB.【夯實(shí)基礎(chǔ)練】1．(2022?重慶市第八中學(xué)高三(下)第一次調(diào)研檢測)《數(shù)書九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個(gè)問題，分為九類，每類九個(gè)問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九昭的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積"中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即，現(xiàn)在有周長為的滿足，則用以上給出的公式求得的面積為()A． B． C． D．12【解析】由題意結(jié)合正弦定理可得：，周長為，即，，，.所以，故選：A.【答案】A2．(2022?河北省衡水中學(xué)高三一模)設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則邊()A．2 B． C． D．1【解析】因?yàn)榍?，所以，．又，由正弦定理，得，即，解得．故選：D．【答案】D3．(2022?江西師大附中三模)滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世．如圖，小明同學(xué)為測量滕王閣的高度，在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們的地面上的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)測得樓頂A，滕王閣頂部C的仰角分別為和，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為，則小明估算滕王閣的高度為(

)(精確到)A． B． C． D．【解析】由題意得，在中，，在中，，，所以，由正弦定理，得，又，在中，.故選：D.【答案】D4．(2022?黑龍江省哈九中模擬)記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，,，則的值為(

)A． B． C． D．【解析】根據(jù)正弦定理得，得，所以.故選：C.【答案】C5．(2022?高考浙江卷)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．【解析】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?【答案】.6．(2022?重慶市第八中學(xué)高三第六次調(diào)研檢測)在中，已知，則_________.【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，故，所以?因?yàn)?，故，?則由正弦定理得，，，故答案為：.【答案】##0.57．(2022?黑龍江省鶴崗市第一中學(xué)高三(上)期末)已知函數(shù)．在中，角，，的對邊分別是，，且滿足，則的取值范圍是________．【解析】由及正弦定理，得，即，即，所以，即，所以，所以，所以．故答案為：.【答案】8．(2022?河北省衡水中學(xué)高三二模)在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，且，則___________.【解析】因?yàn)?，由正弦定理可得：，即，所以，在中，因?yàn)?，所以，即，所以，故答案為：【答案?．(2022?北京市北京大學(xué)附屬中學(xué)高三2月開學(xué)考試)在△ABC中，，，則AC的長為___________.【解析】因?yàn)?，所以，由正弦定理可知：，故答案為：【答案?0．(2022?山西省長治市第二中學(xué)高三(上)第三次練考)如圖，A是兩條平行直線之間的一個(gè)定點(diǎn)，且點(diǎn)A到直線的距離分別為．設(shè)△ABC的另兩個(gè)頂點(diǎn)C、B分別在上運(yùn)動，且滿足．(1)試判斷△ABC的形狀,并證明結(jié)論；(2)求的最大值．【解析】(1)由及正弦定理得..因?yàn)?，所以?于是.故△ABC為直角三角形，且.(2)設(shè).則.于是,在Rt△AMB中，；在Rt△ANC中，.故.從而，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.【答案】(1)；(2)11．(2022?河北省衡水中學(xué)高三一模)已知：中，角，，所對的邊分別為，，，且．(1)求角的大小及的值；(2)若，求的值．【解析】(1)中，由正弦定理，又由得，，所以，∵，∴．∴．(2)由及得，則，所以．【答案】(1)；(2)12．(2022?安徽省六安一中高三第四次月考)已知在中，角所對的邊分別為，且，.(1)求角的大??；(2)若，求的值.【解析】(1)因?yàn)?，所以，所以，而為三角形?nèi)角，所以，所以，∵是三角形內(nèi)角，∴.(2)∵，∴由正弦定理可得，可得，所以，