【教學】一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法第1課時問題引入問題1

汽車在行駛過程中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，一般稱這段距離為“剎車距”．剎車距s（單位：m）與車速弒單位：km/h）之間具有確定的函數關系，不同車型的剎車距函數不同．它是分析交通事故的一個重要依據．甲、乙兩輛汽車相向而行，由于突發(fā)情況，兩車相撞．交警在現場測得甲車的剎車距接近但未超過12m，乙車的剎車距剛剛超過10m．已知這兩輛汽車的剎車距函數如下：s甲＝0.01x2＋0.1x，s乙＝0.005x2＋0.05x，車速超過40km/h屬違章．試問：哪一輛車違章超速行駛？只需分別解出使不等式0.01x2＋0.1x≤12和0.005x2＋0.05x＞10成立的x的取值范圍，再確認兩車的行駛速度，就可以判斷哪一輛車違章超速行駛．問題引入追問1：不等式0.005x2＋0.05x＞10即0.005x2＋0.05x－10＞0，與我們學習過的一元一次不等式有什么不同？你能再舉出一些類似的不等式嗎？一般地，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式叫作一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式：ax2＋bx＋c＞0，并且二次項的系數a≠0．一元二次不等式形如ax2＋bx＋c＞0（a≠0），其中“＞”也可換成“≥”“＜”“≤”，使一元二次不等式成立的所有未知數的值組成的集合叫作這個一元二次不等式的解集．新知探究問題2

在初中，我們學習了從一次函數的觀點看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么這三個“一次”之間的關系是什么？新知探究問題3

類似地，能否從二次函數的觀點看一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函數y＝x2－2x－3為例．新知探究追問2：畫出函數y＝x2－2x－3的圖象，圖象與x軸有兩個交點，并在函數圖象上任取一點p（x，y）．當點p在拋物線上移動時，觀察：隨著點p的移動，它的縱坐標的符號怎樣變化？當點p移動到x軸上時，它的縱坐標等于0（即y＝0）；當點p移動到x軸上方時，它的縱坐標大于0（即y＞0）；當點p移動到x軸下方時，它的縱坐標小于0（即y＜0）．新知探究追問3：當點P的縱坐標y＝0時、y＞0時、y＜0時所對應的橫坐標x的取值范圍分別是什么？當y＝0時，即方程x2－2x－3＝0的解x1＝3，x2＝－1，并且x1＝3，x2＝－1也是二次函數y＝x2－2x－3的零點．當y＞0時，即不等式x2－2x－3＞0的解集是｛x｜x＜－1，或x＞3｝，當y＜0時，即不等式x2－2x－3＜0的解集是｛x｜－1＜x＜3｝．新知探究利用函數y＝x2－2x－3的圖象，可以求得不等式x2－2x－3＞0和x2－2x－3＜0的解集．新知探究追問4：問題1中的解答是什么？略．新知探究問題4

求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，是否可以推廣到一般的一元二次不等式？對于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）與相應的函數y＝ax2＋bx＋c（a＞0）之間是否也具有類似的關系？請你完成下表．Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的圖象ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集表1有兩個不相等的實數根x1，x2（x1＜x2）沒有實數根有兩個相等的實數根x1＝x2＝

新知探究問題4

求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，是否可以推廣到一般的一元二次不等式？對于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）與相應的函數y＝ax2＋bx＋c（a＞0）之間是否也具有類似的關系？請你完成下表．Δ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集表2｛x｜x＜x1或x＞x2｝

R｛x｜x1＜x＜x2｝新知探究解一元二次不等式的口訣：先看開口再看根，函數圖象是根本．橫軸上方y(tǒng)為正，根間根外想謹慎．新知探究一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解法思路：xyx1xyx1x2xy原不等式的解集為R原不等式的解集為（－∞，x1）∪（x2，＋∞）原不等式的解集為（－∞，x1）∪（x1，＋∞）ax2＋bx＋c＝0的根為x1，x2ax2＋bx＋c＝0的根為x1，x2，其中x1＜x2ax2＋bx＋c＝0無實數根ax2＋bx＋c＞0Δ＝b2－4acΔ＝0Δ＝0是否是否初步應用例1

求不等式9x2－6x＋1＞0的解集．函數y＝9x2－6x＋1，拋物線開口向上，所以不等式9x2－6x＋1＞0的解集為．

對應二次方程有兩個相等實根x1＝x2＝

，

初步應用例2

求不等式3x2＋5x－2＞0的解集．解法2：由3x2＋5x－2＝（x＋2）（3x－1），即（x＋2）（3x－1）＞0大于零解集是“兩根之外”，所以不等式解集為｛x｜x＜－2或x＞

｝．

解法1：對應拋物線開口向上，方程有兩個實根x1＝－2，x2＝

，

解得x＜－2或x＞

，

所以不等式解集為｛x｜x＜－2或x＞

｝．

初步應用追問5：二次項系數是負數（即a＜0）的不等式，如何求解？先把二次項系數化成正數，再求解．初步應用解一元二次不等式的一般步驟是：先把二次項系數化為正數；求判別式的值；求相應方程的實數根；結合函數圖象寫出一元二次不等式的解集．初步應用1已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為｛x｜x＜－3或x＞5｝，則ax2－bx＋c＜0的解集為____________________．追問6：如何利用“三個二次”的關系求解？能大致畫出不等式對應的函數的草圖嗎？初步應用1已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為｛x｜x＜－3或x＞5｝，則ax2－bx＋c＜0的解集為____________________．解析：根據題意可知a＜0．令ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

又∵a＜0，∴①化為x2＋2x－15＞0．由根與系數的關系得

初步應用1已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為｛x｜x＜－3或x＞5｝，則ax2－bx＋c＜0的解集為____________________．對于方程x2＋2x－15＝0，因為Δ＞0，所以它有兩個實數根，解得x1＝－5，x2＝3，畫出二次函數y＝x2＋2x－15的圖象（右圖），結合圖象得不等式x2＋2x－15＞0的解集為｛x｜x＞3或x＜－5｝．xy-53y＝x2＋2x－15｛x｜x＞3或x＜－5｝初步應用2已知關于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，當a為何值時，該方程：（1）有兩個不同的正根；（2）有不同的兩根且兩根在（1，3）內．解答：（1）由題意，關于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0有兩個不同的正根時，

得a＞2，所以a的范圍為（2，＋∞）．初步應用2已知關于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，當a為何值時，該方程：（1）有兩個不同的正根；（2）有不同的兩根且兩根在（1，3）內．（2）令f（x）＝x2－2ax＋a＋2，

即2＜a＜

時，方程x2－2ax＋a＋2＝0有不同的兩根且兩根在（1，3）內．

歸納小結解一元二次不等式關鍵點是從具體的實際問題入手，利用函數、方程與不等式的關系，結合相應的二次函數圖象，求一元二次不等式的解集．其中體現了數形結合、化歸及函數思想．問題4

這節(jié)課我們學習了解一元二次不等式，那么我們是如何去研究一元二次不等式解的過程的？在這個過程中體現了哪些數學方法和思想？歸納小結追問7：請簡單說明如何解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）？注意二次項系數的正負，如果是負的話先化成正的，然后求方程的解，再畫出函數圖象，最后觀察函數圖象得到不等式的解集．作業(yè)布置作業(yè)：教材第37頁1，2．1目標檢測AB．｛x｜2≤x≤3｝D．｛x｜x≥1或x≤－6｝不等式－x2－5x＋6≥0的解集為（）A．｛x｜－6≤x≤1｝C．｛x｜x≥3或x≤2｝解析：不等式－x2－5x＋6≥0可化為x2＋5x－6≤0，即（x＋6）（x－1）≤0，解得－6≤x≤1，∴不等式的解集為｛x｜－6≤x≤1｝．2目標檢測BB．（4a，－3a）D．（6a，2a）不等式x2－ax－12a2＜0（其中a＜0）的解集為（）A．（－3a，4a）C．（－3a，a）解析：∵x2－ax－12a2＝（x－4a）（x＋3a），其中a＜0，∴－3a＞4a．∴不等式的解集為（4a，－3a）．3目標檢測－14

若ax2＋bx＋2＞0的充要條件是

，則a＋b的值為________．解析：因為ax2＋bx＋2＞0的充要條件是

，

所以ax2＋bx＋2＝0的兩根為

和

，且a＜0．

所以

，且a＜0，解得a＝－12，b＝－2．∴a＋b＝－14．4目標檢測

解析：由題意，A＝｛x｜x＜a或x＞2a，a＞0｝，B＝｛x｜x≤－2或x≥3｝，∵x∈A是x∈B的必要不充分條件，即BA．已知A＝｛x｜x2－3ax＋2a2＞0，a＞0｝，B＝｛x｜x2－x－6≥0｝，若x∈A是x∈B的必要不充分條件，求實數a的取值范圍_________