第14講雙曲線（解析版）

第14講雙曲線【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.知識(shí)點(diǎn)詮釋：1．雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來(lái)理解；2．若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；3．若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；4．若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；5．若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識(shí)點(diǎn)二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程6．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；7．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線。當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上。知識(shí)點(diǎn)詮釋：8．當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。9．雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c＞a，c＞b，且c2=b2+a2。10．雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上。11．對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上。知識(shí)點(diǎn)三：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線（a＞0，b＞0）的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)范圍雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無(wú)限延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x≤-a或x≥a.對(duì)稱性對(duì)于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞0，b＞0），把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時(shí)換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線（a＞0，b＞0）是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為雙曲線的中心。頂點(diǎn)①雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)。②雙曲線（a＞0，b＞0）與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（-a，0），A2（a，0），頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。③兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)B1（0，-b），B2（0，b）為y軸上的兩個(gè)點(diǎn)，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)。①雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。②雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上。③實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線。離心率①雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作。②因?yàn)閏＞a＞0，所以雙曲線的離心率。由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開(kāi)口大小，越大，e也越大，雙曲線開(kāi)口就越開(kāi)闊。所以離心率可以用來(lái)表示雙曲線開(kāi)口的大小程度。③等軸雙曲線，所以離心率。漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2、A1作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個(gè)矩形（如圖），矩形的兩條對(duì)角線所在直線的方程是。我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無(wú)限接近，但永不相交。知識(shí)點(diǎn)四：雙曲線兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)軸實(shí)軸長(zhǎng)=，虛軸長(zhǎng)=離心率漸近線方程知識(shí)點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上。對(duì)于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上。知識(shí)點(diǎn)五：雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可。（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為.知識(shí)點(diǎn)六：雙曲線中a,b,c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：c＞b＞0，c＞a＞0，且c2=b2+a2。雙曲線，如圖：（1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng),焦距，（2）離心率：；（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；【題型歸納目錄】題型一：雙曲線的定義、條件題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三：雙曲線的綜合問(wèn)題題型四：軌跡方程題型五：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題型六：求雙曲線的離心率題型七：求雙曲線離心率的取值范圍題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍題型九：雙曲線中的范圍與最值問(wèn)題題型十：焦點(diǎn)三角形【典型題】題型一：雙曲線的定義、條件例1．（2022·上?！ね瑵?jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線一支 C．兩條射線 D．一條射線【答案】B【解析】【分析】根據(jù)表示的幾何意義，結(jié)合雙曲線定義，可判斷答案.【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)滿足,即動(dòng)點(diǎn),到定點(diǎn)距離減去到的距離，差等于4，即,且，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支，故選：B例2．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（文））平面上有兩個(gè)定點(diǎn)A，B及動(dòng)點(diǎn)P，命題甲：“是定值”，命題乙：“點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線”，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若，則點(diǎn)P的軌跡是一條射線，故甲推不出乙；若點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線，則或，其中，為雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，故不是定值，故乙推不出甲，故選：D.例3．（2022·廣西·欽州一中高二期中（文））已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，下列條件中滿足動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義即可求解.【詳解】解：由題意，因?yàn)?，所以由雙曲線的定義知，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故選：C.例4．（2022·廣東·深圳市羅湖外語(yǔ)學(xué)校高二階段練習(xí)）相距1400m的A，B兩個(gè)哨所，聽(tīng)到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3s，已知聲速是340m/s，則炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【答案】D【解析】【分析】由題意得到A，B兩個(gè)哨所的距離差為定值，小于A，B兩個(gè)哨所之間的距離，滿足雙曲線的定義，可解.【詳解】設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)為P，則，故炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡是雙曲線.故選：D.例5．（2022·四川省資陽(yáng)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試（文））已知定點(diǎn)，，M是上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為N，線段的中垂線與直線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．橢圓 C．圓 D．直線【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合圖分析點(diǎn)P到，的距離只差可知.【詳解】由題意及圖可知，，因?yàn)镺、M分別為的中點(diǎn)，所以，所以故點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線.故選：A例6．（2022·四川·自貢成外高級(jí)中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)（文））當(dāng)時(shí)，方程所表示的曲線是（

）A．焦點(diǎn)在軸的橢圓 B．焦點(diǎn)在軸的雙曲線C．焦點(diǎn)在軸的橢圓 D．焦點(diǎn)在軸的雙曲線【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)方程，然后判斷表示的曲線即可．【詳解】當(dāng)ab＜0時(shí)，方程化簡(jiǎn)得，∴方程表示雙曲線．焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上；故選：D．例7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）方程，若兩實(shí)數(shù)異號(hào)，則它的圖像是（

）．A．圓，且圓心在軸上 B．橢圓，且焦點(diǎn)在軸上C．雙曲線，且焦點(diǎn)在軸上 D．雙曲線，且焦點(diǎn)在軸上【答案】D【解析】【分析】把變形為即可得到答案.【詳解】解：因?yàn)楫愄?hào)，所以，.方程變形為：，進(jìn)而變形為：.此方程是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓和雙曲線的辨析，屬于基礎(chǔ)題.例8．（2021·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）雙曲線的離心率大于的充分必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由方程確定，求出后得離心率，列不等式可得范圍．【詳解】由題意雙曲線的離心率為，，．故選：C．例9．（2021·西藏·拉薩中學(xué)高二階段練習(xí)）已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列結(jié)論不正確的是（

）A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為C．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±xD．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線【答案】B【解析】【分析】就不同的取值結(jié)合曲線方程的形式逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，當(dāng)m＞n＞0時(shí)，有，方程化為，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，由m＝n＞0，方程變形為，該方程表示半徑為的圓，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由mn＜0知曲線表示雙曲線，其漸近線方程為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)m＝0，n＞0時(shí)，方程變?yōu)閚y2＝1表示兩條直線，故D正確．故選：B.例10．（2021·安徽·六安一中高二期中）若，則和所表示的曲線只可能是下圖中的（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】分別討論，、，、，三種情況時(shí)和所表示的曲線，結(jié)合排除法即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，?dāng)，時(shí)，不表示任何曲線，當(dāng)，時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，直線表示過(guò)第一、三、四的直線，故選項(xiàng)D正確；當(dāng)，時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，直線表示過(guò)第一、二、四的直線，故選項(xiàng)B不正確；當(dāng)，時(shí)，表示橢圓，直線表示過(guò)第一、二、三的直線，故選項(xiàng)A、C不正確；故選：D.例11．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線特征，直接判斷選項(xiàng).【詳解】A是橢圓的圖象，B是圓的圖象，C是直線的圖象，D是雙曲線的圖象.故選：D題型二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例12．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上一點(diǎn)與，的距離差的絕對(duì)值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出a,b即可求得答案.【詳解】由題意，，則，結(jié)合條件可知，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.例13．（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高二階段練習(xí)）與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線的定義可求得的值，再由可求得的值，結(jié)合雙曲線的焦點(diǎn)位置可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由雙曲線的定義可得，，，，因此，雙曲線的方程為.故選：C.例14．（2022·廣東汕尾·高二期末）中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為，實(shí)軸長(zhǎng)為2，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，求出，的值，結(jié)合雙曲線的方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)雙曲線的方程為．由已知得：，，再由，，雙曲線的方程為：．故選：D．例15．（2022·全國(guó)·高二期末）已知雙曲線的一條漸近線為，一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)列出方程組得出標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)闈u近線為，所以，解得即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：例16．（2022·上海市寶山中學(xué)高二期中）若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，實(shí)軸長(zhǎng)為6，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______.【答案】【解析】【分析】求得，由此求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由于雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，實(shí)軸長(zhǎng)，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故答案為：例17．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，且以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為16，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得，再根據(jù)雙曲線的焦距可得，再求出，即可得解.【詳解】解：橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，則橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，由題意雙曲線的焦距，則，所以，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.例18．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知焦點(diǎn)?，雙曲線上的一點(diǎn)P到?的距離差的絕對(duì)值等于6，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，從而解得其標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)為?，故可設(shè)其方程為，且，根據(jù)雙曲線的定義，由題可得：，即，故，則所求所曲線方程為：.故答案為：.例19．（2022·江蘇·高二）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出雙曲線方程，再利用待定系數(shù)法求解作答.【詳解】設(shè)雙曲線方程為，依題意有，解得，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：例20．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上并求出焦點(diǎn)，由此可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)代入，即可求出結(jié)果.【詳解】∵橢圓的焦點(diǎn)為，∴所求雙曲線的焦點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程為，把代入，得，解得或（舍），∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：.例21．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程.【答案】【解析】【詳解】橢圓∴a2＝25，b2＝16，c2＝25－16＝9且橢圓焦點(diǎn)在y軸上∴雙曲線的焦距是2×5＝10，實(shí)軸長(zhǎng)為2×3＝6，虛軸長(zhǎng)為8即a＝3，b＝4，c＝5∵焦點(diǎn)在y軸上∴雙曲線方程為：例22．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，，焦點(diǎn)在x軸上；(2)焦點(diǎn)為?，經(jīng)過(guò)點(diǎn).【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法去求滿足條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）待定系數(shù)法去求滿足條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)由題設(shè)知，，，由，得.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)由已知得，且焦點(diǎn)在y軸上.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以點(diǎn)A與兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)2a，即，則，.因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.例23．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)為，，且雙曲線上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差為2；(2)焦點(diǎn)在y軸上，焦距為10，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】（1）設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)，結(jié)合雙曲線定義，即可求得結(jié)果；（2）設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)，即可求得結(jié)果；（3）設(shè)出雙曲線方程，待定系數(shù)，即可求得雙曲線方程.(1)因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)方程為：，又焦點(diǎn)為，，故可得，又雙曲線上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差為2，即，則，又.故雙曲線方程為：.(2)因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)雙曲線方程為，又其焦距為10，故可得；又該雙曲線過(guò)點(diǎn)，則，故，故雙曲線方程為：.(3)不妨設(shè)雙曲線方程為：，因其過(guò)點(diǎn)，，故可得，聯(lián)立方程組可得：，故所求雙曲線方程為：.例24．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦距為6，頂點(diǎn)為，；(2)頂點(diǎn)為，，虛軸長(zhǎng)為2；(3)實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）設(shè)雙曲線方程，由題意可求得，繼而求得，可得答案；（2）設(shè)雙曲線方程，由題意可求得，可得答案；（3）設(shè)雙曲線方程，由題意可求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程中，求得，可得答案；(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，故，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，故，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(3)若設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，即，將代入雙曲線方程，得：，故，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，即，將代入雙曲線方程，得：，解得，不合題意，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；例25．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】【解析】【分析】設(shè)出所求雙曲線的方程，待定系數(shù)即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所求雙曲線方程為：，因?yàn)槠溥^(guò)點(diǎn)，故可得：，整理得，即，解得（舍）或，故所求雙曲線方程為：.題型三：雙曲線的綜合問(wèn)題例26．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知條件畫出曲線，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】曲線由三段曲線組成，分別是：雙曲線?圓?雙曲線，其中是那兩段雙曲線的漸近線，曲線如下圖所示，，其中代表曲線C上任一點(diǎn)到直線的距離，距離的最大值即為圓的半徑，雙曲線無(wú)限趨近于漸近線，由此可知距離，故的取值范圍為，故選：.例27．（2022·新疆·烏魯木齊101中學(xué)高二期中（文））設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A．6 B．12 C． D．【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線定義結(jié)合已知求出及，再求出焦距即可計(jì)算作答.【詳解】雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，因此，，因，由雙曲線定義得，解得，，顯然有，即是直角三角形，所以的面積.故選：A例28．（2022·河南·舞陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)到該雙曲線漸近線的距離為1，點(diǎn)P在雙曲線上，且，則的面積為（

）A． B．4 C．2 D．【答案】D【解析】【分析】先求出雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離結(jié)合條件求出，然后由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得出，由條件求出,，結(jié)合三角形的面積公式可得出答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)到該雙曲線漸近線的距離為1，所以．由題意，則

（1）由余弦定理可得（2）將（1）代入（2）可得．因?yàn)?，所以，，所以，故的面積為．故：D例29．（2022·江西撫州·高二階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)和是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為H，且，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】不妨取雙曲線的一條漸近線為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，再求出的方程，聯(lián)立求出的坐標(biāo)，即可得到，再根據(jù)，即可求出漸近線方程；【詳解】解：依題意不妨取雙曲線的一條漸近線為，，，所以到直線的距離，又的斜率為，所以的方程為，由，解得，即，所以，因?yàn)椋?，即，即，又，所以，所以漸近線方程為；故選：B例30．（2022·四川·射洪中學(xué)高二期中）直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用“點(diǎn)差法”求出l的斜率，再驗(yàn)證作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)锳B的中點(diǎn)，則有，又點(diǎn)A，B在雙曲線上，則，即，則l的斜率，此時(shí)，直線l的方程：，由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以l的斜率為2.故選：C例31．（2022·江西撫州·高二階段練習(xí)（文））雙曲線的焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果【詳解】由，得，漸近線方程為，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨取雙曲線的右焦點(diǎn)，一條漸近線方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故選：C例32．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線是其左右焦點(diǎn).圓，點(diǎn)P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線定義，將的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最小值問(wèn)題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】由題設(shè)知，，，，圓的半徑由點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)知，∴∴.故選：A題型四：軌跡方程例33．（2022·河南洛陽(yáng)·高二期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖可得：為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，從而寫出其方程即得．【詳解】解：如圖設(shè)與圓的切點(diǎn)分別為、、，則有，，，所以．根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即、，又，所以，所以方程為．故選：A．例34．（2022·河南·高二階段練習(xí)（理））已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程（

）A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1C．x2－＝1(x1) D．－x2＝1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義求解【詳解】,則根據(jù)雙曲線定義知的軌跡為的左半支故選：A例35．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（文））一動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)，且與已知圓：相切，則動(dòng)圓的軌跡方程是（

）A．（） B．（）C． D．【答案】D【解析】【分析】結(jié)合圓相切時(shí)滿足的條件以及雙曲線的定義即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意知，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為4．動(dòng)圓與圓相切有兩種情況，即內(nèi)切或外切，所以，所以，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)4，所以點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，所以，，所以，所以動(dòng)圓的軌跡方程是．故選：D.例36．（2022·河北邢臺(tái)·高二期末）設(shè)，，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_____，P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)_____．【答案】

l【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，從而求出到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值；【詳解】解：因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的下支．因?yàn)椋?，所以，，，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．故P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為．故答案為：；；例37．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡方程是___________.【答案】【解析】【分析】直接由定義判斷出M的軌跡是雙曲線，再由待定系數(shù)法求方程即可.【詳解】由題意知：，，故M的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，由可得，故點(diǎn)M的軌跡方程是.故答案為：.例38．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）斜率為2的平行直線截雙曲線所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程是______．【答案】(或).【解析】【分析】設(shè)直線為聯(lián)立雙曲線，根據(jù)交點(diǎn)情況有求m范圍，再應(yīng)用韋達(dá)定理求出弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定其軌跡方程，注意范圍.【詳解】設(shè)直線為，與雙曲線交點(diǎn)為，聯(lián)立雙曲線可得：，則，即或，所以，故，則弦中點(diǎn)為，所以弦的中點(diǎn)的軌跡方程為(或).故答案為：(或)例39．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若動(dòng)圓與兩定圓及都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是___________.【答案】【解析】【分析】求出兩個(gè)圓的圓心和半徑，設(shè)動(dòng)圓圓心為的半徑為，，結(jié)合雙曲線的定義即可求解.【詳解】設(shè)圓為可得圓心，半徑，設(shè)圓為可得圓心，半徑，且，設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓同時(shí)與圓外切和圓外切，所以，，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，所以，，，所以動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為：.故答案為：.例40．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期末）已知圓：和圓：，動(dòng)圓M同時(shí)與圓及圓外切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓外切，即可得到幾何關(guān)系，再結(jié)合雙曲線的定義可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由題，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為,當(dāng)動(dòng)圓與圓，圓外切時(shí),,,所以,因?yàn)閳A心,，即，又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線的上支，其中，，所以,則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是；故答案為：例41．（2022·遼寧遼陽(yáng)·高二期末）設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡是焦點(diǎn)為A，B，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的上支．因?yàn)椋?，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為．故答案為：.例42．（2022·四川樂(lè)山·高二期末（理））從雙曲線上一點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，則線段中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)__________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，進(jìn)而根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)P在已知雙曲線上求得答案.【詳解】由題意，設(shè)，則，則，即，因?yàn)?，則，即的軌跡方程為.例43．（2022·江蘇·高二）已知，，若點(diǎn)滿足，則P點(diǎn)的軌跡是什么，并求點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】當(dāng)時(shí)，軌跡是直線，軌跡方程為：；當(dāng)時(shí)，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，軌跡是射線，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在.【解析】【分析】分，，和，由分別求軌跡方程即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，易知，即點(diǎn)在的垂直平分線上，故P點(diǎn)的軌跡是直線，軌跡方程為：；當(dāng)時(shí)，由，知P點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)雙曲線方程為，又知，故軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，由知P點(diǎn)的軌跡是射線，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，顯然滿足的點(diǎn)不存在.綜上：當(dāng)時(shí)，軌跡是直線，軌跡方程為：；當(dāng)時(shí)，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，軌跡是射線，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在.例44．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足直線PA和直線PB的斜率之積為1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并指出其軌跡的圖形.【答案】軌跡方程為，軌跡圖形為雙曲線（除去兩個(gè)頂點(diǎn)）【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)斜率的乘積可得軌跡方程及圖形.【詳解】設(shè)，則，其中.故即，軌跡圖形為雙曲線（除去兩個(gè)頂點(diǎn)）.例45．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到定直線l：x＝的距離之比是常數(shù)(c>a>0)，求點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)題意知點(diǎn)M到定點(diǎn)和定直線的距離之比是常數(shù)，所以，即(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．令c2－a2＝b2，得．因此，點(diǎn)M的軌跡方程為．例46．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求下列動(dòng)圓的圓心的軌跡方程：(1)與圓和圓都內(nèi)切；(2)與圓內(nèi)切，且與圓外切．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）分析可知圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為上、下焦點(diǎn)的雙曲線的下支，求出、的值，可得出圓心的軌跡方程；（2）分析可知圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的左支，求出、的值，可得出圓心的軌跡方程.(1)解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，則圓與圓外離，設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，，所以，圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為上、下焦點(diǎn)的雙曲線的下支，設(shè)圓心的軌跡方程為，由題意可得，則，，因此，圓心的軌跡方程為.(2)解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，則圓與圓外離，設(shè)圓的半徑為，由題意可得，所以，，所以，圓心的軌跡是以點(diǎn)、分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的左支，設(shè)圓心的軌跡方程為，由題意可得，則，，因此，圓心的軌跡方程為.例47．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，B(－3，0)，C(3，0)，直線AB，AC的斜率之積為求頂點(diǎn)A的軌跡方程．【答案】．【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的斜率乘積列方程，化簡(jiǎn)求得的軌跡方程.【詳解】設(shè)A(x，y)，則，根據(jù)題意有，化簡(jiǎn)得∴頂點(diǎn)A的軌跡方程為．例48．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知定圓和的半徑分別為1和2，，動(dòng)圓M與圓內(nèi)切，且與圓外切．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是何種曲線．【答案】，點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支.【解析】【分析】以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得到（常數(shù)），結(jié)合雙曲線的定義，即可求解.【詳解】由題意，定圓和的半徑分別為1和2，且，以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閯?dòng)圓M與圓內(nèi)切，且與圓外切，則滿足，所以（常數(shù)）且，根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線的一支，且，可得，所以，所以所求軌跡方程為，即點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支.例49．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如果過(guò)點(diǎn)的直線與過(guò)點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)M，而且兩直線斜率的乘積為a，其中．(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)討論M的軌跡是何種曲線．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意，列出方程，化簡(jiǎn)即可得答案.（2）分別分析、、和時(shí)方程的性質(zhì)，分析即可得答案.(1)由題意得兩直線斜率存在，且都不為0，設(shè)點(diǎn)，則，整理得：點(diǎn)M的軌跡方程為(2)由（1）可得點(diǎn)M的軌跡方程為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程為焦點(diǎn)在x軸，實(shí)軸為12，虛軸為的雙曲線，且；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程為焦點(diǎn)在x軸，長(zhǎng)軸為12，短軸為的橢圓，且；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程為焦點(diǎn)在y軸，長(zhǎng)軸為12，短軸為的橢圓，且；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程為以原點(diǎn)為圓心，半徑為6的圓，且.例50．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）雙曲線，?為其左右焦點(diǎn)，是以為圓心且過(guò)原點(diǎn)的圓.(1)求的軌跡方程；(2)動(dòng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，滿足，求的軌跡方程.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由雙曲線的右焦點(diǎn)作為圓心，以半焦距為半徑的圓，可以直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.（2）求解軌跡方程求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，設(shè)，用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，帶入方程即可得到答案.(1)由已知得，，故，所以?，因?yàn)槭且詾閳A心且過(guò)原點(diǎn)的圓，故圓心為，半徑為4，所以的軌跡方程為；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，則，，由，得，，，即，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，代入得，化簡(jiǎn)得.題型五：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例51．（2022·江西撫州·高二階段練習(xí)（文））雙曲線的焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線的方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果【詳解】由，得，漸近線方程為，由雙曲線的對(duì)稱性，不妨取雙曲線的右焦點(diǎn)，一條漸近線方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故選：C例52．（2022·上海理工大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）雙曲線與雙曲線具有共同的（

）A．實(shí)軸 B．虛軸 C．焦點(diǎn) D．漸近線【答案】D【解析】【分析】求出兩雙曲線的實(shí)軸、虛軸的位置，以及焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】雙曲線的實(shí)軸在軸上，虛軸在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，雙曲線的實(shí)軸在軸上，虛軸在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，因此，雙曲線與雙曲線具有共同的漸近線.故選：D.例53．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線方程下列說(shuō)法中正確的有（

）A．焦點(diǎn)坐標(biāo)B．該雙曲線的圖象過(guò)點(diǎn)C．焦距為10D．雙曲線上存在點(diǎn)P，使得且【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】易知焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸上，由，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；由上知，焦距為，C正確；若，則重合，顯然不在雙曲線上，D錯(cuò)誤.故選：C.例54．（2022·江蘇·高二）設(shè)表示雙曲線，則該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為（

）.A． B．2k C． D．【答案】C【解析】【分析】先整理雙曲線方程，得到，，從而求出雙曲線的虛軸長(zhǎng).【詳解】整理為：，由題意得：，故焦點(diǎn)在軸上，，所以，該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為故選：C例55．（2022·河南·舞陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的一條漸近線的斜率可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)求解【詳解】雙曲線的漸近線為，而雙曲線的離心率為，所以，即，得，故選：D例56．（2022·江蘇·高二）雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由雙曲線方程可判斷雙曲線的焦點(diǎn)位置并同時(shí)求出，，由此可求其漸近線方程.【詳解】由雙曲線得，所以漸近線方程為，故選：B例57．（多選題）（2022·福建廈門·高二期末）曲線，則（

）A．C上的點(diǎn)滿足， B．C關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱C．C與x軸、y軸共有3個(gè)公共點(diǎn) D．C與直線只有1個(gè)公共點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】去掉絕對(duì)值即可根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)判斷.【詳解】表示橢圓在x軸上方的部分，表示雙曲線在x軸下方的部分，作出圖象：雙曲線的一條漸近線為，故選項(xiàng)ACD正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：ACD.例58．（多選題）（2022·廣東茂名·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知雙曲線，則（

）A．實(shí)軸長(zhǎng)為B．漸近線方程為C．離心率為2D．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求出，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由，得，則，對(duì)于A，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由，得，所以漸近線方程為，所以B正確，對(duì)于C，雙曲線的離心率為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，雙曲線的右焦點(diǎn)為，則直線的方程為，設(shè)，將代入得，，所以，所以，所以D正確，故選：BD例59．（2022·北京市第五中學(xué)高二期中）雙曲線的一條漸近線方程為，則______________，雙曲線的焦距為_(kāi)____________．【答案】

4【解析】【分析】先由漸近線方程求出，即可求出焦距.【詳解】雙曲線的漸近線方程為.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，所以.所以焦距.故答案為：；4例60．（2022·江蘇·高二）雙曲線=1的右焦點(diǎn)F到其中一條漸近線的距離為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式直接求解即可.【詳解】由題意可知：，所以右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，該雙曲線的一條漸近線的方程為：，所以F到一條漸近線的距離為：，故答案為：.例61．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線的焦距是______．【答案】【解析】【分析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則，所以，則，所以焦距是，故答案為：例62．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線上，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意和雙曲線的對(duì)稱性，得到點(diǎn)和在雙曲線上，代入即可求解.【詳解】由題意，三個(gè)點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線上，因?yàn)殡p曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)和在雙曲線上，可得，解得.故答案為：.例63．（2022·湖北省羅田縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F，若三角形ABF的面積為，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】由題意可得AB為直徑的圓的方程為，圓也過(guò)左焦點(diǎn)，四邊形為矩形，然后由雙曲線的定義可得，由勾股定理可得，再由三角形ABF的面積為，可得，三式相結(jié)合可求得，從而可得，進(jìn)而可求得漸近線方程【詳解】因?yàn)橐訟B為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F，所以AB為直徑的圓的方程為，圓也過(guò)左焦點(diǎn)，因?yàn)榕c相等且平分，所以四邊形為矩形，所以，設(shè)，則，所以，因?yàn)樗?，因?yàn)槿切蜛BF的面積為，所以，得所以，得，所以，所以，得，所以雙曲線的漸近線方程為，故答案為：例64．（2022·河南·濮陽(yáng)一高高二期中（理））若雙曲線C的方程為，記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)為A，B．弦PQ⊥x軸，記直線PA與直線QB交點(diǎn)為M，其軌跡為曲線T，則曲線T的離心率為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)P（，）、M（x，y），根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程表示出直線PA、QB的方程，整理兩直線方程可得，結(jié)合點(diǎn)P（，）在雙曲線上可得，進(jìn)而得出曲線的方程，即可求出離心率.【詳解】設(shè)P（，），則Q（，-），設(shè)點(diǎn)M（x，y），又A（-2，0），B（2，0），所以直線PA的方程為①，直線QB的方程為②．由①得，由②得，上述兩個(gè)等式相乘可得，∵P（，）在雙曲線上，∴，可得，∴∴，化簡(jiǎn)可得，即曲線的方程為，其離心率為，故答案為：.例65．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線的漸近線方程為，則__________．【答案】【解析】【分析】首先可得，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到、，再跟漸近線方程得到方程，解得即可；【詳解】解：對(duì)于雙曲線，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：例66．（2022·上海市崇明中學(xué)高二期中）與雙曲線有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出所求雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法求解作答.【詳解】依題意，設(shè)雙曲線方程為：，于是得，則有，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：例67．（2022·全國(guó)·高二期末）與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)得漸近線為，設(shè)所求雙曲線為，，將已知點(diǎn)代入求參數(shù)，即可得雙曲線方程.【詳解】由題設(shè)，漸近線方程為，令所求雙曲線方程為，，又在雙曲線上，則.所求雙曲線方程為故答案為：例68．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率和漸近線方程：(1)；(2)．【答案】(1)雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，漸近線方程為(2)實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，漸近線方程為【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程寫出，根據(jù)實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率和漸近線方程的定義和公式，求解即可(1)由題意，雙曲線方程為，故故雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為：虛軸長(zhǎng)為：頂點(diǎn)坐標(biāo)為：離心率為：漸近線方程：故雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，漸近線方程為(2)由題意，雙曲線方程為，故故雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為：虛軸長(zhǎng)為：頂點(diǎn)坐標(biāo)為：離心率為：漸近線方程：故雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，漸近線方程為題型六：求雙曲線的離心率例69．（2022·江蘇·高二）若雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出的值，利用橢圓的離心率公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線、橢圓的焦距分別為、，離心率分別為、，則，可得，所以，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則.故選：C.例70．（2022·江蘇·高二）若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的離心率，可得，的關(guān)系，然后求解雙曲線的離心率即可．【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，解得，則雙曲線的離心率為.故選：C．例71．（2022·江蘇·高二）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一條漸近線過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線方程，結(jié)合離心率與的關(guān)系求解即可【詳解】由題意可知，此雙曲線的漸近線方程為，則漸近線過(guò)點(diǎn)，即，，所以.故選：B.例72．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線C的頂點(diǎn)為，，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，且是一個(gè)等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】【分析】利用題給條件得到關(guān)于的關(guān)系式，即可求得雙曲線C的離心率【詳解】由是一個(gè)等邊三角形，可得即，則有，即則雙曲線C的離心率故選：A例73．（2022·江西·上高二中模擬預(yù)測(cè)（理））已知雙曲線()的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】延長(zhǎng)到且，延長(zhǎng)到且，結(jié)合向量的線性關(guān)系知是△的重心，根據(jù)重心和內(nèi)心的性質(zhì)，進(jìn)而得到，由雙曲線定義得到齊次方程，即可求離心率.【詳解】如下圖示，延長(zhǎng)到且，延長(zhǎng)到且，所以，即，故是△的重心，即，又，所以，而是的內(nèi)心，則，由，則，故，即.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量的線性關(guān)系構(gòu)造重心，結(jié)合重心和內(nèi)心的性質(zhì)得到，再根據(jù)雙曲線定義得到雙曲線參數(shù)的齊次方程.例74．（2022·四川·成都七中高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，且，則此雙曲線的離心率為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出圓心到漸近線的距離為，再解方程即得解.【詳解】解：由題意可知雙曲線的一漸近線方程為,圓的半徑為，圓心到漸近線的距離為，即雙曲線的離心率為.故選：D例75．（2022·山西·懷仁市大地學(xué)校高中部高二階段練習(xí)）雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線C的一條漸近線與以為直徑的圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)O），與過(guò)F且垂直于軸的直線交于，若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．3 C．5 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用直角三角形，漸近線的斜率，三角形的面積關(guān)系可得關(guān)于的方程，化簡(jiǎn)即可得出雙曲線的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，由題意知，又，，所以，若，則，即，在中，由勾股定理可得，又，可得，所以，化簡(jiǎn)可得，即，所以，故選：A例76．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)作平行于其中一條漸近線的直線交雙曲線于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，結(jié)合雙曲線定義可求得為雙曲線的右頂點(diǎn)，設(shè)，則，利用二倍角正切公式可構(gòu)造關(guān)于的齊次方程，解方程即可求得離心率.【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，且與三邊相切于點(diǎn)，，，，由雙曲線定義知：，，又，，，為雙曲線的右頂點(diǎn)，即的橫坐標(biāo)為，又的內(nèi)切圓半徑為，，設(shè)，則，，，，整理可得：，，解得：或，又，.故選：C.例77．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，，線段與雙曲線的左支相交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義及勾股定理計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)，，雙曲線的焦距為，由雙曲線的定義可知，，在中有，可得，解得，所以，，在中，可得，解得，所以離心率；故選：C例78．（2022·河南洛陽(yáng)·高二階段練習(xí)（文））橢圓:=1（）的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，為短軸的端點(diǎn)，當(dāng)丄時(shí)，橢圓的離心率為，我們稱此類橢圓為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由可得，得，化簡(jiǎn)可得，可以變形為，結(jié)合可求得答案【詳解】因?yàn)閬A，所以在中，，因?yàn)椋?，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，故選：B例79．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，雙曲線的焦點(diǎn)為，，若四邊形是正方形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)得到，，根據(jù)正方形得到等量關(guān)系，求出，從而求出離心率.【詳解】，，因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，解得：，所以該橢圓的離心率.故選：C例80．（2022·北京市第十二中學(xué)高二期中）已知橢圓與雙曲線焦點(diǎn)重合，該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由雙曲線關(guān)系列式求解，從而得離心率.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦半距為，在雙曲線中，，所以，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：A例81．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線，分別交軸和雙曲線右支于點(diǎn)，，且，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】由推出為的中點(diǎn)，從而可得，軸，求出，結(jié)合可得到關(guān)于a,b,c的齊次式，進(jìn)而求得離心率.【詳解】由可得，，即，則為的中點(diǎn)，由于O為的中點(diǎn)，故，故軸，將代入中得：，故，因?yàn)橹本€的斜率為，故,所以，即，故（負(fù)值舍去），故，故選：D例82．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用點(diǎn)差法即可．【詳解】由F、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)得直線l的斜率．∵雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)為(-2，0)，∴c=2．設(shè)雙曲線C的方程為，則．設(shè)，，則，，．由，得，即，∴，易得，，，∴雙曲線C的離心率．故選：B．例83．（2022·廣東·潮州市綿德中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線C：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線的左焦點(diǎn)，若的右支上存在一點(diǎn)，使得外接圓的半徑為，且四邊形為菱形，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，易證為直角三角形，解出與代離心率的計(jì)算公式即可求解【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接因?yàn)橥饨訄A的半徑為，則又四邊形為菱形，所以則為正三角形，所以，因?yàn)?，所以，又所以為正三角形，所以，所以在中，，，所以所以故選：B例84．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高二期末（理））已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線的定義得到，設(shè)，進(jìn)而作，得出，由此求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)椋?，即所以，由雙曲線的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B．例85．（2022·甘肅·永昌縣第一高級(jí)中學(xué)高二期中（文））已知雙曲線（a>0，b>0）的一條漸近線方程為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由漸近線方程得，再化為即得．【詳解】一條漸近線方程為，則，所以．故選：B．題型七：求雙曲線離心率的取值范圍例86．（2022·河南·林州一中高二期中（文））若直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】由直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)可得，然后即可求出的范圍【詳解】雙曲線的一條漸近線為，因?yàn)橹本€與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，故有，即，，所以，所以.所以的范圍為故選：A例87．（2022·河南·高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，若C的右支上的任意一點(diǎn)M滿足，則C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，，轉(zhuǎn)化為，即，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，轉(zhuǎn)化為不等式，最后求離心率的范圍.【詳解】由已知可得，若，即，右支上的點(diǎn)均滿足，只需的最小值滿足即可，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最小，此時(shí)，故，即,,或，即或，可得或，解得或雙曲線的離心率的取值范圍為.故選：D例88．（2022·江西贛州·高二階段練習(xí)（文））圓上有四個(gè)點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則雙曲線E的離心率的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】易得雙曲線的一條漸近線為和圓的圓心，半徑為5，根據(jù)圓C上有四個(gè)點(diǎn)到的距離為2，由圓心到的距離求解.【詳解】雙曲線的一條漸近線為，圓，圓心，半徑為5，因?yàn)閳AC上有四個(gè)點(diǎn)到的距離為2，所以圓心到的距離，即，而，所以，即．故選：C例89．（2022·河北·臨城中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的焦距大于，則該雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出的范圍，結(jié)合離心率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，即．又，且，所以，則．故選：B.例90．（2022·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于A，兩點(diǎn)，若雙曲線的對(duì)稱中心不在以線段為直徑的圓內(nèi)部，則雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】將代入雙曲線方程，求得，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱中心不在以線段為直徑的圓內(nèi)部，可得，得出的齊次式，從而可得出答案.【詳解】將代入雙曲線方程得，所以，因?yàn)殡p曲線的對(duì)稱中心不在以線段為直徑的圓內(nèi)部，所以，即，即，所以，從而，解得，又因?yàn)殡p曲線離心率，所以，所以雙曲線離心率的取值范圍為.故選：B.例91．（2022·湖南邵陽(yáng)·高二期末）設(shè)為雙曲線與橢圓的公共的左右焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率范圍為，則雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得到兩圖形離心率之間的關(guān)系，再根據(jù)橢圓的離心率范圍可得雙曲線的離心率取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，則有已知，兩式相減得，即，，因?yàn)?，解得故選：A.例92．（2022·廣東廣州·高二期末）已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)A，且A在第三象限，四邊形為平行四邊形，為直線的傾斜角，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，從而由可知軸，所以在直角三角形中，，由，可得的范圍，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，的不等式，結(jié)合可得離心率的取值范圍．【詳解】解：因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)，且在第三象限，四邊形為平行四邊形，所以由雙曲線的對(duì)稱性可知也在雙曲線的漸近線上，且在第一象限，由軸，可知軸，所以，在直角三角形中，，因?yàn)?，所以，，即，所以，即，即，故，所?故選：B．例93．（多選題）（2022·江蘇·高二）已知雙曲線，則（

）A．雙曲線的焦點(diǎn)在軸上B．雙曲線的焦距等于C．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于D．雙曲線的離心率的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可得答案.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)?，所以，，所以雙曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：由A知，所以，所以，所以雙曲線的焦距等于，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：設(shè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則漸近線方程為，即，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離，所以雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：雙曲線的離心率，因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.例94．（2022·黑龍江·大慶外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）已知直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】聯(lián)立直線得，由無(wú)公共點(diǎn)得，進(jìn)而得，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無(wú)解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.例95．（2022·廣西·昭平中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作軸的垂線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】表達(dá)出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量數(shù)量積列出不等式，求出離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，不妨設(shè)，則，即，不等式兩邊同除以得：，解得：故答案為：例96．（2022·云南·會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)?，曲線和在第一象限相交于點(diǎn)P.且，若橢圓的離心率的取值范圍是，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由橢圓、雙曲線的定義可得，，由余弦定理可建立方程，轉(zhuǎn)化為離心率的關(guān)系式，根據(jù)橢圓離心率范圍，計(jì)算即可得到雙曲線離心率范圍.【詳解】設(shè)橢圓，雙曲線：，橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓離心率，雙曲線離心率，，如圖，由橢圓定義可得：，由雙曲線定義可得：，聯(lián)立可得，，由余弦定理可得：即，解得，因?yàn)?，所以，，可得，故，故答案為：?7．（2022·河南鄭州·高二期末（文））若點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，則P滿足性質(zhì)：點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為離心率e，若C的右支上存在點(diǎn)Q，使得Q到左焦點(diǎn)的距離等于它到直線的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】若Q到的距離為有，由題設(shè)有，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)，即可求離心率的范圍.【詳解】由題意，，即，整理有，所以或，若Q到的距離為，則Q到左、右焦點(diǎn)的距離分別為、，又Q在C的右支上，所以，則，又，綜上，雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若Q到的距離為，根據(jù)給定性質(zhì)有Q到左、右焦點(diǎn)的距離分別為、，再由雙曲線性質(zhì)及已知條件列不等式組求離心率范圍.例98．（2022·廣西·賓陽(yáng)中學(xué)高二期末（文））已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)和，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，則的取值范圍是______．【答案】．【解析】【分析】設(shè)出半焦距c，用表示出橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，由可得為直角三角形，由此建立關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對(duì)稱性知，不妨令焦點(diǎn)和在x軸上，點(diǎn)P在y軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點(diǎn)，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：例99．（2022·四川·自貢成外高級(jí)中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)（文））雙曲線與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，利用根的判別式得到的取值范圍，進(jìn)而求出離心率的取值范圍.【詳解】由，消去，得到，由題意知，，解得：.所以，所以.故答案為：.例100．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，若在其漸近線上存在一點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，設(shè)線段交雙曲線的右支于點(diǎn)，利用雙曲線的定義結(jié)合三角形三邊關(guān)系推導(dǎo)出，結(jié)合雙曲線的離心率公式可求得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，設(shè)線段交雙曲線的右支于點(diǎn)，則，即，故.故答案為：.例101．（2022·河南·高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在的一條漸近線上，若，則的離心率的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以有，代入坐標(biāo)求出點(diǎn)的軌跡為圓，因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離求出臨界狀態(tài)下漸近線的斜率，數(shù)形結(jié)合求出有公共點(diǎn)時(shí)漸近線斜率的范圍，從而求出離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以有，即有，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以滿足：，代入可得：，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，如圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點(diǎn)，當(dāng)兩條漸近線與圓恰好相切時(shí)為臨界點(diǎn)，則：圓心到漸近線的距離為，因?yàn)?，所以，即，且，所以，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，漸近線與圓有公共點(diǎn)，.故答案為：.題型八：由雙曲線離心率求參數(shù)的取值范圍例102．（2022·甘肅·民勤縣第一中學(xué)高二期末（理））雙曲線的離心率的取值范圍為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分析可知，利用雙曲線的離心率公式可得出關(guān)于的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意有，，則，解得：．故選：C.例103．（2022·北京市第五十七中學(xué)高二期末）已知橢圓和雙曲線的離心率之積為，則雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的方程，求出離心率，，即可得，即可求得的值，即可求得漸近線方程，結(jié)合直線的斜率與傾斜角關(guān)系，即可求解．【詳解】解：設(shè)橢圓的離心率為，則，雙曲線的離心率為，則，橢圓和雙曲線的離心率之積為1，，解得，雙曲線的兩條漸近線分別為或，雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為或．故選：D．例104．（2022·新疆·哈密市第一中學(xué)高二期末（理））若雙曲線的離心率，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，，利用，即可求得答案．【詳解】解：雙曲線的方程為：，，，，，，．即故選：．例105．（2022·河南三門峽·高二期末（文））若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立.故選：D.【點(diǎn)睛】使用基本不等式解答問(wèn)題的策略：1、利用基本不等式求最值時(shí)，要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號(hào)成立的條件；2、若多次使用基本不等式時(shí)，容易忽視等號(hào)的條件的一致性，導(dǎo)致錯(cuò)解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.例106．（2021·云南文山·高二期末（理））若雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出的值，利用橢圓的離心率公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線、橢圓的焦距分別為、，離心率分別為、，則，可得，所以，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則.故選：C.例107．（2021·江蘇·高二單元測(cè)試）已知雙曲線的離心率為2，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值和最小值時(shí)，的面積分別為，則（

）A．4 B．8 C． D．【答案】A【解析】【分析】先利用雙曲線的離心率得到，寫出直線的方程，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和二次函數(shù)的最值求出最值，進(jìn)而求出面積比.【詳解】由于雙曲線的離心率為，故，所以直線的方程為，設(shè)，，又焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，∴，由于，故當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)，當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí)，則.故選：A.例108．（2021·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第一中學(xué)高二期中（理））雙曲線的離心率為2，則k的值為（

）A．-35 B．19 C．-5 D．12【答案】A【解析】【分析】將雙曲線轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合離心率定義可求參數(shù).【詳解】將雙曲線轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則，，解得.故選：A例109．（多選題）（2022·浙江衢州·高二階段練習(xí)）已知曲線：，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若曲線表示雙曲線，則B．若曲線表示橢圓，則且C．若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線且離心率為，則D．若曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線，橢圓的特征一一計(jì)算可得；【詳解】解：對(duì)于A：若曲線：表示雙曲線，則，解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若曲線：表示橢圓，則，解得且，故B正確；對(duì)于C：若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線且離心率為，則，所以，則，解得，故C正確；對(duì)于D：橢圓的焦點(diǎn)為，若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，則，則，解得（舍去）；若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，則，則，解得，符合題意，故，故D正確；故選：BCD例110．（多選題）（2022·云南·江川一中高二階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有共同的左右焦點(diǎn)，，設(shè)橢圓和雙曲線其中一個(gè)公共點(diǎn)為P，且滿足，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則關(guān)于和，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】假設(shè)點(diǎn)P在第一象限，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)分別為，半焦距為c，根據(jù)定義可知，進(jìn)而解出，再由勾股定理得到間的關(guān)系，進(jìn)而求得答案.【詳解】根據(jù)橢圓和雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)分別為，根據(jù)題意，，聯(lián)立方程組解得：,而，則，于是，由基本不等式，易知，所以.故選：AC.例111．（多選題）（2022·湖北·武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線，有公共焦點(diǎn)（左焦點(diǎn)），（右焦點(diǎn)），且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若△是以為底邊的等腰三角形，，的離心率分別為和，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】【分析】A由已知共焦點(diǎn)及橢圓、雙曲線參數(shù)的關(guān)系判斷；B、C由橢圓、雙曲線的定義可得，而，即可判定；D記，應(yīng)用余弦定理可得，由已知及B、C分析，即可判斷.【詳解】設(shè)，的焦距為，由，共焦點(diǎn)知：，故A正確；△是以為底邊的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故B錯(cuò)；由且，易得，故C正確；在△中，記，根據(jù)定義．由余弦定理有．整理得，兩邊同時(shí)除以，可得，故．將代入，得．故D正確故選：ACD．例112．（2022·陜西西安·高二期末（理））焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得出、，由此可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，則，，，所以，，解得.故答案為：.例113．（2022·山西·運(yùn)城市景勝中學(xué)高二階段練習(xí)）若雙曲線的離心率不大于，則C的虛軸長(zhǎng)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】利用已知條件求解雙曲線的離心率，列出不等式，求解，然后求解虛軸長(zhǎng)的范圍即可．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，則，故虛軸長(zhǎng).故答案為：.例114．（2022·江蘇·高二）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)離心率得出，結(jié)合得出關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.題型九：雙曲線中的范圍與最值問(wèn)題例115．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線是其左右焦點(diǎn).圓，點(diǎn)P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓E上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】利用雙曲線定義，將的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最小值問(wèn)題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】由題設(shè)知，，，，圓的半徑由點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)知，∴∴.故選：A例116．（2022·河南宋基信陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)C的右支上一點(diǎn)P作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若的最小值為，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】【分析】結(jié)合與雙曲線的定義，可判斷當(dāng)為漸近線的垂線時(shí)能得到的最小值，再利用漸近線的斜率的幾何意義即可求解.【詳解】由題，設(shè)原點(diǎn)為，根據(jù)雙曲線的定義可知，且（當(dāng)且僅當(dāng)為線段上的點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立），所以，因?yàn)榈淖钚≈禐椋?，所以，此時(shí)為漸近線的垂線，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為,所以在中，，因?yàn)椋?，即，所以，則.故選：B例117．（2022·廣東茂名·高二期末）已知橢圓1（a＞b＞0）與雙曲線1（m＞0，n＞0）具有相同焦點(diǎn)F1、F2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且∠F1PF2，記橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2，則3e12+e22的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】設(shè)|PF1|＝s，|PF2|＝t，由橢圓和雙曲線的定義，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m與c的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．【詳解】設(shè)|PF1|＝s，|PF2|＝t，P為第一象限的交點(diǎn)，由橢圓和雙曲線的定義可得s+t＝2a，s－t＝2m，解得s＝a+m，t＝a－m，在三角形F1PF2中，∠F1PF2，∴，可得，即有，即，可得則3e12+e22()(3e12+e22)(6)(6+2)＝3，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取得最小值3．故選：B．例118．（2022·甘肅·民勤縣第一中學(xué)高二期末（文））已知點(diǎn)P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與雙曲線分別相