人教A版選擇性必修第三冊(cè)61分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)案

第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀1.通過(guò)實(shí)例，能歸納總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理．“完成一件事情〞的含義，能依據(jù)詳細(xì)問(wèn)題的特征，選擇“分類〞或“分步〞．3.能運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決一些綜合性的問(wèn)題.1.分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)潔應(yīng)用．2.通過(guò)合理分類或分步解決問(wèn)題，提升規(guī)律推理的素養(yǎng).課前篇·自主學(xué)習(xí)固根底[筆記教材]學(xué)問(wèn)點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．學(xué)問(wèn)點(diǎn)2分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．說(shuō)明：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)分與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)分一每類方法都能地完成這件事，它是的、一次的，且每次得到的是最終結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果(最終一步除外)，任何一步都不能完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各步都完成了，才能完成這件事區(qū)分二各類方法之間是互斥的、并列的、的各步之間是關(guān)聯(lián)的、的，“關(guān)聯(lián)〞確保不遺漏，“〞確保不重復(fù)聯(lián)系這兩個(gè)原理都是用來(lái)計(jì)算做一件事情的不同方法數(shù)[重點(diǎn)理解]1．利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的考前須知(1)明確題目中所指的“完成一件事〞是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎么才算是完成這件事．(2)完成這件事的2類方法，無(wú)論用哪類方法中的哪種方法都可以單獨(dú)完成這件事，不需要用到其他的方法．(3)確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，精確?????地對(duì)“完成這件事的方法〞進(jìn)行分類，要求每一種方法必屬于某一類方法，不同類方法的任意兩種方法不同，也就是分類必需既不重復(fù)也不遺漏．從集合的角度看，假設(shè)完成一件事分A，B兩類方法，那么A∩B＝?，A∪B＝I(I表示全集)．2．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的考前須知(1)明確題目中所指的“完成一件事〞是什么事，完成這件事需要幾步．(2)完成這件事需要分成2個(gè)步驟，只有兩個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，無(wú)論缺少哪一步，這件事都不行能完成．(3)依據(jù)題意正確分步，要求各步之間必需連續(xù)，只有依據(jù)這幾步逐一去做，才能完成這件事，各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏．(4)對(duì)于同一個(gè)題目，標(biāo)準(zhǔn)不同，分步也不同．分步的根本要求：一是完成一件事，必需且只需連續(xù)做完幾步，既不漏步也不重步；二是不同步驟的方法不能相互替代．[自我排查]1．(2021·重慶高二期末)完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)其次種方法，從這9個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，那么不同的選法共有()A．5種 B．4種C．9種 D．45種答案：C解析：會(huì)用第一種方法的有5個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有5種選擇．會(huì)用其次種方法的有4個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有4種選擇．兩者相加一共有9種選擇．2．由1,2,3,4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．36 B．24C．12 D．6答案：B解析：由題意知可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為4×3×2＝24.3．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，假如一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為()A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不對(duì)答案：B解析：分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；其次類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類，乘輪船，從2次中選1次有2種走法．所以，共有3＋4＋2＝9(種)不同的走法．4．(2021·江蘇連云港高二期中)x∈{1,2,4}，y∈{－2，－3,5}，那么x·y可表示不同的值的個(gè)數(shù)為()A．8 B．9C．10 D．12答案：B解析：由于x∈{1,2,4}，y∈{－2，－3,5}，所以x＝1，y＝－2時(shí)，x·y＝－2；x＝1，y＝－3時(shí)，x·y＝－3；x＝1，y＝5時(shí)，x·y＝5；x＝2，y＝－2時(shí)，x·y＝－4；x＝2，y＝－3時(shí)，x·y＝－6；x＝2，y＝5時(shí)，x·y＝10；x＝4，y＝－2時(shí)，x·y＝－8；x＝4，y＝－3時(shí)，x·y＝－12；x＝4，y＝5時(shí)，x·y＝20.一共有9個(gè)不同結(jié)果．應(yīng)選B.課堂篇·重點(diǎn)難點(diǎn)要突破研習(xí)1分類加法計(jì)數(shù)原理[典例1]一個(gè)科技小組有3名男同學(xué)，5名女同學(xué)，從中任選1名同學(xué)參與學(xué)科競(jìng)賽，不同的選派方法共有________種．答案：8解析：任選1名同學(xué)參與學(xué)科競(jìng)賽，有兩類方案：第一類，從男同學(xué)中選取1名參與學(xué)科競(jìng)賽，有3種不同的選法；其次類，從女同學(xué)中選取1名參與學(xué)科競(jìng)賽，有5種不同的選法．由分類加法計(jì)數(shù)原理得，不同的選派方法共有3＋5＝8(種)．[巧歸納]1．使用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的兩個(gè)條件．(1)依據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)能確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類．(2)完成這件事的任何一種方法必需屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法．只有滿意這些條件，才可以用分類加法計(jì)數(shù)原理．2．利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題流程．[練習(xí)1](2021·山東寧陽(yáng)高二期中)從1,2,3,4,5,任取三個(gè)不同的數(shù)相加，那么不同的結(jié)果共有()A．6種 B．9種C．10種 D．15種答案：C解析：從1,2,3,4,5,任取三個(gè)不同的數(shù)相加，所得的最小值為1＋2＋3＝6，最大值為4＋5＋6＝15，1＋2＋3＝6,1＋2＋4＝7，1＋2＋5＝1＋3＋4＝8，1＋2＋6＝1＋3＋5＝2＋3＋4＝9，1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋3＋5＝10，1＋4＋6＝2＋3＋6＝2＋4＋5＝11，1＋5＋6＝2＋4＋6＝3＋4＋5＝12，2＋5＋6＝3＋4＋6＝13,3＋5＋6＝14,4＋5＋6＝15，共有10種不同結(jié)果．應(yīng)選C.研習(xí)2分步乘法計(jì)數(shù)原理[典例2](教材P7例6(1)改編)一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤，每個(gè)撥號(hào)盤上有從0到9共十個(gè)數(shù)字，這4個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼(各位上的數(shù)字允許重復(fù))?思路點(diǎn)撥：依據(jù)題意，必需依次在每個(gè)撥號(hào)盤上撥號(hào)，全部撥號(hào)完畢后，才撥出一個(gè)四位數(shù)號(hào)碼，所以應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理．解：按從左到右的挨次撥號(hào)可以分四步完成：第一步，撥第1個(gè)撥號(hào)盤，有10種撥號(hào)方式，所以m1＝10；其次步，撥第2個(gè)撥號(hào)盤，有10種撥號(hào)方式，所以m2＝10；第三步，撥第3個(gè)撥號(hào)盤，有10種撥號(hào)方式，所以m3＝10；第四步，撥第4個(gè)撥號(hào)盤，有10種撥號(hào)方式，所以m4＝10.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共可以組成N＝10×10×10×10＝10000(個(gè))四位數(shù)的號(hào)碼．[巧歸納]利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路[練習(xí)2]甲、乙、丙、丁四人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，那么不同取法的種數(shù)有________種．答案：9解析：不妨由甲先來(lái)取，共3種取法，而甲取到誰(shuí)的將由誰(shuí)在甲取后其次個(gè)來(lái)取，共3種取法，余下來(lái)的人，都只有1種選擇，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(種)．研習(xí)3兩個(gè)根本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用[典例3]現(xiàn)有5幅不同的國(guó)畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國(guó)畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？思路點(diǎn)撥：解：(1)分為三類：從國(guó)畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法．(2)分為三步：國(guó)畫、油畫、水彩畫各有5種，2種，7種不同的選法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法．(3)分為三類：第一類是一幅選自國(guó)畫，一幅選自油畫，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；其次類是一幅選自國(guó)畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法．所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法．[巧歸納]利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的解題策略用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決詳細(xì)問(wèn)題時(shí)，首先要分清是“分類〞還是“分步〞，區(qū)分分類還是分步的關(guān)鍵是看這種方法能否完成這件事情．其次要清晰“分類〞或“分步〞的詳細(xì)標(biāo)準(zhǔn)，在“分類〞時(shí)要遵循“不重不漏〞的原那么，在“分步〞時(shí)要正確設(shè)計(jì)“分步〞的程序，留意步與步之間的連續(xù)性．有些題目中“分類〞與“分步〞同時(shí)進(jìn)行，即“先分類后分步〞或“先分步后分類〞．[練習(xí)3]一個(gè)袋子里有10張不同的中國(guó)移動(dòng)卡，另一個(gè)袋子里有12張不同的中國(guó)聯(lián)通卡．(1)某人要從兩個(gè)袋子中任取一張卡供自己使用，共有多少種不同的取法？(2)某人是雙卡雙待機(jī)，想得到一張移動(dòng)卡和一張聯(lián)通卡供自己使用，問(wèn)一共有多少種不同的取法？解：(1)第一類：從第一個(gè)袋子取一張移動(dòng)卡，共有10種取法；其次類：從其次個(gè)袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有10＋12＝22(種)取法．(2)第一步，從第一個(gè)袋子取一張移動(dòng)卡，共有10種取法；其次步，從其次個(gè)袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有10×12＝120(種)取法．課后篇·根底達(dá)標(biāo)延長(zhǎng)閱讀1．如下圖的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域E是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇．要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，那么不同的涂色方法種數(shù)為()A．56 B．72C．64 D．84答案：D解析：分兩種狀況：(1)A，C不同色(留意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的2種顏色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48(種)方法；(2)A，C同色(留意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的3種顏色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36(種)方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有36＋48＝84(種)方法．2．a(chǎn)∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，那么方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圓的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．答案：24解析：圓方程由3個(gè)量a，b，r確定，確定a，b，r分別有3種、4種、2種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，表示不同圓的個(gè)數(shù)為3×4×2＝24.3．用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字，(1)可以排出多少個(gè)三位數(shù)字的密碼？(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解：(1)三位數(shù)字的密碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝125(個(gè))密碼．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，其次、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個(gè))三位數(shù)字．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，那么有4×3＝12(種)排法；另一類是末位數(shù)字不是0，那么末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．由分類加法計(jì)數(shù)原理，有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．[誤區(qū)警示]分步標(biāo)準(zhǔn)不清致錯(cuò)[例如]甲、乙、丙、丁4名同學(xué)爭(zhēng)奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)3門學(xué)科學(xué)問(wèn)競(jìng)賽的冠，且每門學(xué)科只有1名冠產(chǎn)生，那么不同的冠獲得狀況共有________種．[錯(cuò)解]錯(cuò)解一：分四步完成這件事．第一步，第1名同學(xué)去奪3門學(xué)科的冠，有可能1個(gè)也沒(méi)獲得，也可能獲得1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)，因此，共有4種不同狀況．同理，其次、三、四步分別由其他3名同學(xué)去奪這3門學(xué)科的冠，都各自有4種不同狀況。由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的冠獲得狀況共有4×4×4×4＝256(種)．錯(cuò)解二：分四步完成這件事．第一步，第1名同學(xué)去奪3門學(xué)科的冠，有3種不同狀況．同理，其次、三、四步分別由其他3名同學(xué)去奪這3門學(xué)科的冠，都各自有3種不同狀況由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的冠獲得狀況共有3×3×3×3＝81(種)．[錯(cuò)因分析]用分步計(jì)數(shù)原理求解對(duì)象可重復(fù)選取的問(wèn)題時(shí)，哪類對(duì)象必需“用完〞就以哪類對(duì)象作為分步的依據(jù)．此題中要完成的“一件事〞是“爭(zhēng)奪3門學(xué)科學(xué)問(wèn)競(jìng)賽的冠，且每門學(xué)科只有1名冠產(chǎn)生〞，而錯(cuò)解一、二中都有可能消失某一學(xué)科冠被2人、3人甚至4人獲得的情形，另外還有可能消失某一學(xué)科沒(méi)有冠產(chǎn)生的狀況．[正解]由題知，討論的對(duì)象是“3門學(xué)科〞，只有3門學(xué)科各產(chǎn)生1名冠，才算完成了這件事，而4名同學(xué)不肯定每人都能獲得冠，故完成這件事分三步．第一步，產(chǎn)生第1個(gè)學(xué)科冠，它肯定被其中1名同學(xué)獲得，有4種不同的獲得狀況；其次步，產(chǎn)生第2個(gè)學(xué)科冠，由于奪得第1個(gè)學(xué)科冠的同學(xué)還可以去爭(zhēng)奪第2個(gè)學(xué)科的冠，所以第2個(gè)學(xué)科冠也是由4名同學(xué)去爭(zhēng)奪，有4種不同的獲得狀況；第