吉林大學陳殿友線性代數(shù)全集

課程的性質(zhì)

線性代數(shù)是數(shù)學的一個分支，是數(shù)學的基礎理論課之一。它既是學習數(shù)學的必修課，也是學習其他專業(yè)課的必修課。目前一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點內(nèi)容與任務

線性代數(shù)是研究有限維線性空間及其線性變換的基本理論，包括行列式、矩陣及矩陣的初等變換、線性方程組、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型等內(nèi)容。既有一定的理論推導、又有大量的繁雜運算。有利于培養(yǎng)學生邏輯思維能力、分析問題和動手解決問題的能力。目前二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點用途與特點線性代數(shù)理論不僅為學習后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學基礎，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)如國防技術中有著廣泛的應用，是理工科大學生的一門重要的數(shù)學基礎課。該課程的特點是：公式多，式子大，符號繁，但規(guī)律性強，課程內(nèi)容比較抽象，需要學生具備一定的抽象思維能力，邏輯推理能力，分析問題能力和動手解決實際問題的能力。目前三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點第一章

行列式

本章主要介紹n階行列式的定義，性質(zhì)及其計算方法。此外還要介紹用n階行列式求解n元線性方程組的克拉默（Cramer）法則。目前四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點§1階行列式的定義1、

二元線性方程組一、n階行列式的引出目前五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點用消元法求解，得：

目前六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點當時，求得方程組有唯一解：目前七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點引入二階行列式

目前八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點方程組的解可以寫成：

目前九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

二階行列式的計算例如目前十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例解二元線性方程組目前十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點求解方程目前十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點2.三元線性方程組

目前十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點用消元法可求得，當時，目前十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點三元線性方程組有唯一解：

目前十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點其中：

目前十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點三階行列式的定義

目前十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例如三階行列式的計算-3×5×7-2×4×9-1×6×8目前十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例解三元線性方程組目前十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前二十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點3.n元線性方程組

目前二十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點構(gòu)造：

目前二十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點提出三個問題

（1）D=？（怎么算）？（2）當D≠0時，方程組是否有唯一解？（3）若D≠0時，方程組有唯一解，解的形式是否是目前二十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點二、全排列及其逆序數(shù)1、全排列用1，2，3三個數(shù)字可以排6個不重復三位數(shù)即：123，231，312，132，213，321目前二十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點一般地，把n個不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？這是一個全排列問題。從n個元素中任取一個放在第一個位置上，有n種取法；在從剩下的n-1個元素中任取一個元素，放在的第二個位置上有n-1種取法;依此類推，直到最后剩下一個元素放在最后位置上，只有一種取法；于是：目前二十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點2.逆序數(shù)對于n個不同的元素，可規(guī)定各元素之間有一個標準次序（例如，n個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準次序）。于是，在這n個元素的任意排列中，當某兩個元素的前后次序與標準次序不同時，就說產(chǎn)生了一個逆序，一個排列中所有逆序的和叫做這個排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)是奇數(shù)的排列叫做奇排列，逆序數(shù)是偶數(shù)的排列叫做偶排列。目前二十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點3.逆序數(shù)的計算方法

不妨設元素為1至n個自然數(shù)，并規(guī)定有小到大為標準次序，設為這個自然數(shù)的一個n級排列，考慮元素，如果比大的，且排在前面的元素有個，說這個元素的逆序是個，全體元素逆序之和即是的逆序數(shù)，目前二十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例如，設排列32514,其逆序數(shù)為：

t=1+3+0+1+0=5

當我們把上面排列改為31524，相當于把32514這個排列的第2、4兩個數(shù)碼對換（將一個排列中任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換）。通過計算可知31524的逆序數(shù)為t=1+2+0+1+0=4可見排列32514為奇排列，而31524為偶排列，可見一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。目前二十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

定義1設有n2個數(shù)，排成n行n列的數(shù)表三、n階行列式的定義作出表中位于不同行不同列的n個數(shù)的乘積，并冠以符號(-1)t，得到形如

的項，其中為自然數(shù)1，2，…n，的一個排列，t

為這個排列的逆序數(shù)。

目前二十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點這樣的排列共有n!個，所有這些項的代數(shù)和稱為n階行列式。記為:也可記為:目前三十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點行列式的其他定義另一種定義形式為:同理，也可以定義為:目前三十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點四、幾種特殊的行列式（1）

對角行列式目前三十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點（2）

下（上）三角行列式

目前三十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點（3）

其中，目前三十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

第二講§2.行列式的性質(zhì)有了n階行列式的定義，我們就可以計算n階行列式，在計算幾種特殊行列式的過程中，發(fā)現(xiàn)直接用定義計算是非常麻煩。當行列式的階數(shù)較高時，計算是十分困難的，為了簡化n階行列式的計算，我們這一節(jié)主要研究行列式的性質(zhì)。目前三十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點一.

轉(zhuǎn)置行列式

把行列式的行換成同序數(shù)的列而得到的行列式稱為原行列式的轉(zhuǎn)置行列式。即

稱DT為D的轉(zhuǎn)置行列式．目前三十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點二．行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.證設目前三十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

由此性質(zhì)可知，行列式的行與列具有相同的地位，行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立，反之亦然。目前三十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

性質(zhì)2互換行列式的兩行（列），行列式變號。

證設行列式目前三十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點于是

目前四十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點推論如果行列式有兩行（列）完全相同,則此行列式等于零.

證

把這兩行互換，有

D=－D，故

D=0.目前四十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點證設

D=

性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式。

目前四十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點故目前四十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點推論行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式的外面.例如目前四十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點性質(zhì)4行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零.例如目前四十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則D等于下列兩個行列式之和：即目前四十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例如計算目前四十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例如性質(zhì)6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個數(shù)然后加另一列（行）對應的元素上去，行列式不變.目前四十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點三、用行列式的性質(zhì)

計算行列式

例1計算目前四十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前五十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前五十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例2.

計算目前五十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解：目前五十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前五十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例3計算目前五十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解：從倒數(shù)的二行開始，把前一行的（-1）倍加到后一行上去。目前五十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點同理，可得：目前五十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例4計算目前五十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解：把所有列都加到第一列上去，然后，從第一列提取公因子，再把第二、三、四行都減去第一行。目前五十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前六十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前六十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點§3行列式按行（列）展開

余子式和代數(shù)余子式

在n階行列式中，把元素所在第i行和第j列劃去后，留下來的n－1階行列式叫做元素的余子式.記作.即的余子式記作.的代數(shù)余子式第三講目前六十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點中元素的余子式和代數(shù)余子式分別為

目前六十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

二.行列式按行（列）展開定理

引理設D為n階行列式，如果D的第i行所有元素除外，其余元素均為零，那么行列式D等于與其代數(shù)余子式的乘積，即目前六十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

證：設目前六十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前六十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前六十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點定理1行列式等于它的任一

行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和,即

目前六十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點證：

目前六十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前七十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前七十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點類似地.若按列證明，可得目前七十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例1.計算

目前七十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

目前七十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例2計算目前七十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解:按第一行展開

目前七十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點以此作遞推公式，即可得目前七十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例3證明范蒙得（Vandermonde）行列式

其中記號“Π”表示全體同類因子的乘積.目前七十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

所以當n=2時（1）成立.現(xiàn)在假設（1）對于n－1階Vandermonde行列式，即證:

用數(shù)學歸納法.因為目前七十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

我們來證明對n階Vandermonde行列式也成立.目前八十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前八十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例4.計算目前八十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點三、行列式展開定理的推論

推論行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即或

目前八十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點證:設目前八十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點把D按第j行展開,有目前八十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點在上式兩端用

代替

得目前八十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

同理可證,

顯然,等式左端行列式有兩行相同,故行列式等于零,即.目前八十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點綜合定理1和推論有

其中

目前八十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例5．已知行列式求,其中是D的第4行元素的代數(shù)余子式.解：目前八十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點第一章第四節(jié)

§4.克拉默法則一.非齊次線性方程組的克拉默法則(1)設非齊次線性方程組目前九十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點(3)則線性方程組(1)有唯一解若(1)的系數(shù)行列式(2)目前九十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點即證明：等式成立證明：先證是（1）的解，要證是（1）的解，只須證明（3）滿足（1）即可，為此把（1）改寫成：目前九十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點做n+1階行列式顯然.把按第一行展開.需要求出第一行每個元素的代數(shù)余子式.第一行元素的代數(shù)余子式為:目前九十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點所以即目前九十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點再證唯一性.假設也是(1)的解.在(2)兩端同時乘以目前九十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點由于,所以故線性方程組(1)有唯一解(3).目前九十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例1.解方程組解:目前九十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前九十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

定理2.如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式D不等于0,則(1)有唯一的解.

定理.如果線性方程組(1)無解或有多個解，則它的系數(shù)行列式必為0.于是得原方程組的解為目前九十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點二.齊次線性方程組的克拉默法則

設齊次線性方程組(4)

若(4)的系數(shù)行列式(5)則(4)沒有非零解.目前一百頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點.定理.如果齊次線性方程組(4)有非零解,則它的系數(shù)行列式必為0。

定理3.如果齊次線性方程組(4)的系數(shù)行列式D不等于0,則齊次線性方程組(4)沒有非零解.

例2.問在什么條件下,方程組有非零解？目前一百零一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

解：由定理知，若方程組有非零解，則其系數(shù)行列式必為零。

所以，當或時，上面方程組有非零解。目前一百零二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例3設非齊次線性方程組問λ

為何值時，該方程組有唯一解，并求其解。解：方程組的系數(shù)行列式為（λ+2）顯然當λ

≠－2，λ

≠

1時，方程組有唯一解。D=目前一百零三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前一百零四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前一百零五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點行列式主要知識點網(wǎng)絡圖概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般項是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和.●●互換行列式的兩行(列)，行列式變號?！衲承杏泄蜃涌梢蕴岬叫辛惺降耐饷妗！袢粜辛惺街心骋恍?列)的所有元素均為兩元素之和，則該行列式可拆成兩個行列式.●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。行列式知識點性質(zhì)目前一百零六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點展開計算●行展開●列展開●定義法●遞推法●加邊法●數(shù)學歸納法●公式法●拆項法●乘積法●析因子法●齊次線性方程組有非零解的充要條件●克拉默法則應用目前一百零七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點第二章矩陣及其運算§1矩陣一、矩陣概念

定義1.目前一百零八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

為表示它是一個整體,在這數(shù)表的兩邊用大圓括弧把它范圍起來，并用大寫黑體字母表示:目前一百零九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

例1.某廠向三個商店發(fā)送四種產(chǎn)品，其發(fā)送的數(shù)量和單價及單件的重量都可用矩陣來刻劃.

若用表示為工廠向第i店發(fā)送第j種產(chǎn)品數(shù)量，則矩陣表示了工廠向三個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量.目前一百一十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點表示了這四種產(chǎn)品的單價及單件重量.目前一百一十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點4213例2.四個城市間的單向航線如下圖所示.若令從i市到j市有一條單向航線從i市到j市沒有單向航線則圖中的航線用矩陣表示為

目前一百一十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

例3.目前一百一十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點二、矩陣的表示方法三.幾種特殊的矩陣1.方陣目前一百一十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點2.上三角矩陣3.下三角矩陣目前一百一十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點4.對角矩陣5.單位矩陣目前一百一十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點6.行矩陣7.列矩陣8.零矩陣目前一百一十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點9.負矩陣10.同型矩陣

兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相同的矩陣稱為同型矩陣.11.對稱矩陣12.反對稱矩陣目前一百一十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點§2.矩陣的運算一、矩陣的加法1、定義定義2設有兩個m×n矩陣A

B

那末矩陣A與B的和記作A+B,規(guī)定為A+B=矩陣的減法：A–B=A+(－B)目前一百一十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點2、運算律矩陣的加法滿足下列運算規(guī)律設A、B、C都是m×n矩陣:1）

A+B=B+A2）（A+B）+C=A+（B+C）3）A+（－A）=A－A=0二、數(shù)與矩陣相乘1、定義定義3數(shù)λ

與矩陣的乘積,記作λA

或Aλ,規(guī)定為λA

=Aλ=目前一百二十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點2、運算律

數(shù)乘矩陣滿足下列運算規(guī)律設A、B為m×n矩陣，λ、μ為數(shù)：

2）（λ

＋μ

)

A

=

λ

A+

μA；1）（λμ）A=λ

(

μA)

3）λ

(

A

+

B

)

=λA

+

λB

這樣定義矩陣加法和數(shù)乘矩陣的運算，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.目前一百二十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點三、矩陣與矩陣相乘1、定義定義4設A=（aij)m×s

,

B=(bij)s×n矩陣，那末規(guī)定矩陣A與矩B的乘積是一個m×n矩陣C=(c

ij)m×n。其中即A×B=C.目前一百二十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點注意：目前一百二十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例1.求矩陣A=B=與的乘積AB目前一百二十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

C＝AB解：＝目前一百二十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例2.設矩陣A=B=求AB與B×A。目前一百二十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點AB=解：BA=目前一百二十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點2.運算律

1)矩陣的乘法一般不滿足交換律

2)（AB）C

=A（BC）

3)λ(AB)=(λA)B=A(λ

B),(其中λ為數(shù));4)

A(B+C)=AB+AC

(B+C)A=BA+CA目前一百二十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點3.設E為單位矩陣EA=AE=A或簡寫成目前一百二十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點4、方陣的冪運算設A為n階方陣.k,l為正整數(shù)目前一百三十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點如A×B

其中是向第i店所發(fā)產(chǎn)品的總值,是向第i店所發(fā)產(chǎn)品的總重量。C表示為向三個商店所發(fā)產(chǎn)品的總值及總重量所構(gòu)成的矩陣。目前一百三十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

則A2表示從i市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到j市的單向航線的條數(shù)構(gòu)成的矩陣。又如1243目前一百三十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點四、矩陣的轉(zhuǎn)置1、定義

定義5把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的矩陣,叫做A

的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT。例如目前一百三十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點2.運算律目前一百三十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點這里僅證明4）設A=(aij)m×s,B=(bij)s×n

。AB=C=(cij)m×n，BTAT=D=(dij)n×m。顯然，要證明（AB)T=BTAT,只須證明cji=dij

即可。目前一百三十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點因為目前一百三十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例3.已知求(AB)T。目前一百三十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解法1：因為AB=目前一百三十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解法2：目前一百三十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

有了轉(zhuǎn)置矩陣的定義后，顯然有A為對稱矩陣，A為反對稱矩陣，目前一百四十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例4試證任意n階方陣都可分解為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和。證由于A=?(A+A+AT－AT)=?(A+AT+A－AT)故A等于對稱矩陣與反對稱矩陣之和。目前一百四十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例5：設列矩陣X=滿足XTX=1，E為n階的單位矩陣，H=E－2XXT,證明H是對稱矩陣，且HHT=E。目前一百四十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點證明:所以H是對稱矩陣.目前一百四十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前一百四十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點五、方陣的行列式1、定義

定義6由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣A的行列式，記作|A|或detA。目前一百四十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點2、運算律目前一百四十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點我們僅證明3），設A=(aij),B=(bij)。記2n階行列式D=目前一百四十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點顯然，D=|A||B|,而在D中以

b1j乘第1列，b2j乘第2列，…，

bnj乘第n列,都加到第n+j列上（j=1,2,…

,n),有D=目前一百四十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點其中C=(cil),cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj,故C=AB。再對D的行作rj?

rn+j（j=1,2,…,n），有從而有D=(－1)n|－E||C|=(－1)n(－1)n|C|=|C|=|AB|。于是|AB|=|A||B|目前一百四十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

例6：設A,B均為n階方陣且證目前一百五十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例7設A是n階反對稱矩陣，B是n階對稱矩陣，則AB+BA是

n階反對稱矩陣。證(AB+BA)T=(AB)T+(BA)T=BTAT+ATBT=－BA－AB=－（AB+BA）所以，AB+BA為n階反對稱矩陣。目前一百五十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例8設令A=αβT,求An

及|An|。解目前一百五十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點An

=(αβT)n

=αβTαβTαβT

…αβT=3n-1A|An

|=|3n-1A|

=(3n-1)n|A|

=0目前一百五十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點六、共軛矩陣1、定義

定義7設A=為復矩陣，表示的共軛復數(shù)，記則稱為A的共軛矩陣。目前一百五十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點2.運算律

設A、B為復矩陣，λ為復數(shù).目前一百五十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點七、可換矩陣及方陣多項式1、可換矩陣設A、B均為n階方陣，若AB=BA，則稱是可換的。例9設若矩陣A與B可交換，求a,b的值。解由于AB=BA，即目前一百五十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點故a=8,b=6。目前一百五十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例10設求與A可交換的所有矩陣。解設目前一百五十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點于是從而x2=2x2,x3=3x3,2y1=y1,2y3=3y3,3z1=z1,3z2=2z2,目前一百五十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點即x2=x3=y1=y3=z1=z2=0,所以，與可交換的任一矩陣是其中a，b，c為任意實數(shù)。目前一百六十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點2、方陣多項式設有n階矩陣A和多項式f(λ)=amλm+am-1λm-1+…

+a1λ+a0規(guī)定f(A)=amAm+am-1

Am-1+…

+a1A+a0稱f(A

)為方陣A的矩陣多項式。例11設有多項式f(λ)=λ2－3λ

+

2和矩陣求矩陣多項式f(A)。目前一百六十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解因為目前一百六十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點則f(A)=A2－3A

+

2E目前一百六十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點練習：1.計算下列矩陣的乘積.2.目前一百六十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點第七講§3.逆矩陣一.逆矩陣

定義8.設A為n階方陣，如果有一個n階方陣B，使AB=BA=E,則稱矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣.A的逆記之為A-1.目前一百六十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點二.逆矩陣是唯一的.

證明：設B和C都是A的逆矩陣，則B=BE=B(AC)

=(BA)C=EC=C所以A的逆矩陣是唯一的.目前一百六十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點三.逆矩陣的有關定理

定理1.方陣A可逆的充分必要條件是|A|≠0,且其中

稱為A的伴隨矩陣.A*中元素是A的所有元素的代數(shù)余子式.目前一百六十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點證明：

必要性:因為A可逆，則有,使

目前一百六十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點充分性:由于目前一百六十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點同理所以因為所以由定義，知目前一百七十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點推論：若AB=E(或BA=E），證明：故因而存在，于是目前一百七十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點運算律1）若A可逆，則亦可逆，且2）若A可逆，數(shù)

，則λA可逆，且3）若A,B為同階的可逆矩陣，則AB也可逆，且證明：由推論，即有(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1目前一百七十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點4)若A可逆，則也可逆，證明：所以目前一百七十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

注1：當|A|≠0時，k為正整數(shù)，λ，μ為整數(shù)，有A為可逆矩陣，也稱為非奇異矩陣，A為不可逆矩陣，也稱為奇異矩陣.

4)(Aλ)μ=Aλμ目前一百七十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點四.逆矩陣的應用例1.解矩陣方程解：設則上式變成:AXB=C目前一百七十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前一百七十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例2.設求（E+B）－1目前一百七十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解:由即(E+A)(E+B)=2E目前一百七十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

例3.設A，B均為n階方矩陣，若E－AB可逆，則E－BA也可逆，并求:證明：A－ABA=A－ABA

(E－AB)A=A(E－BA)所以

目前一百七十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點又因為E=E－BA+BA所以E－BA可逆,且=[E－B(E－AB)-1A](E－BA)目前一百八十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點五、幾個常用的公式1)AA*

=A*A

=|A|E2)A*=|A|A-13)|A-1|=|A|-1|λA|=λn|A|5)(λA)-1=λ-1A-1例4若|A|≠0,試證（1）|A*|=|A|n-1;（2）(A*)-1=(A-1)*(3)(A*)T=(AT)*;（4）(A*)*=|A|n-2A;（5）(kA)*=kn-1A*。證（1）|A*|=(2)(A*)-1=(3)(A*)T=||A|A-1|=|A|n|A-1|=|A|n-1;(|A|A-1)-1=|A-1|(A-1)-1=(A-1)*;(|A|A-1)T=|AT|(A-1)T=|AT|(AT)-1=(AT)*目前一百八十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點(A*)*=

|A*|(A*)-1=|A|n-1(|A|A-1)-1=|A|n-2A(5)(kA)*=|kA|(kA)-1=kn|A|k-1A-1=kn-1|A|A-1=kn-1A*目前一百八十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例5設矩陣A、B滿足A*BA=2BA–8E,其中求B。解由于|A|≠0，所以A可逆，在A*BA=2BA–8E的兩邊分別左乘A，右乘A-1得|A|B=2AB－8E即2AB+2B＝8E目前一百八十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點從而有AB+B＝4E故B=4(A+E)-1

目前一百八十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點作業(yè):1.解矩陣方程2.設方陣A滿足證明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-13.設AB=A+2B,求B.目前一百八十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

§4.分塊矩陣第八講一、分塊矩陣的定義

把一個階數(shù)較高的矩陣,用若干條橫線和豎線分成若干小塊,每一小塊都叫做矩陣的子塊,以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.目前一百八十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例如：將3×4矩陣分塊形式如下：目前一百八十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前一百八十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前一百八十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

二、分塊矩陣的運算1、分塊矩陣的加法：同型矩陣,分法相同,對應子塊相加.設A和B均為m×n矩陣,分法下:目前一百九十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點其運算律與矩陣的加法相同.目前一百九十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點2.分塊矩陣的數(shù)乘設分塊矩陣λ為數(shù)，那末其運算律與數(shù)乘矩陣相同.目前一百九十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點3.分塊矩陣的乘法.

設A為m×l矩陣，B為l×n矩陣，分塊成目前一百九十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點其中目前一百九十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例1.設求AB.目前一百九十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解：把A,B分塊成目前一百九十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點所以AB＝目前一百九十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點其中于是目前一百九十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點4.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設分塊矩陣則目前一百九十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點5.分塊對角矩陣（準對角矩陣）.設其中顯然目前二百頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點若則,所以目前二百零一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例2.設解：目前二百零二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點所以目前二百零三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例3設A的伴隨矩陣且ABA-1=BA-1+3E,求矩陣B。解由|A*|=|A|n-1,有|A|3=8,得|A|=2。在ABA-1=BA-1+3E的兩邊左乘A*，右乘A得2B=A*B+6E

即(2E－A*)B=6E目前二百零四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

B=6(2E－A*)-1由于2E－A*＝(2E－A*)-1=所以故目前二百零五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點因此目前二百零六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點6.分塊矩陣的應用

設A為m×n矩陣，將A按行分塊，得

其中是A的第i行.將A按列分塊,得A=（β1，

β2，…，

βn）.目前二百零七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點其中βj

(j=1,2,…,n).是A的第j列.對于線性方程組目前二百零八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點A=X=b=B=記目前二百零九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

其中A稱為系數(shù)矩陣,x稱為未知向量,b稱為常數(shù)項向量,B稱為增廣矩陣,記為:

利用矩陣的乘法,此方程可記為:Ax=b或B=(A,b)=(β1,β2,…

,βn,b)目前二百一十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

按行分塊矩陣,Ax=b又可寫成:即αiTx=bi(i=1,2,…,m).目前二百一十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

按列分塊矩陣,Ax=b又可寫成即x1β1+x2β2+…+xnβn=b目前二百一十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點概念特殊矩陣

m×n個數(shù)aij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

構(gòu)成的數(shù)表單位距陣:主對角線元素都是1,其余元素都是零的n階方陣對角矩陣:主對角元素是其余元素都是零的n階方陣對稱矩陣:距陣主要知識網(wǎng)絡圖AT=A反對稱矩陣:AT=－A矩陣目前二百一十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點運算A+B=

(aij+bij)kA=(kaij)AB=C其中A與B同型的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必須是方陣.伴隨矩陣

n階行列式的|A|所有元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣AT:AT目前二百一十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點逆矩陣概念求法證法如果AB=BA=E,則A可逆，B是A的逆矩陣.用定義用伴隨矩陣分塊對角矩陣|A|

≠0,A可逆.|A|=0,A不可逆.AB=E,A與B互逆反證法目前二百一十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點作業(yè)1.利用逆矩陣解線性方程組:2.設目前二百一十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

3.設n階矩陣A和s階矩陣B都可逆,求目前二百一十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點第三章矩陣的初等變換與線性方程組§1矩陣的初等變換一.引例求解線性方程組(1)①②③④目前二百一十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點(1)÷123(2)(2)(3)321314－+－2++－3①②③④①②③④2目前二百一十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點(3)2×1/23+524－32(4)(4)34－23+4（5）①②③④①②③④目前二百二十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點于是得

其中x3可任意取值，或令x3=c這里c為任意常數(shù).則方程組可記為：x

=x=即目前二百二十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點把上面方法加以數(shù)學抽象B=（A

b)=稱為方程組（1）的增廣矩陣.把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣上，就得到矩陣的三種初等變換.目前二百二十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點二.矩陣的初等變換

定義1下面三種變換稱為矩陣的初等變換:(1)對調(diào)矩陣的兩行(列);(2)以數(shù)k≠0乘矩陣某一行(列)中的所有元素;(3)把矩陣的某一行(列）所有元素的k倍加到另一行(列）對應的元素上去;

※矩陣初等行變換與初等列變換,統(tǒng)稱為初等變換.目前二百二十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

顯然,三種初等變換都是可逆的,且其逆變換是同一類型的初等變換:(1)對換變換的逆變換就是其本身;(2)倍乘變換的逆變換為;(3)倍加變換的逆變換為;※如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣A與B等價,記作A∽B.※矩陣之間的等價關系具有下列性質(zhì)：（1）反身性A∽A（2）對稱性若A∽B，則B∽A；（3）傳遞性若A∽B，B∽C，則A∽C.

※兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價。目前二百二十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點三.矩陣初等變換的應用例1.解線性方程組

解對方程組的增廣矩陣B施以行初等變換目前二百二十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點～～～～～目前二百二十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點從而得等價的方程組取為自由未知量,并令,即得x其中c為任意常數(shù)。目前二百二十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點1)行階梯形矩陣：2)行最簡形矩陣：

※一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一的.要解線性方程組,只須把增廣矩陣化為行最簡形矩陣.目前二百二十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點3)矩陣的標準形～對于任何m×n

矩陣A,總可經(jīng)過初等變換把它化為標準形.目前二百二十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

此標準形由m、n、r

三個數(shù)完全確定,其中r

就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).所有與A等價的矩陣組成的集合,稱為一個等價類,標準形F是這個等價類中形狀最簡單的矩陣.例2設求A的標準形。目前二百三十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解:～～～目前二百三十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點～～～～目前二百三十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點～～

※任何的可逆矩陣都等價于同階數(shù)的單位陣.目前二百三十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點練習把下列矩陣化為行最簡形矩陣:目前二百三十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點§2矩陣的秩

定義2在m×n矩陣A中,任取k行與k列（k≤m，

k≤n），位于這些行和列交叉處的k2個元素,不改變它們在A中所處的位置次序而得到的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。m×n矩陣A的k行與k列子式共有個。一、矩陣秩的定義目前二百三十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例如注意：在A中存在1階和2階的非零子式，但3階和4階子式全部為零。目前二百三十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點定義3設在矩陣A中有一個不等于0的r階子式，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于零，那么稱為矩陣A的最高階非零子式.數(shù)r稱為矩陣A的秩，記作。注意顯然有特別的規(guī)定目前二百三十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例1求下列矩陣的秩．解在A中，容易看出：一個2階子式，A的3階子式只有一個|A|，經(jīng)計算可知｜Ａ｜＝０,因此Ｒ（Ａ）＝２.目前二百三十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解Ｂ是一個階梯形矩陣，其非零行有３行，故可知Ｂ的所有４階子式全為零。而以三個非零行的第一個非零元素為對角元的３階行列式因此Ｒ（B）＝３目前二百三十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點二、矩陣秩的相關定理定理１若Ａ～Ｂ，則Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．證明先證明：若Ａ經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)椋拢瑒tＲ（Ａ）≤Ｒ（Ｂ）．設Ｒ（Ａ）＝ｒ，且Ａ的某個ｒ階子式Ｄｒ≠０,當或，在Ｂ中總能找到與Ｄｒ相對應的由于或或目前二百四十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點因此，從而Ｒ（Ｂ）≥ｒ當，分三種情況討論：①Ｄｒ中不含有第i行;②Ｄｒ中同時含有第i行和第j行;③Ｄｒ中含有第i行，但不含有第j行.對①和②兩種情況，顯然Ｂ中與Ｄｒ?qū)淖邮?，故Ｒ（Ｂ）≥ｒ；目前二百四十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點對于③，由若,則因中不含有第i行，可知Ａ中有不含第i行的ｒ階非零子式，從而Ｒ（Ｂ）≥ｒ；若,則，故也有Ｒ（B）≥ｒ.目前二百四十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點以上證明了若Ａ經(jīng)過一次初等行變換為Ｂ，則Ｒ（Ａ）≤Ｒ（Ｂ），由于Ｂ亦可經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)椋粒室灿校遥ǎ拢埽遥ǎ粒虼耍遥ǎ粒剑遥ǎ拢?。?jīng)過一次初等行變換矩陣的秩不變，故經(jīng)過有限次初等行變換時，矩陣的秩依然不變。同理可證：Ａ經(jīng)過有限次初等列變換，變成矩陣Ｂ，則有Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．總之，若Ａ經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嚕?，則有Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ｂ）．目前二百四十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點如在例1中，我們已經(jīng)計算的秩為2，將A施行初等變換得顯然，R(B)=2,故R(A)=R(B)。通過上面定理的證明和上面秩的計算，以后求矩陣的秩，只需將矩陣用初等變換變成階梯形矩陣即可。目前二百四十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點三、求秩．例２設求矩陣Ａ的秩．并求Ａ的一個最高階的非零子式.目前二百四十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點

解先求Ａ的秩。故對Ａ作初等行變換，變成行階梯形矩陣：目前二百四十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點因為階梯形矩陣有3個非零行，所以R(B)=3。從而R(A)=3。目前二百四十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點A的一個最高階非零子式為：設A為n階可逆矩陣，則|A|≠0,從而R(A)=n，稱A為滿秩矩陣。若A為n階不可逆矩陣，則|A|＝0,從而R(A)<

n，稱A為降秩矩陣。目前二百四十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例3設求矩陣A及矩陣B=（A|b）的秩。目前二百四十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解因此，R(A)=2,R(B)=3.目前二百五十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例4設若秩R(AB+B)=2，求a。解因為

AB+B=(A+E)B目前二百五十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點將所得的矩陣施以初等變換得目前二百五十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點由于R(AB+B)=2，所以12－a＝0。故a

=12。目前二百五十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點復習1、初等變換2、用初等變換求矩陣的秩設求R(A)和R(A┆b)。目前二百五十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點§3線性方程組的解一、線性方程組解的存在性-定理2

n元齊次線性方程組Am×nx=0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)＜n.證明：先證必要條件．設方程組Ａx＝０有非零解。（用反證法）假設Ｒ（Ａ）＝n，則在Ａ中應有一個n階非零子式Ｄn，從而Ｄn所對應的n個方程只有零解（根據(jù)Ｃramer法則）。這與方程組有非零解相矛盾。因此Ｒ（Ａ）＝n不能成立。故有Ｒ（Ａ）＜n．目前二百五十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點再證充分性。設Ｒ（Ａ）＝r＜n，則Ａ的行階梯形矩陣只含有r個非零行，從而知：其有n－r個自由未知量。任取一個自由未知量為1，其余的未知量都為零，即可得到方程組的一個非零解。目前二百五十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點定理３

n元非齊次方程組Ａx＝ｂ有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣Ａ的秩等于增廣矩陣Ｂ＝(Ａ,ｂ)的秩。

證明必要性。設方程組Ａx＝ｂ有解，要證R(A)=R(B)。（反證法）設R(A)＜R(B),則B的行階梯形矩陣中最后一個非零行對應矛盾方程0=1，這與方程組有解矛盾。因此R(A)=R(B)。目前二百五十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點充分性。證明方程組有解。設R(A)=R(B)=r(r≤n),把B化為行階梯形矩陣，則B的行階梯形矩陣中含r個非零行。把這r個非零行的第一個非零元素所對應的未知量作為非自由的未知量，其余n－r個作為自由未知量，并令n－r個自由未知量全取零。即可得方程組的一個解。注意：1）當R(A)=R(B)=n時，方程組沒有自由未知量，故只有唯一解。2）當R(A)=R(B)=r<

n時，方程組有n－r個自由未知量，故有無窮多解。目前二百五十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點線性方程組的解題步驟：1)Ax=0只要把它的系數(shù)矩陣化為行的最簡形矩陣，把以行最簡形矩陣中非零行的第一個非零元1為系數(shù)的未知數(shù)留在等號左端，其余的移到等號的右端，再表示成通解.2）Ax=b

只要把它的增廣矩陣化成行階梯形矩陣，由定理3，判斷它是否有解。若有解，則對增廣矩陣進一步化成行最簡形矩陣。把行最簡形矩陣中非零行第一個非零元素1為系數(shù)的未知數(shù)留在等號左端，其余均移到等號右端。再表示成通解。二、線性方程組的解法目前二百五十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例1求解齊次線性方程組解對系數(shù)矩陣A施以初等行變換為行最簡形矩陣:目前二百六十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點即得到與原方程組的同解方程組即x3,x4可以任意取值.目前二百六十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點令x3=k1,x4=k2,把它寫成參數(shù)形式其中k1,k2,為任意實數(shù)。目前二百六十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點其解亦可表為向量形式目前二百六十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例2求解非齊次線性方組解對增廣矩陣B實施行的初等變換目前二百六十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點可見，R(A)=2,R(B)=3.故方程組無解。目前二百六十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例3求解非其次線性方程組解對增廣矩陣B實施行的初等變換目前二百六十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點顯然，R(A)=R(B)=2＜4，所以原方程組有無窮多解，且具有下列同解方程組：目前二百六十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點即故

k1,k2為任意常數(shù)。目前二百六十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點k1,k2

為任意常數(shù)。寫成向量形式目前二百六十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例4設有線性方程組問

λ

取何值時，此方程組（1）有唯一解？（2）無解？（3）有無窮多個解？并在有無窮多解時，求其通解。目前二百七十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解對增廣矩陣B=（A|b）實施行的初等變換:目前二百七十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前二百七十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點1）當

λ≠0,且λ≠－3時，Ｒ(A)=R(B)=3,方程組有唯一解;2)當λ=0時,R(A)=1,R(B)=2,方程組無解；3)當λ=－3時,R(A)=R(B)=2,方程組有無窮多解.目前二百七十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點當λ=-3時，得同解方程：即目前二百七十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點§4初等矩陣一、初等矩陣的概念定義４由單位矩陣Ｅ經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。目前二百七十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點１．對調(diào)兩行（列）．第i行第ｊ行目前二百七十六頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點２．以數(shù)ｋ≠０乘以某行（列）第i行目前二百七十七頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點３．以數(shù)k乘以某行（列）加到另一行（列）上去．第i行第ｊ行目前二百七十八頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點注意：初等方陣是可逆矩陣，且其逆矩陣仍然是初等方陣。目前二百七十九頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點例１．設計算：目前二百八十頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點解：目前二百八十一頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前二百八十二頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點目前二百八十三頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點二、初等方陣的有關定理定理４．設Ａ是一個m×n矩陣，對A實施一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應的m階初等矩陣;對A實施一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣。目前二百八十四頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點定理5.設A為可逆矩陣，則存在有限個初等矩陣，使

Ａ＝證：因為，故Ｅ經(jīng)過有限次初等變換可變成Ａ，也就是說，存在有限個初等矩陣使即目前二百八十五頁\總數(shù)五百四十一頁\編于十八點推論：m×n矩陣Ａ～Ｂ的充分必要條件是：存在m

階可逆矩陣Ｐ及n階可逆矩陣Ｑ，使ＰＡＱ=Ｂ．目前二